江西师范大学附属中学数学全等三角形(篇)(Word版 含解析)

江西师范大学附属中学数学全等三角形（篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1

2

BC，则△ABC的顶角的度数为

_____．

【答案】30°或150°或90°

【解析】

试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．

解：①BC为腰，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴∠ACD=30°，

如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，

如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，

②BC为底，如图3，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴∠BAD+∠CAD=1

2

×180°=90°，

∴顶角∠BAC=90°，

综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．

故答案为30°或150°或90°．

点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC

∥，PF AC

∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF

++=____cm．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB，PE BC

∥

∴四边形HBDP是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC

∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

3．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为

___________．

【答案】4

【解析】

【分析】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，

∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．

【详解】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠DBC=∠DCB=20°，

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，

同理可得∠NCD=90°，

∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，

在△BDM 和△CDE 中，

BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，

＝

∴△BDM ≌△CDE （SAS ），

∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，

∴∠MDE=∠BDC=140°，

∵∠MDN=70°，

∴∠EDN=70°=∠MDN ，

在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝，＝

∴△MDN ≌△EDN （SAS ），

∴MN=EN=CN+CE ，

∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．

4．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．

【答案】6

【解析】

【分析】

作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出12

4CG BC =

=，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长．

【详解】

解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE与△BCF中

AC BC

ACE BCF

CE CF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△ACE≌△BCF（SAS），

又∵AD是三角形△ABC的中线

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴

1

2

4

CG BC

==，

在Rt△CMG中，2222

543

MG CM CG

=-=-=，

∴MN=2MG=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．

5．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．

【答案】40°

【解析】