专题3 第7讲机械能守恒定律 功能关系

单个或多个物体机械能守恒的问题，解题时必须选取参考平面。 而后两种表达式都是从“转化”和“转移”的角度来反映机械 能守恒的，不必选取参考平面。
【变式训练】(多选)(2013·长春二模)如图 所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m， 通过轻绳连接在一起，跨过光滑的定滑轮， 圆环套在光滑的竖直杆上，设杆足够长。开 始时连接圆环的绳处于水平，长度为l，现 从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，
1.(多选)(2011·新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳 从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假 定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是
(
A.运动员到达最低点前重力势能始终减小
)
B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守 恒 D.蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
A.A物体的机械能增大
B.A、B组成系统的重力势能增大
C.下落时间t过程中，A的机械能减少了 2 mg 2 t 2
9
D.下落时间t时，B所受拉力的瞬时功率为 1 mg 2 t
3
【解题探究】
(1)分别以A、B为研究对象，由静止释放后：
负功 ，A物体机械能_____( 减少 选填“增加”或 ①轻绳对A物体做_____ “减少”)。 正功 ，B物体机械能_____( 增加 选填“增加”或 ②轻绳对B物体做_____ “减少”)。
×42 J=800 J,机械能的增加量ΔE=ΔEp+ΔEk=5 800 J，故D
错误。由功能关系知，升降机对物体做功 WF=ΔE=5 800 J，
故A正确。合外力对物体做功W合=ΔEk=800 J，故B错误。
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机械能守恒定律与力学规律的综合应用
【典例3】(14分)(2013·南京一模)光滑水平面上有质量为M、
WH=-Δ Ep 。 弹性势能 ，关系式为________ (3)弹簧弹力的功影响_________ W分=-Δ Ep 。 分子势能 ，关系式为_________ (4)分子力的功影响_________
W电=-Δ Ep 。 电势能 ，关系式为_________ (5)电场力的功影响_______ Ffl相对=Δ E内 。 内能 ，关系式为___________ (6)滑动摩擦力的功影响_____ 机械能 ，关系式为 (7)除重力和弹力之外的其他力的功影响_______ W 其= Δ E 机 。 ________ W克安=Δ E电 。 电能 ，关系式为__________ (8)克服安培力的功影响_____
D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【解析】选C、D。对于M和m组成的系统，除了重力、轻绳弹力 做功外，摩擦力对M做了功，系统机械能不守恒，选项A错误；
对于M，合外力做的功等于其重力、轻绳拉力及摩擦力做功的
代数和，根据动能定理可知，M动能的增加等于合外力做的功， 选项B错误；对于m，只有其重力和轻绳拉力做了功，根据功能 关系可知，除了重力之外的其他力对物体做的正功等于物体机 械能的增加量，选项C正确；对于M和m组成的系统，系统内轻 绳上弹力做功的代数和等于零，只有两滑块的重力和 M受到的 摩擦力对系统做了功，根据功能关系得， M的摩擦力对系统做
v吗？为什么？
提示：物体的速度大小不是v。对人拉绳的末端速度分解如图 所示，此时物体的速度为v′,故v′=vcosθ。
【解析】设物体的质量为m，第一次人做的功为
W1=mgh 第二次物体升高h时的速度为 v′=vcosθ 第二次人对物体做的功为
1 W2 mgh mv2 2
2 W v源自文库1 解①②③得 W2 W1 cos 2 2gh
的功等于系统机械能的损失量，选项D正确。
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机械能守恒定律的应用
【典例1】(2013·芜湖一模)如图所示，质
量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的
轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处 于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够 长，不计一切摩擦。现将两物体由静止释 放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )
功，A的机械能减小，B的机械能增大，A、B系统的机械能守 恒，所以A、B错误。释放后，A、B物体都做初速度为零的匀 加速直线运动。由牛顿第二定律得2mg-mg=3ma，故加速度
1 t时间内A物体下降高度为 1 gt 2 , 绳子拉力大小为 4 mg。 a g， 3 6 3
拉力对A物体所做负功为 2 mg 2 t 2 , A物体机械能减少 2 mg 2 t 2 , C对。
9 9
下落时间t时，B物体的运动速度为 1 gt, 拉力功率大小为 4 mg 2 t，
3
9
D错。
【总结提升】
应用机械能守恒定律解题时的三点注意
(1)注意研究对象的选取：研究对象的选取是解题的首要环节, 有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究
对象机械能不守恒,但选此物体与其他几个物体组成的系统为
①(3分)
②(3分)
③(3分) (3分)
Wv 答案： W1 1 cos 2 2gh
2
【总结提升】解决功能关系问题应该注意的三个方面 (1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根 据功能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的
转化情况。
(2)也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤
2.(多选)(2013·大纲版全国卷)如图，一固定斜面倾角为 30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜
面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。
若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
A.动能损失了2mgH C.机械能损失了mgH
B.动能损失了mgH D.机械能损失了 1 mgH
匀速向左拉着绳运动，如图乙所示，使物体上升相同的高度， 此时绳子与水平面夹角为θ ，已知重力加速度为g。求第二次 人对物体做的功。
【解题探究】 不变 ，重力势能_____ 增加 ，故拉力做 (1)第一次拉升物体，动能_____ 物体重力势能的增加量 。 的功等于_____________________ (2)第二次拉升物体，当人的速度为v时，物体的速度大小也是
与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、
m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与 斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不 计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( A.两滑块组成系统的机械能守恒 B.重力对M做的功等于M动能的增加 C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加 )
为h=0.8 m(计算中取g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)
求：
(1)小孩做平抛运动的初速度； (2)小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力。
【解析】(1)由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到 A点时 速度方向沿A点切线方向，则 tanα=
vy vx gt tan53， v0
(2)对于A、B组成的系统，由静止释放后： 守恒 选填“守恒”或“不守恒”)。 ①系统机械能_____( ②整体加速度大小为 1 g ，绳子的拉力为 4 mg。
3 3
③时间t内下落的高度为 1 gt 2 ,此时A、B速度的大小为 1 gt 。
6
3
【解析】选C。在A下降的过程中，拉力对A做负功，对B做正
以A选项正确；当M=m时，对圆环受力分析
如图，可知 FT mg Mg, 故圆环在下降
cos
过程中系统的重力势能一直在减少，则系
统的动能一直在增加，所以D选项正确。
【变式备选】如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩(可视作质点) 质量为m=30 kg，他在左侧平台上滑行一段距离后做平抛运动， 恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿 轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径 为R=1.0 m，对应圆心角为θ =106°，平台与AB连线的高度差
Δ Ep=-Δ Ek 。 ②转化的观点：__________
EA增=EB减 。 ③转移的观点：________
2.几种常见的功能转化关系：
W 合= Δ E k 。 动能 ，关系式为________ (1)合力的功影响_____ WG=-Δ Ep 。 重力势能 ，关系式为________ (2)重力的功影响_________
又由 h 1 gt 2 得t=
2
2h =0.4 s， g
而vy=gt=4 m/s，
解得v0=3 m/s。
(2)设小孩到最低点的速度为v3，由机械能守恒得
1 1 mv32 mv0 2 mg［h R 1 cos53 ］， 2 2
在最低点，根据牛顿第二定律，
2 v 3 有 FN mg m ， R
第7讲 机械能守恒定律 功能关系
1.机械能守恒定律： (1)守恒条件。 重力或系统内弹簧弹力 做功。 ①只有_____________________
不做功或做的总功为零 。 ②虽受其他力，但其他力_____________________
(2)三种表达式。
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 。 ①守恒的观点：_____________
以下说法正确的是(
)
A.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越大
B.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越小
C.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度先增大后减小 到零 D.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度一直增大
【解析】选A、D。由系统机械能守恒可得
4 所 mgh= Mg( h 2 l 2 l )，当M=2m时， h l， 3
研究对象,机械能却是守恒的。如该例题中，A或B机械能不守
恒，但A、B组成的系统机械能守恒。
(2)注意研究过程的选取：有些问题研究对象的运动过程分几
个阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒。因此，
在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。
(3)注意机械能守恒表达式的选取：守恒观点的表达式适用于
【解析】选A、B、C。运动员在下落过程中，重力做正功，重 力势能减小，故A正确。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力
向上，位移向下，弹性力做负功，弹性势能增加，故 B正确。
选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重
力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故 C正确。重
力势能改变的表达式为ΔEp=mgΔh，由于Δh是绝对的，与选 取的重力势能参考零点无关，故D错。
代入数据解得FN=1 290 N，
由牛顿第三定律可知，小孩对轨道的压力为1 290 N。
答案：(1)3 m/s
(2)1 290 N
热点考向2
功能关系的综合应用
【典例2】(12分)(2013·南昌一模)某人通过定滑轮将一物体 提升。第一次，此人竖直向下拉绳，如图甲所示，使物体匀速
上升高度h，该过程人对物体做功为W1。第二次，此人以速度v
A.升降机对物体做功5 800 J
B.合外力对物体做功5 800 J
C.物体的重力势能增加5 000 J
D.物体的机械能增加5 000 J
【解析】选A、C。物体重力势能的增加量ΔEp=mgh=100×10
1 ×5 J=5 000 J,故C正确。动能的增加量ΔEk= mv 2 = 1 ×100 2
2
2
【解析】选A、C。小物块向上做匀减速直线运动，合外力沿斜 面向下，由牛顿第二定律得F合=mg=ma，根据动能定理损失的 动能等于F合s= mgH =2mgH,A对,B错；小物块在向上运动过程
sin30
中，重力势能增加了mgH，而动能减少了2mgH，故机械能损失 了mgH，C对，D错。
3.(多选)(2013·山东高考)如图 所示，楔形木块abc固定在水平 面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc
其可以方便计算变力做功的多少。
(3)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能 量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同。
【变式训练】(多选)(2013·玉林一模)升降机底板上放有一质 量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动 5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)( )
高度为h的光滑斜面体A，斜面顶部有质量为m的小物体B，开始