电动力学课件：3-1-矢势

基本方程
H
J
B
0
边值关系
n
(
H2
H1)
n • (B2 B1) 0
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J
B 0
A
物理意义：
（a）B 与 A 的关系
S B dS S ( A) dS LA dl
A=0
A1n A2n
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
At 或 Bt
和边界
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
1．在稳恒场中有
W
W
1
2
1
B HdV
A JdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
B A 2 ln R0 ez
I 2
ln
R R0
ez
I 2
ln
R R0
ez
I 2
ln
R R0
0 ez
I
2 (ln R ln R0 ) ez
I 2
1 R
eR
ez
I 2R
ez
eR
I 2R
e
结果与电磁学求解一致。
[例2]半径为a的导线圆环载电流为I，求空间的矢势和 磁感应强度。
2 Ai Ji i 1, 2, 3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 2 （3）矢势为无源有旋场
形式相同
2．矢势的形式解
通过类比
J (x)dV
A
4 V r
1
4
V
(x)dV
r
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约， 因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
②
1
A
J
不是能量密度。
2
③ 导出过程
( f g) ( f ) g f ( g)
B H ( A) H
(A H ) A ( H )
V ( A H )dV
( A H ) A J S (A H ) dS 0
W 1
B
HdV
1
(A
↑I dz
z o
RP
Az
4
因此得到
Idz I ln(z R2 z2 4
z2 R2 )
积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值
可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则
A( p)
0
A( p0 )
I 2
ln
R R0
ez
A(
p)
I 2
ln
R R0
ez
取A的旋度，得到
I R
H
)dV
1
A JdV
2
2
2
1
A JdV
2
2. 电流分布在外磁场中的相互作 用能
设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
势；J 为处于外磁 场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A 。总能量：
W
1 2
(
A
1 2
(
Ae
Ae ) (J J e
J e )dV
1 2
点A无直接物理意义。
３、矢势的不唯一性
A A
A A () A B
令 A 0 可减少矢势的任意性 满足的方程？
二．矢势满足的方程及方程的解
1．A 满足的方程
B H
B 1
B
H J
1 (
A)
1
A 0
[( A) 2 A]
J
2 A J
)dV
(A
Je
1 2
(A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用 能 ，记为
可以证明： Wi (A Je )dV
Wi， (Ae
J )dV
[例1] 无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 和磁场
解:
取导线沿z轴，设p点
到导线的垂直距离为R，电
流元Idz到p点距离为
R2 z2
1
R2 a2 2Ra sin cos 2
0Ia
4
2
a cos d
0
1
a2 2 z2 2a cos 2
R2 2 z2,sin R
解:
P
z
首先求解矢势 A
A
0
j(x) d
4 V
r
R
r
θ
o
a
y
0 4
Idl r
x
Idl
由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上，
这样的好处是A只与r，θ有关。
r2 a2 R2 2Ra cos ( R a)
cos sin cos
因此得到：
A
0 Ia 4
2
cos d
0
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
B A
dS
B
L
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
B dS 0 S
S1
B
dS1
B S2
dS2
0
dS1
B
(dS2 dS1 dS)
B dS B dS
S1
S2
L
（c）物理意义
A dl B dS
L
S
dS2
沿任一闭合回路的环量代表通过由A 该回A 路为边界的任一曲面的磁通量，而每
第三章 静 磁 场
本章重点：
1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量
2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较
本章难点：利用磁标势解决具体问题
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
3．B 的解
B
A
4
V
(
J (x))dV r
4
V
1 r
J (x)dV
4
V
J
(x) r3rdV这正是毕奥-- 萨伐尔定律
4．A
的边值关系
*
（a） n (B2 B1) 0
n ( A2 A1) 0
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0