参数方程和普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化

教学目标

1.理解参数方程与消去参数后所得的普通方程就是等价的.

2.基本掌握消去参数的方法.

3.培养学生观察、猜想与灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互化”训练中,提高学生解决数学问题的转化能力.

教学重点与难点

使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则,明确新旧知识之间的联系,掌握消去参数的基本方法.

教学过程

师:前面的课程里,我们学习了参数方程,下面请瞧这样一个问题:(放投影片)

由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A、B两点,求AB中点P的轨迹的参数方程(如图3-5).

分析割线过点Q(a,b),故割线PQ方程为:

此斜率k可作为参数.(投影)

解设过点Q的直线方程就是y-b=k(x-a),则圆心O与AB中点P的

即为所求点P的轨迹的参数方程.

师:您能根据点P的参数方程说出点P的轨迹不？

生:(无言以对)瞧不出来.

(启发学生猜想,培养参与意识.)

师:您通过题目中点P符合的条件,多画几个点,猜想一下它的形状.

(学生在纸上画,讨论.)

生:点P的轨迹(1)过坐标原点,也就就是已知圆的圆心.(2)轨迹不就是直线.

师:参数方法就是研究曲线与方程的又一种方法,就是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法.也就就是说,参数方程里的参数可以协调x、y的变化.基于这点理论,有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.即想办法消去参数k,把参数方程转化为我们熟知的普通方程,再去研究它的几何性质就容易了.

把(3)代入(2)得:x2-ax+y2-by=0.(4)

方程(4)证实了我们的猜想就是正确的,具体地说:点P的轨迹就是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部).

师:以上事例说明,有时为了判定曲线的类型,研究曲线的几何性质,确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程.这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则.

例1 炮弹从点(0,0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射,问:(1)在时刻t 的高度与水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)就是一条什么样的曲线？

(学生通过物理知识,很容易解决这个问题.)

解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x,y)(如图3-6),因为炮弹在Ox方向就是以v0cosα为速度的匀速直线运动,在Oy方向就是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动,所以按匀速直线运动的公式知:炮弹在时刻t的水平距离就是x=v0cos α·t,按竖直上抛运动的位移公式知:炮弹在时

即弹道曲线的参数方程上瞧不出来,那么怎么办呢？

生:消去参数t,转化成为普通方程后,就可瞧出曲线的形状了.

故炮弹描绘的曲线就是一条抛物线.(含顶点在内的一部分.因为二次项系数就是负值,所以这就是开口向下的抛物线,与实际问题相吻合.)

例2 把参数方程

即3x+5y-11=0就是所求的普通方程,它的轨迹就是一条直线.

师:这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法.这正与解方程组中代入消元法相类似.她用学过的知识解决了新问题.您认为她的解题过程有问题不？

生:挺好的.我与她解的一样,没问题.

师:同学们在解题时注意参数t的取值范围了不？

生:t为不等于-1的实数,即t≠-1.

师:答案就是否有何不妥？

生:没觉得哪儿不妥,轨迹确实就是一条直线.

师:普通方程就是相对于参数方程而言的,它反映了坐标变量x与y之间的直接关系,而参数方程就是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系.如能消去参数(不就是所有的参数方程都能化为普通方程),参数方程就转化为普通方程,所以普通方程与参数方程就是同一曲线的两种不同的表达形式.为此,在化参数方程为普通方程时,必须注意变数的范围不应扩大或缩小,也就就是对应曲线上的点不应增加也不应减小.这就要求参数方程与消去参数后的普通方程等价.请修正一下您的答案.

生:3x+5y-11=0(x≠-3)就是所求的普通方程,它的轨迹就是一条直线(去掉点(-3,4)).

师:观察一下方程(1)、(2)的形式与您学过的知识中哪个式子类似？(提供类比,用以理解直线的参数方程形式不只一种,它与选定的参数相关.)

至此,想必学生悟到t的几何意义:动点P分P1P2所成的比,即t=

解过点(2,1),(-3,4)的直线方程就是:

化简,得3x+5y-11=0.

师:这个事实说明,据参数的几何意义,也能达到消参的目的.

师:例2表明,直线的参数方程的形式不只一种.那么对同一个参数方程来说,指定的参数不同,会带来曲线的形状不同不？您试试瞧.(激发学生探索问题的兴趣)

生:对同一个参数方程来讲,由于指定的参数不同,会带来曲线形状的变化.例4 化下列参数方程为普通方程.

(让学生按小组讨论求解,然后在投影仪上打出答案.)

略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ,

所以 (x+1)2+y=1,(0≤y≤1).

所以x2-y2=4.

师:消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？

(学生讨论后教师板书)

消去参数的方法常用的有以下两种:

(1)代入法:先求出参数的表达式,然后代入另一个方程中去(如例1).

(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.(如例4)

转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小.也就就是对应曲线上的点,不应增加也不应减少,保证参数方程与消参后的普通方程等价.

师:方程组中有3个变量,其中的x与y表示曲线上点的坐标;θ就是参变量.参数方程之所以能描绘出动点的轨迹,就是由于当给出一个参数值时,就能唯一地求出相应的x与y的值,因而也就确定了这时点所在的位置.所以问题可转化为讨论当θ为何值时,点P到直线的距离最小问题.

因为tanθ、cotθ同号,

又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|,

从例5的结论知道,参数θ不就是问题的主要对象,却能牵动主要对象的根本性质.这个问题的解决再一次说明:参数方程能明确地揭示点的运动规律,对解决某些问题有不可替代的优越性.