初等方法建模4交通事故调查--数学建模案例分析

§4 交通事故调查

一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲进路边的沟里。警察闻讯赶到现场，对汽车留在路上的刹车痕迹进行细致的测量，利用所测到的数据画出了事故现场的平面图。

询问司机时，他声称当时车进入弯道后刹车失灵，还说进入弯道时的车速不到30英里/小时（该路速度上限）。通过验车证实该车的制动器在事故发生时确实失灵。警察按通常做法，作一条基准线来测量刹车痕迹，距离x 沿基准线测得，距离y 与x 垂直。

警察还测了路的坡度，发现是平的。接着以同型号的车在初速度为30英里/小米/秒）下进行两次刹车测试。结果如下： 第一次测试 位移0.11=s 米 第二次测试 位移85.10=s 米

现在的问题是，造成事故的直接原因究竟是刹车失灵还是违章超速行驶。

模型假设 1、从平面图可见汽车没有偏离它行驶的转弯曲线，车头一直指着切线方向。由此可设

汽车的重心沿一个半径为r 的圆运动；

2、从平面图可见汽车车轮转着打滑,车滑向路边。由此可认为摩擦力作用在汽车速度

的法线方向上，在这种情形下，摩擦力提供向心力。摩擦系数为μ。 3、汽车出事时的速度v 是常量，即初速度0v 。 模型建立 1、计算出圆周半径r 的近似值。

由测得的数据进行拟合一个圆。可以隔三点选一个，代入

2

2

2

)()(r b y a x =-+- （1） 得到一组r 的值，然后取平均值。

也可由弓形中的计算公式（m 为弓形的高，c 为弦的长度）

刹车痕迹

2

2

2)2

()(c m r r +-= （2） 得到r 的近似值。

2、计算地面的刹车系数a （减速度a ） 由 as v v 22

02-=及0=v ，得

s

v s v v a 222

0220=-= （3）

3、导出计算初速度0v 的公式

由假设2，r

v m mg 2

0=μ，即 μrg v =2

0，又由牛顿第二定律

mg ma μ=

有 g a μ= 从而

a r v =2

0 （4） 模型求解 1、通过表中数据拟合，得到r 的以下各值 , ,

取平均值就得到67.40=r 米

或将55.3,

27.33==m c 代入（2）

，得到75.40=r 米。 2、取位移0.11=s （用它计算得到a 对肇事车辆有利），41.130=v ，代入（3）， 得2

/1754.8秒米=a 。

3、取1754.8,67.40==a r 代入（4），得

秒米/2340.181754.867.400=⨯=v 小时英里＝/7732.40

模型分析 由计算得出超速的结论，由于模型假设3，以及确定车辆刹车位移s ，模拟圆周半径

r 时都会带来微小误差，使得计算结果可能产生一定的误差。即使允许对司机有利的误差10%，车速仍在35英里/小时左右，因此可以断定造成事故的直接原因是超速行驶。