清华大学贾仲孝老师贾哥高等数值分析证明题汇总

1 (1X1 X 2C2 ,11X1 A X 2C2 ) 1
证毕
121
C2T
X
T 2
~
A
X
2C 2
1
(12
1)1
C2T
(
X
T 2
~
A
X
2
)C
2
C2 2 1 X 2 C2 2 （o C2 2 ）=o(e2k )
13.
vk
1 X 1
X
2
(
B 1
)k
w0， (v1)
(v0 ,
Av0 )
，证
0，0,p2
,
0,
0,
0,
0
0，0,1-p2,0,0,0,
证明， BBT X 0,0,0,0,0,0,0,0,0 X 1 ，则 I BBT X 0,0,0,0,0,1,0,0,0 X 1
0,0,0,0,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0
i
k
X
i
n
Avk
Ak 1v0
11k 1 X1
i2
i
i
k
1
X
i
n
1
(vk , (vk
Avk ) , vk )
1
2 2k1
i1 i i n
1
2 2k
i1 i i
n
2 2k 1 11
2222k 1
i3
i
2
i
2k
1
n
1
1212k
2222k
2 2k
i3 i i
121 12
22 ( 12 )2k
0,0,0,0,0,0,0,0,1
即其含有最多 p+1 个不同的特征值，则当 p+1<n 时，最多 P+1 步收敛，否则 n 步收敛。
8. 证明 Anorldi 过程中断时 GMERES 找到了准确解。 证明：讲义 P64 页定理 3.4.3
9． 为什么在绝对精确的计算下，CG,lanczos,MINRES,Arnoldi,GMRES 方法至多 n 步一定找 到准确解。 证明，
Raylei
商收敛于主特征值
证
4/6
vk
1X1
X
2
(
B 1
)
k
w0
,
1 (v0 , Av0 ) 1
vk
1 12
(
B 1
)k
w0
2
1
(1 X1
X2
(B 1
)k
w0 ,11 X1
~
A
X
2
(B 1
)k
w0
)
1
121 1 X1T
~
A
X
2
(
B 1
)k
w0
(
X
2
(
B 1
)k
w0
)T
(
X
2
(
2
2
(
2 ) 1
2k
2
…… ……
1
2
2
(
2 )2 1
k
2
2 2
( 2 )2k 1
12
1
=o( 2 1
)2k
证毕
15． 叙述幂法 解，见讲义 P80。
5/6
结语： 最后三道题为四个月后补录，准确性已经无法保证，仅供参考，祝君顺利。
6/6
对于 CG,MINRES,GMRES 来说，其残差项具有最优性，即 rm 收敛，当 m=n 时，其空间 K（r0,A,m）
=Rm,则一定找打了准确解。 对于 lanczos 来说，
AQn QnTn 当 m=n 时， QnT AQn Tn
由讲义定理1.1.2可知，当A AT 0时，QnT AQn正定，即Tn正定
由讲义定理1.1.2可知，当A AT 0时，QmT AQm正定，即Tm正定，非奇异
则Lanz cos方法不会发生中断。
7. 当 A=I-BBT 时，rank(B)=p,用 CG 法求解 Ax=b,最多几步收敛？
0，12,0，202,,00,,00,,00,,00,,00
10， 11-2,02，20,,00,,00,,00,,00,,0
12． 若 sin ∠（X1，vk）=ek,求 p(k ) 1 o(e2k )
证 vk=1 X1 X 2C2 ,又 vk 1 12 C2 2 1
cos ∠（X1，vk）=
( X1, vk ) X1 vk
( X1, vk ) 1
则 sin ∠（X1，vk）=ek= C2 1 12
~
min
pPk ,p(0)1
p()-1r0
n
取r0
i 1
i
xi
Xy,其中y=(1, 2, 3 k-1, k ,0,00,0)T
则 rk
min pPk ,p(0)1
p()-1r0
= min pPk ,p(0)1
Xp()X 1Xy
即 rk
X
min p()y
pPk ,p(0)1
rk X
y
min max
取pk(A)=I Aq(A)
则 rk
min
pPk ,p(0)1
p( A)r0
又因为A可对角化， A=-1
则p(A)=p()-1
则 rk
min
pPk ,p(0)1
p()-1r0
() r0
min p()
pPk ,p(0)1
即 rk
() r0
min max
pPk ,p(0)1 1i n
p(i )
可取pk (t )
(t
1 j k
j
)
(1)k
1 j k
(
j
)
则max 1i n
p(i )
=0
rk 0，即 rk =0
证毕！
对于 MINRES，() =1，同理可证。
2. 若 A 可对角化，A 有 n 个不同的特征值，r0 是由 k 个不同特征值的特征向量构成。证明 GMERES 和 MINRES 至多 k 步收敛。
hm1v
m
eT
1 m
当过程中断时，即hm1=0
AVm VmHm
设（，）为Hm的任一特征对
则 AVm VmHm Vm (Hm) Vm
即 AVm=Vm
即Hm的特征值均为A的特征值，A非奇异，则Hm非奇异，则不会发生方法中断，证毕。
4. 证 Arnoldi 方法中断则 Arnoldi 过程一定不中断。 证：该命题与 3 是等价的逆否命题，先证明 3，然后根据逆否命题的等价性即可得到 4.
对 Arnoldi，同理可证。
10. 叙述 Rayleigh-Ritz 和精叙述 Rayleigh-Ritz 方法的主要收敛结论（贾氏定理）。 解，见讲义 P93，定理 4.6.1，以及 P95 页，定理 4.7.1.
11． 描述 Arnoldi 方法和精化的 Arnoldi 方法。 解，见讲义 P94，以及 P96 页。
二中哥 2015 年 2 月 2 日焊管 104
1． 若 A 可对角化，A 有 k 个特征值时，证明 GMERES 和 MINRES 至多 k 步收敛； 证：对于 GMERES
xk x0 qk (A)r0
xk spanr0, Ar0,k
rk b Axk r0 Aqk (A) (I Aq(A))r0
3/6
Tn1 Qn1A1Qn 又因为：r0 e1 Tn yn
yn Tn1 r0 e1
则 又因为Xn X0 Qn yn X0 QnQn1A1Qn r0 e1 X0 A1r0
rn b AXn r0 r0 0
备注：Qne1=q1,q1
r0 r0
Qn r0 e1=r0
证毕
5. 证 Arnoldi 过程中断找打了准确解。
当过程中断时，hm1=0
2/6
再推导出讲义 P52，定理 3.3.3，从而可得出结论 rk =0 ，即找到了准确解。
6. 证当 A 为对称正定矩阵时，证明 Lanczos 方法不会发生中断。 证明：
A AT 0，
AQm
QmTm
mqm
eT
1 m
QmT AQm Tm
pPk ,p(0)1 1i k
p(i )
可取pk
(t )
(t
1 j k
j
)
(1)k
1 j k
(
j
)
min Xp()y pPk ,p(0)1
则mak =0
证毕！
对于 MINRES，同理可证。
3. 证 Arnoldi 过程中断时不会发生方法中断。
AVm
VmHm
清华大学贾仲孝老师（贾哥）高等数值分析证明题汇总
前言：高值是我上学这么多年感觉学起来最费劲的一门课，没有之一。想起自己在文图奋斗 了那么多个日日夜夜，每天听三遍提醒才会离开的情景，以及在四教答疑到没空吃饭的悲催， 就觉得辛辛苦苦学到的这些东西就仅仅应付一个考试太可惜了，有点对不住自己这么长时间 的辛苦，一直想着要把觉得有用的东西总结一下，广而告之，就当攒人品了。因为到现在高 值成绩也没有出来，我也不知道自己考了多少分，所以对这份总结的正确性不能保证，仅供 手里没有其他资料的时候稍稍参考。有了这份资料，康师姐再给我们答疑的时候是不是可以 轻松点（给答疑的师兄和师姐点个赞）。
B 1
)
k
w0
)T
~
A
X
2
(
B 1
)k
w0
1
(12 1)1 ……
(
B 1
)k（
1
X1T
~
A X2
+
X
T 2
w0T
X1T
）+ (
B X1
)2
k
(
2
w0 2
~
A
w0 1)
o[( 2 )k ] 1
14.
n
当
v0
1
X1
i2
i
X
i
时，求证
1
o( 2 )2k 1
证
n
vk
Ak v0
11k X1
i2
i
1/6
证：对于 GMERES
xk x0 qk (A)r0
xk spanr0, Ar0,k
rk b Axk r0 Aqk (A) (I Aq(A))r0
取pk(A)=I Aq(A)
则 rk
min
pPk ,p(0)1
p( A)r0
又因为A可对角化， A=-1
则p(A)=p()-1
则 rk