介绍一种用四分块矩阵计算n阶行列式的方法

１ １
１
—
１
ｌ
ｌ
０
…
…
１
０
１ 。ｌ
解
Ｄ 一
１
… …
—
１
● ● ● ● ● ●
０
● ● ● ● ●
ｎ２
● ● ● ●
…
● ● ● ●
０
● ● ● ● ●
１
１
１
… １ ａ ＋
一
１
０
０
…
ａ
令
Ａ ＝ １， 一 １ ＝ ＝（ —１ … 一 １ ， ）
● ● ●
＆＂
ａ ＂
ｌ
ａ一
２
…
十 ｎｌ
证 令
Ａ ＝ ＝
。
Ｂ 一 （ ０ … 一 １） ， ０
Ｃ一 （ 口
ｎ Ｊ … ｎ ）， Ｄ 二 ＋ 以ｌ， ２ ＝ ＝
则ｌ ｌ ｌ Ａ — ｚ 一 ，
ｆ ｔ
Ｏ
１ ：” ／ｃ一
１ ｚ 。 ／
、
ａ ｂ ・・ ｂ ・
ｂ ｎ … ｂ
例 ３ 计 算 阶 行 列 式 Ｄ
ｂ ｂ … ｎ
（ ≠６ ． （ ２ Ｐ ４例 ３ 口 ） 文［ ］ ２ ）
解 因 为
第 １期
汤 茂 林 ： 绍 一 种 用 四 分 块 矩 阵 计 算 ”阶 行 列 式 的 方 法 介
．
● ●
．
● ●
一
● ●
．
● ●
ｂ “ 一
ｂ— —ａ ａ。 ｂ — —
０
Ｏ
０
一
（ ａ一 ６ ）
（ ｎ一 ６ ）一 （ ｂ … ６） ｂ
１
ｂ— —ａ
。 — ａ－ ｂ — ｂ— ａ —
一
（ － ｂ 一 （ 一６ ＋ ・ ｌ ｎ ， ）］ “ ） 。 ） ｌ“ ） ｂ 一［ ＋（ 一１ ６ （ 一６ 一 ． ｚ
解
令 Ａ— Ｄ一
．
Ｂ — Ｃ 一
６
，
则
［ 稿 日期 ］ ２ ０ — ３ １ 收 ０ ７０ — ３
２０ ０
大 学 数 学
第 ２ ７卷
Ｄ一ｃＤ一 —Ａ． 孙 ｌ 竺— Ｉ ｃ。 ｌ １Ｉｌ 一 ｌＡ ‘ Ｄ Ｂ
：： ＝
１ａ ／
６
一 口
６
［ 摘 要 ］ 介 绍 一种 用 四 分 块 矩 阵计 算 阶 行 列 式 的 方 法 ， 种 计 算 方 法 对 某 些 阶 行 列 式 是 较 为有 用 这
的一 种 方 法 ， 适 用 于 比较 复 杂 特 殊 的 行 列 式 ． 它 ［ 键 词 ］ 分 块 矩 阵 ； 阶行 列 式 ； 算 方 法 关 ， ｚ 计 ［ 图分 类 号］ Ｏ１ １ ２ 中 ５ ． ［ 献标识码］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ ４ ４ ２ １ ） １０ ９ — ４ 文 ６ ２ １ ５ （ ０ １ ０ — １ ９０
Ａ一 口一 ｂ， Ｂ一 （ ｂ … ６），Ｃ一 （ ６ ６一 ｎ ６ 以 … ６一 ｎ） ， — 一 Ｄ
一 Ｏ 一 ０
ａｔ ｂ — —
所 以
Ｏ — ｚ 一 ０
Ｄ 一
ｌ ｌＡ— ＢＤ ｃ Ｄ ｌ
ｌ ｎ— ｂ
１
．
● ●
Ａ
＝＝ ＝
于是 ，
左 边 一 ｌ ｌＤ— ｃ Ａ ｌ Ａ一 Ｂ
１ １
２
１
Ｚ １
０
Ｏ
０
÷ … 击
０ …
—
Ｏ
：
●
０ ０
１
２２ ０
大 学 数 学
第 ２ ７卷
一
”一
Ｊ＋ ＋ ＋＋） 。 （ ｃ ＋ …警 ｚ
用 命题 ２的结 论计 算某 些 Ｔ阶行 列式 ， 方法 简便 ， 易掌 握 ． ｌ 其 容 以下 从 文Ｅ ３ ２ 中选 出数例 说 明它 的应
用．
仞Ｉ 计 算 ２ １ ｎ阶 行 列 式
６
Ｄ２ 一
Ⅱ ｂ
．
ｂ ＆
（ ［］ ２ 文 ２ Ｐ ７例 ６ ）
６
（ － ｒ ×ｒ （ － ｒ × （ － ｒ 阶 的 矩 阵 ． ｎ ） ，ｎ ） ｎ ） （）若 Ａ 可 逆 ， １ － Ｉ ｌ ｉ 则 － Ａ ＩＤ—Ｃ ＢＩ Ｐｌ－ － － Ａ ； （ ）若 Ｄ 可 逆 ， ｌ — ｌ ｌＡ－Ｂ ＣＩ ｉ ｉ 则 Ｐｌ － Ｄ Ｄ ｌ ． 命 题 ２的 证 明 仿 命 题 １可 证 ．
ａ。 ｂ — —
＆ ６ …
２１ ０
ｂ
ｂ ０
ｂ。 ａ ａ — ｂ — — — ｂ ａ ・・ ・
１
ｎ一 ６
６ ６ …
ｂ— ａ
Ｏ
ａ… ｂ
・
ｂ— ａ
Ｏ
０
… ＆一 ｂ
令
ａ－ ｂ — — ＆一 ６
ｚ Ｏ Ｏ Ｏ
— —
１
０ … １
… ・
…
０ ０
０
● ● ● ● ● ● ● ● ●
０
例 ４ 证 明
Ｏ
● ●
Ｏ
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
—
” ” ＋ …＋ｎ ｚ （ ２ ｐ ９ ２ ３ ） ＋ａ 一 ＋ｎ ． 文Ｅ ￣ ２ （ ）
’
一． ＋ ａ 一 … ＋ ｎ 一 ＋ ａ 一 右 边 ． ｚ ｌ ＋ ｌ
通过 以上 文［ ］ ２ 的几个 例题 不难看 出 ， 用 四分块 矩 阵计 算某 些 阶行 列式 ， 键 在 于对 分块 矩 阵 利 关 的选 择． 根据 行 列 式 的特 点 灵 活应 用 命 题 ２的结论 ， 能把 行 列 式 的性 质 综 合 考 虑 ， 会使 应 用 更 为 若 将
１ａ ／
ｂ
ａ一 — —
ｎ
ｂ
Ⅱ 一 一 口 ” —— 以
”
．
ｂ
＆ 一 — — 以
１＋ ｎｌ １
１ １ 口 ＋ ２
１
１ １
… …
１ １
１
… …
例 ２ 计算 Ｄ 一
１
… … … …
１＋ ＆３ …
… … … … … … …
Ｉ。 Ｉ。 Ａ Ａ一 ｌ 。Ｂ Ｂ Ａ 一 ｌ （ｃＢ ｌ Ｃ ｃＩｌ Ａ ｃＢ ｌ ｌ ） — Ｉ — 。Ａ — 一 Ｉ Ａ ．
对 上述 命 题 １的推 广 ， 如下命 题 ２的结论 ． 即
命 ２ Ｐ （ ｕ￣ ／ｎ 方 ，中 ， ｃ 分 是 ｒ （ ｒ 题 设 一 一 －Ｉ 阶 阵其 ＡＢ ， 别 ｒ ｒ ） ） － ，。 ｘ， 一 ， ｘ
Ｐ７ １ ９习题第 ６ 给 出 了如下 命题 １的结 论． 题
１ Ｂ Ｉ Ａ
命 １设 ，ｃ 都 矩 ，中 Ｏ 且 ｃｃ，ｌ Ｄ— ＤＣＩ 题 Ａ ，Ｄ 是 阶 阵其 Ｉ≠’ Ａ—Ａ Ｉ －Ｂ ＿， Ｂ 并 ａ ｌ 则ｃ ｌ Ａ ・
证 由一 Ｅ Ｄ一 一ＡＢ得 （Ｅ ） ）（。 ） Ｃ Ａ （ Ｄｃ ， ｃ ０ — Ｂ
广泛 ．
［ 参 考 文 献］
［ ］ 张禾 瑞 ， 锕新 ． 等 代 数 ［ ． 京 ： 民教 育 出版 社 ，９ ９ ６ １ 郝 高 Ｍ］ 北 人 １ ７． ．
［ ３ 吴 传 生 ， 卫 华 ． 济 数 学 线性 代 数 Ｅ ． 京 ： 等 教 育 出版 社 ，０ ３ １ － ２ 王 经 Ｍ３ 北 高 ２０．２
第 ２ ７卷 第 １期
２１ ０ １年 ２ 月
大 学 数 学
Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ．１ １２ №
Ｆｅ ２ １ ｂ． ０１
介 绍 一 种 用 四 分 块 矩 阵 计 算 阶 行 列 式 的方 法
汤 茂 林
（ 汉 商 业 服务 学 院 ， 武 湖北 武 汉 ４ ０ ５ ） ３ ０ ８
在 高 等 代 数 课 程 中 ， 于 阶 行 列 式 的 计 算 ， 般 方 法 是 不 存 在 的 ， 处 理 特 殊 类 型 的 行 列 式 有 各 对 一 但
种 不 同 的方 法 ． 文 介 绍 一 种 用 四 分 块 矩 阵 计 算 阶行 列 式 的 方 法 ． 于 分 块 矩 阵 的 行 列 式 ， ［ ］ 本 对 文 １
Ｄ ＝ ＝
于 是
１
１ ｒ — —
一
１ １
１
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Ｄ ＝ｌ ＝ ＤｌＡ—Ｂ ＣＩ＝ １ ＝ Ｉ Ｄ ＝ｄ ａ …口 ＝ ２
ａ２
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１
＿ ＿ ＿ — — —
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ａ ｌ ２… ａ
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（ 中 ｎ ≠ ０ 一 １ ２， ， ． 其 ，ｉ ， … ）
…
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１
１
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（ ２］３ 文［ － ０习题 ４ ２ ） Ｐ （ ）
１ ｎ１ ＋ １ １ １ 口 ＋ ２
１
… … … … …
１ １
１＋ ｎ
… … … …
… …
…
… … …