高中数学曲线与方程

3.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上 一动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后展开纸片,折痕CD与OA交 于点P,当点A运动时,点P的轨迹为( A ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆
解析:因为折痕所在的直线是线段AQ的垂直平分线,
所以|PA|=|PQ|. 又|PA|+|OP|=r(r为圆O的半径),
为C,其坐标为(4,0),半径r2=2.
设动圆的圆心为P(x,y),半径为r. 由题意可知|PO|=r+1, ①
|PC|=r+2,
的双曲线的一支,故选B.
②
由①②得|PC|-|PO|=1<4=|OC|,故动圆的圆心的轨迹是以O,C为焦点
5.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴,y轴交于A,B两 点,则AB中点M的轨迹方程为 .
知识梳理
1.曲线与方程
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的
点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的 坐标 都是这个方程的 解 ; (2)以这个方程的 解 为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 . 2.求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
解析:当直线 l1 的斜率存在时,l2 的斜率也存在,设直线 l1 的方程是 y-1=k(x-1), 则直线 l2 的方程是 y-1=1 (x-1), k
1 1 所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A 1 ,0 ,l2 与 y 轴的交点为 B 0,1 , k k
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0,并化简; (4)查漏补缺.
3.求动点轨迹方程的常用方法
(1)直接法.也叫直译法,即根据题目条件,写出关于动点的几何关系并用
坐标表示,再进行整理、化简. (2)定义法.先根据已知条件判断动点的轨迹形状,然后根据曲线的定义 直接求动点的轨迹方程. (3)代入法.也叫相关点法,其特点是,动点M(x,y)与已知曲线C上的点 (x′,y′)相关联,可先用x,y表示x′,y′,再代入曲线C的方程,即得点M 的轨迹方程. (4)参数法.选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标(x,y),消去参数,
1 1 x 2 1 k , 设 AB 的中点 M 的坐标为(x,y),则有 y 1 1 1 , 2 k
两式相加消去 k,得 x+y=1(x≠ 即 x+y-1=0(x≠
1 ), 2
1 ), 2
所以 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+y-1=0(x≠
(D)8x2+8y2+2x+4y-5=0
解析:设 P(x,y),因为点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,所以
x 1 y 2 =3 x 2 y 2 ,化简整理得 8x2+8y2+2x-4y-5=0,即为动
2 2
点 P 的轨迹方程,故选 A.
即得其普通方程.
【拓展提升】 1.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条
件是f(x0,y0)=0.
2.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方 程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.
3.两条曲线有交点的充要条件是两条曲线的方程所组成Fra Baidu bibliotek方程组有
实数解.
对点自测
1.(2016·宜昌模拟)方程 x= 1 4 y 2 所表示的曲线是( (A)双曲线的一部分 (B)椭圆的一部分 (C)圆的一部分 (D)直线的一部分
2 2
B
)
解析:x= 1 4 y 2 两边平方,可变为 x +4y =1(x≥0), 表示的曲线为椭圆的一部分,故选 B.
2.(2016·浙江温州十校联考)已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足 |PA|=3|PO|,则点P的轨迹方程是( A ) (A)8x2+8y2+2x-4y-5=0 (B)8x2+8y2-2x-4y-5=0 (C)8x2+8y2-2x+4y-5=0
所以|PQ|+|OP|=r>|OQ|.
由椭圆的定义知,动点P的轨迹是以O,Q为焦点的椭圆,故选A.
4.与圆x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心的轨迹是( (A)椭圆 (C)抛物线 (B)双曲线的一支 (D)圆
B
)
解析:设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),r1=1,设圆x2+y2-8x+12=0的圆心
1 ). 2
1 1 当直线 l1 的斜率不存在时,点 M 的坐标为( , ), 2 2
此点在直线 x+y-1=0 上. 综上,AB 中点 M 的轨迹方程为 x+y-1=0.
答案:x+y-1=0
考点一 定义法求轨迹方程 【例1】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及 圆C2相外切,求动圆M圆心的轨迹方程. 解:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B, 则有|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 又|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2, 即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,
第 6节
曲线与方程
最新考纲
了解曲线与方程的对应关系.
Page
2
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件吗? 提示:是.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,则曲线C上的点的坐标满足 f(x,y)=0,以f(x,y)=0的解为坐标的点也都在曲线C上,故f(x0,y0)=0 是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件. 2.方程y= x 与x=y2表示同一曲线吗? 提示:不是同一曲线.