相似三角形及比例线段课件讲解
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2、已知：x : y 5 : 2,求（x y) : (x y)的值
3、线段a、c的积是625，则a、c的比例中
项是
。
4、已知3x-5y=0，则x：y=
.
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质. 比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
A
D
A1
D1
B
C
B1
C1
A
x
B
a
塔原高146.59米，因 顶端剥落，现高136.5 米，相当于一座40层 摩天大楼，塔底面呈 正方形，占地5.29万 平方米.
D c Cb E
复习引入：
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动
相似形——形状相同，大小不一定相同的
图形叫做相似形。
相似多边形的性质：
如果两个多边形是相似形，那么它们的对 应角相等，对应边成比例。
=
4k+25k–6k 6k–10k+6k
= 223.
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
分析：(1)
OA AC
A
D
OA
OA+OC
O
B
C
OA+OC OA
OC OA =
2 3
.
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
等腰三角形是相似的图形吗？ 等边三角形是相似的图形吗？ 直角三角形是相似的图形吗？
等腰直角三角形是相似的图形吗？ 正方形是相似的图形吗？ 矩形是相似的图形吗？
两个正方形
B B'
C
C'
两个等腰直角三角形
E
H
A
两个图形的相似
A' 与对应的角度有
关,也与对应边的
D 比有关.
F
G
大家说
生活中存在大量的 形状相同的图形，试举 出几例.
C
A
50
D`
C`
25
10
A` 20 B`
B
∵
AB BC
=
50 25
=2，
AB``CB``=
20 10
=2，
∴
AB BC
=
A`B` B`C`
.
因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.
数学操： 1、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求 下列线段的比值：
（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AE AF AB = AC .
例1、已知
A
ABC A' B 'C '
P BC
B′
ACB A'C ' B '
AB BC CA A'B' B'C' C' A'
如果两个多边形 是相似形，那么 C′ 这两个多边形的 对应角相等，对 应边的长度成比
相似图形的性质：
各对应角相等，各 对应边成比例。
这既是两个相似的 图形的性质，又是判定 的依据。
9.b d f 2，(a c e 0)， ac e3
则 b d f ,b 2d 4 f .
5a 5c 5e
a 2c 4e
10.若 a c a b b c k，求k的值. bca
补充练习：如图所示：皇帝决定把一个正方
AC DF BC = EF .
练习3—2：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC AB =
DF DE
，
C
F
理由：
AB DE
BC = EF
BC EF AB = DE
AB+BC AB
=
DE+EF DE
AC DF AB = DE .
练习3—3：
A
D
如图，已知
AC DF BC = EF
b=3， c=4，那么d=__6_ .
7.下列各组线段的长度成比例的是 （ D）
（A）2，3，4，1 （B）1.5，2.5，6.5，4.5
（C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2 ，2，4
8.已知，(x + y): 4 = y : 3，
则
x2
-
2 x2
xy +
+ y2
3
y
2
=
___1_1___ . 5
2. 4和9两数的比例中项是 .
3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中
项是
.
４.若
x 3
y 7
9z ，且x
y
z
38，
则x ，y ， z .
5.若3a 2b 5c，a b c 31，
则a ，b ，c .
6.若a、b、c、 d成比例，且a=2，
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
AB = AC
AB AC BE = CF
AB–BE BE
=
AC–CF CF
AE AF
有没有简单BE方=法C？F
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ad bc cb = da .
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
解
:
1.
a b
148mm 220mm
37 55
;2. b
a
22cm 148cm
220mm 148mm
55 . 37
• 结论：
• 1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正
数,它没有单位.
• 2.两条线段的比是有顺序的;
• 3.两条线段比与所选的长度单位无关.
• 4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须
d 叫做组成比例的项，其中a,d叫 做比的外项,b,c叫做比的内项, d
叫做 a、b、c的第四比例项.
如果比例的两个内项（或者两个外项） 相同，那么这个相同的项叫比例中项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
即a b=
b c
或 a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
D
相似形
全等的两个图形 也是相似形 全等形与相似形有何关系？
（1）全等形是相似形的特殊情况; （2）相似形包括全等形.
把形状相同的图形称为 相似的图形，简称相似形.
（1）相似形的形状必须同， 大小不一定等;
（2）当大小相等时，相 似形变成全等形.
A′
S
∵△ABC △A′B′C′
BAC B ' A'C '
x+y 3y
5 =4
，求
x y
.
解：
∵
x+y 3y
=
5 4
，
∴x+y y =
15 4
，
∴x+yy–y
15–4 =4
，
∴
x y
11 =4.
例2、已知 a：b：c=2：5：6，
求
2a+5b–c 3a–2b+c
的值.
解： 设
abc 2 = 5 = 6 = k,
则 a=2k, b=5k, c=6k,
∴
2a+5b–c 3a–2b+c
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB
=
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
AC EF =
BD EA
，
那么 EF·BD=AC·EA；
如果
HE NF =
HF NK
，
那么 HF·NF= HE·NK；
练习1—2：
如果
AD PB =
PB BC
，
那么 AD·BC= PB2；
如果
DE DF DF = DC
a b
=
c d
= …=
m n
？
a+c+…+m b+d+…+n =
a b
.
证明：设
a b=
c d
= …=
m n
=k,
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴ ab++dc++……++mn=
bk+dk+…nk b+d+…n
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
A BC
B1
A1 C1
例题1 如图，四边形ABCD与四边形 A与对1点应B1顶BC11点、D点1，是C若相与B似点C形=C31，、，点点CDDA与=与2点点.4D，A11分、别点是B A∠1CB=1=121.02度，，B1∠CD1==29，0度∠，B求=边70A度B，、 C1D1的长和∠A1的度数.
OA OC
=
OB OD =
3 2
，
A
∴
OA+OB OC+OD
=
3 2
.
D O
B
C
D B
AD
课本例1.已知：
AE
如图，
DB EC
求证：
A
(1) AB AC
DB EC
E (2) AB AC
C
AD AE
x 1.若 y
2 ，则 3
x y
y
x
，
y
x y
，
x5y .
5x 2y
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE
=
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了).
a c
b=d
bd a=c .
，
B
E
那么
BC AB =
EF DE
，
C
F
理由：
AC DF
BC = EF
AC–BC BC
=
DF–EF EF
AB DE BC = EF
BC EF AB = DE .
练习3—4：
A
如图，已知
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
，
那么 DE·DC=DF2；
如果
SB EF
=
EF SC
，
那么 EF2= SB·SC；
如果
MA NF
NF = MB
，
那么 NF2= MA·MB.
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，对比调例内仍项成，立！
BE BF
=
AE AF
，
BE AE =
（1）比例的基本性质：
比例的外项之积等于内项之积
如果 a：b =c：d
，那么ad =bc.
即
a b=
c d
特殊地：
如果 aad∶=bb=cb. ∶则可c 得到bba2=ac.dc
或
b d , a b , c d a cc da b
练习1—1：
如果
PA PC PB = PD
，
比例线段
单位： 同一
B1
A
a
B
A1
顺序： 一致
结果： 正数 无单位
b
C1
C
分数要化成 最简分数
在同一单位下，两条线段的长度的比，
Leabharlann Baidu叫做这两条线段的比，记作a:b或
。a b
其中,线段a,b分别叫做这个线 段比的前项和后项。
练 习:
①若a=148 ②若a=148
mm，b=220 mm，求a∶b； mm，b=22 cm，求 b∶a．
那么 a c ... m k . b d ... n （不可逆）
AB
（即2）A引B入比k ,则值Ak的B=表k·示CD方。法或：C如D果把1CABD表示成比值k,
CD
k
比有前后顺序,相当于分子与分母
注意：引入比值k的方法是解决比例问题的一 种重要方法,以后经常会用到。
先化成同一单位.再求它们的比 .
• 5.比的性质同分数的性质.
2对.如于四果条两线条段线a段、的b、比c与、另d，两条线段的
如比果相a等 叫c (做或这a :四b 条c线: d段) 成比例线段 ， 那简么称这b 比四d例条线线段段a、. b、c、d叫做成比例
线段，简称比例线段.那么 a、b、c、
(2)合比性质
如果 a c 那么 a b c d
bd
bd
ac
ab cd
bd
b
d
（分母不为0）
ac a c
bd
ab cd
练习3—1：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC BC =
DF EF
，
C
F
理由：
AB DE
BC = EF
AB+BC BC
=
DE+EF EF
BE CF AE = AF
有！
AAEBEA+=EBAAEFC=
AF+ACEF AAFB =
AF AC
.
(3)等比性质
如果 a c k bd
那么 a c a c k bd b d
等比性质可以推广到任意有限多个相等 比.
等比性质：
如果 a c ... m k (b d ... n 0), bd n
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE =
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE =
BF AF
，
对调外项， 比例也成立！
BF AF =
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
解：(1) ∵
OA OC
=
3 2
，
A
∴
OC OA
=
2 3
，
∴
OA+OC OA
=
5 3
，
B
即
AC OA
=
5 3
，∴
OA AC
=
3 5
；
D
O C
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
解：(2) ∵
3、线段a、c的积是625，则a、c的比例中
项是
。
4、已知3x-5y=0，则x：y=
.
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质. 比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
A
D
A1
D1
B
C
B1
C1
A
x
B
a
塔原高146.59米，因 顶端剥落，现高136.5 米，相当于一座40层 摩天大楼，塔底面呈 正方形，占地5.29万 平方米.
D c Cb E
复习引入：
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动
相似形——形状相同，大小不一定相同的
图形叫做相似形。
相似多边形的性质：
如果两个多边形是相似形，那么它们的对 应角相等，对应边成比例。
=
4k+25k–6k 6k–10k+6k
= 223.
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
分析：(1)
OA AC
A
D
OA
OA+OC
O
B
C
OA+OC OA
OC OA =
2 3
.
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
等腰三角形是相似的图形吗？ 等边三角形是相似的图形吗？ 直角三角形是相似的图形吗？
等腰直角三角形是相似的图形吗？ 正方形是相似的图形吗？ 矩形是相似的图形吗？
两个正方形
B B'
C
C'
两个等腰直角三角形
E
H
A
两个图形的相似
A' 与对应的角度有
关,也与对应边的
D 比有关.
F
G
大家说
生活中存在大量的 形状相同的图形，试举 出几例.
C
A
50
D`
C`
25
10
A` 20 B`
B
∵
AB BC
=
50 25
=2，
AB``CB``=
20 10
=2，
∴
AB BC
=
A`B` B`C`
.
因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.
数学操： 1、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求 下列线段的比值：
（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AE AF AB = AC .
例1、已知
A
ABC A' B 'C '
P BC
B′
ACB A'C ' B '
AB BC CA A'B' B'C' C' A'
如果两个多边形 是相似形，那么 C′ 这两个多边形的 对应角相等，对 应边的长度成比
相似图形的性质：
各对应角相等，各 对应边成比例。
这既是两个相似的 图形的性质，又是判定 的依据。
9.b d f 2，(a c e 0)， ac e3
则 b d f ,b 2d 4 f .
5a 5c 5e
a 2c 4e
10.若 a c a b b c k，求k的值. bca
补充练习：如图所示：皇帝决定把一个正方
AC DF BC = EF .
练习3—2：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC AB =
DF DE
，
C
F
理由：
AB DE
BC = EF
BC EF AB = DE
AB+BC AB
=
DE+EF DE
AC DF AB = DE .
练习3—3：
A
D
如图，已知
AC DF BC = EF
b=3， c=4，那么d=__6_ .
7.下列各组线段的长度成比例的是 （ D）
（A）2，3，4，1 （B）1.5，2.5，6.5，4.5
（C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2 ，2，4
8.已知，(x + y): 4 = y : 3，
则
x2
-
2 x2
xy +
+ y2
3
y
2
=
___1_1___ . 5
2. 4和9两数的比例中项是 .
3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中
项是
.
４.若
x 3
y 7
9z ，且x
y
z
38，
则x ，y ， z .
5.若3a 2b 5c，a b c 31，
则a ，b ，c .
6.若a、b、c、 d成比例，且a=2，
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
AB = AC
AB AC BE = CF
AB–BE BE
=
AC–CF CF
AE AF
有没有简单BE方=法C？F
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ad bc cb = da .
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
解
:
1.
a b
148mm 220mm
37 55
;2. b
a
22cm 148cm
220mm 148mm
55 . 37
• 结论：
• 1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正
数,它没有单位.
• 2.两条线段的比是有顺序的;
• 3.两条线段比与所选的长度单位无关.
• 4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须
d 叫做组成比例的项，其中a,d叫 做比的外项,b,c叫做比的内项, d
叫做 a、b、c的第四比例项.
如果比例的两个内项（或者两个外项） 相同，那么这个相同的项叫比例中项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
即a b=
b c
或 a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
D
相似形
全等的两个图形 也是相似形 全等形与相似形有何关系？
（1）全等形是相似形的特殊情况; （2）相似形包括全等形.
把形状相同的图形称为 相似的图形，简称相似形.
（1）相似形的形状必须同， 大小不一定等;
（2）当大小相等时，相 似形变成全等形.
A′
S
∵△ABC △A′B′C′
BAC B ' A'C '
x+y 3y
5 =4
，求
x y
.
解：
∵
x+y 3y
=
5 4
，
∴x+y y =
15 4
，
∴x+yy–y
15–4 =4
，
∴
x y
11 =4.
例2、已知 a：b：c=2：5：6，
求
2a+5b–c 3a–2b+c
的值.
解： 设
abc 2 = 5 = 6 = k,
则 a=2k, b=5k, c=6k,
∴
2a+5b–c 3a–2b+c
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB
=
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
AC EF =
BD EA
，
那么 EF·BD=AC·EA；
如果
HE NF =
HF NK
，
那么 HF·NF= HE·NK；
练习1—2：
如果
AD PB =
PB BC
，
那么 AD·BC= PB2；
如果
DE DF DF = DC
a b
=
c d
= …=
m n
？
a+c+…+m b+d+…+n =
a b
.
证明：设
a b=
c d
= …=
m n
=k,
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴ ab++dc++……++mn=
bk+dk+…nk b+d+…n
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
A BC
B1
A1 C1
例题1 如图，四边形ABCD与四边形 A与对1点应B1顶BC11点、D点1，是C若相与B似点C形=C31，、，点点CDDA与=与2点点.4D，A11分、别点是B A∠1CB=1=121.02度，，B1∠CD1==29，0度∠，B求=边70A度B，、 C1D1的长和∠A1的度数.
OA OC
=
OB OD =
3 2
，
A
∴
OA+OB OC+OD
=
3 2
.
D O
B
C
D B
AD
课本例1.已知：
AE
如图，
DB EC
求证：
A
(1) AB AC
DB EC
E (2) AB AC
C
AD AE
x 1.若 y
2 ，则 3
x y
y
x
，
y
x y
，
x5y .
5x 2y
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE
=
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了).
a c
b=d
bd a=c .
，
B
E
那么
BC AB =
EF DE
，
C
F
理由：
AC DF
BC = EF
AC–BC BC
=
DF–EF EF
AB DE BC = EF
BC EF AB = DE .
练习3—4：
A
如图，已知
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
，
那么 DE·DC=DF2；
如果
SB EF
=
EF SC
，
那么 EF2= SB·SC；
如果
MA NF
NF = MB
，
那么 NF2= MA·MB.
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，对比调例内仍项成，立！
BE BF
=
AE AF
，
BE AE =
（1）比例的基本性质：
比例的外项之积等于内项之积
如果 a：b =c：d
，那么ad =bc.
即
a b=
c d
特殊地：
如果 aad∶=bb=cb. ∶则可c 得到bba2=ac.dc
或
b d , a b , c d a cc da b
练习1—1：
如果
PA PC PB = PD
，
比例线段
单位： 同一
B1
A
a
B
A1
顺序： 一致
结果： 正数 无单位
b
C1
C
分数要化成 最简分数
在同一单位下，两条线段的长度的比，
Leabharlann Baidu叫做这两条线段的比，记作a:b或
。a b
其中,线段a,b分别叫做这个线 段比的前项和后项。
练 习:
①若a=148 ②若a=148
mm，b=220 mm，求a∶b； mm，b=22 cm，求 b∶a．
那么 a c ... m k . b d ... n （不可逆）
AB
（即2）A引B入比k ,则值Ak的B=表k·示CD方。法或：C如D果把1CABD表示成比值k,
CD
k
比有前后顺序,相当于分子与分母
注意：引入比值k的方法是解决比例问题的一 种重要方法,以后经常会用到。
先化成同一单位.再求它们的比 .
• 5.比的性质同分数的性质.
2对.如于四果条两线条段线a段、的b、比c与、另d，两条线段的
如比果相a等 叫c (做或这a :四b 条c线: d段) 成比例线段 ， 那简么称这b 比四d例条线线段段a、. b、c、d叫做成比例
线段，简称比例线段.那么 a、b、c、
(2)合比性质
如果 a c 那么 a b c d
bd
bd
ac
ab cd
bd
b
d
（分母不为0）
ac a c
bd
ab cd
练习3—1：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC BC =
DF EF
，
C
F
理由：
AB DE
BC = EF
AB+BC BC
=
DE+EF EF
BE CF AE = AF
有！
AAEBEA+=EBAAEFC=
AF+ACEF AAFB =
AF AC
.
(3)等比性质
如果 a c k bd
那么 a c a c k bd b d
等比性质可以推广到任意有限多个相等 比.
等比性质：
如果 a c ... m k (b d ... n 0), bd n
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE =
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE =
BF AF
，
对调外项， 比例也成立！
BF AF =
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
解：(1) ∵
OA OC
=
3 2
，
A
∴
OC OA
=
2 3
，
∴
OA+OC OA
=
5 3
，
B
即
AC OA
=
5 3
，∴
OA AC
=
3 5
；
D
O C
例3、已知：如图，OOAC
=
OB OD
=
3 2
，
求：(1)
OA AC
;
(2) OA+OB . OC+OD
解：(2) ∵