概率论第十五讲正态分布

1 a
(
y b)
e
(
yba 2a2 2
)2
2 | a |
y
Y ~ N ( a +b, a22 )
一维正态r.v.的线性函数还服从正态分布
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) ,
则 Y X ~ N(0,1)
若X 服从正态分布，,它的密度函数 完全由期望和方差决定.
例6 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数.
第十五讲 正态分布
教学目的： 1.一维正态分布. 2二维正态分布
教学内容： 第三章， § 4.1 ～ 4.3 。
一、一维 正态分布
若X 的 d.f. 为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
, 为常数， 0
x
亦称高斯 (Gauss)分布
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2 )
0.5586
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米
P( A) 1 (1 0.5586)n 0.9
n> 3
故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.
二、一维 正态分布的数字特征
X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) D( X )
E(X ) x
1 e dx
解 E(Y ) 1 2 1.7 2.4,
D(Y ) 4 3 12
求 P ( X < 0 ).
解一
P( X
0)
0
2
1
2
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2 0.8
P(X 0) 0.2
例3 已知X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解二 图解法
0.2
0.3
0.15
0.1
-5 -4 -3 -2 -1
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
正态变量的条件 若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
则称 X 为正态 r.v.
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
点处有拐点 ④曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
⑤曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
⑥f ( x) 的两个参数： — 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)
0.2
0.05
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例4 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
3
3
3 3
2 3 1 2 0.9987 1 0.9974
一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )
一种重要的正态分布
—— 标准正态分布N (0,1)
密度函数
(x)
1
x2
e2
2
是偶函数，分布函数记为
x
(x) 1
x t2
e 2 d t x
2
其值有专门的表供查.
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
常用 数据
z0.05 1.645 z0.025 1.96
例5 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位:米)
问要进行多少次独立测量，才能使至
少有一次误差的绝对值不超过10米的
概率大于0.9 ?
解
P(|
X
|
10)
10107.5
10 10
7.5
0.25 1.75
0.25 [11.75]
b
a
P(X a) 1 F(a)
1
a
例1 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解
P(0
X
1.6)
1.621
0
2
1
0.3 0.5
P289 附表2 0.3[10.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
例2 已知X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
(x) 1(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -x -1
P(| X | a) 2 (a) 1
1x 2 3
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1
e dt x
(
t )2 2 2
2
作变量代换
s
t
F
(x)
x
P(a X b) F (b) F (a)
(
x )2 2 2
令 x u
2
（ u ）
1
u2
e 2 du
2
D(X )
(
x
)
2
1 e dx
(
x )2 2 2
令 x t
2t 2
2
1
பைடு நூலகம்
t2
e 2 dt 2
2
二、一维 正态随机变量函数的分布
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
fY
(
y)
|
1 a
|
f1X
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2
则
1
2 1
1
2 2
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点 比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=
Show[fn1,fn3]
小
0.5 0.4
大 0.3 0.2 0.1
-6
几何意义 数据意义
的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小
由3 原理知，
当a 3时 (a) 0, b 3时 (b) 1
标准正态分布的上 分位数 z 设 X ~ N (0,1) , 0 < < 1, 称满足
P( X z )
的点 z 为X 的上 分位数
0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1
1 2z 3
N (-3 , 1.2 )
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
f (x) 的性质：
① 图形关于直线 x = 对称, 即
f ( + x) = f ( - x)
1
②在 x = 时, f (x) 取得最大值 2
③在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的