6.2立方根(完整)

（3）3 12的整数部分： 小数部分为：
.
24
比较4与 ：3 50 求3 3 64的值。
34a－ 3=﹣ 3，a求 值？ a－ 求 2的立方
.
25
拓展：31已 － a2知 =1－ ： a2,求 a的值
分类思想的运用：
.
26
取值范围的应用：
（ 1）若 （x－3） 2+x－3=0，求 x的取值范
（2）若 3（4－a)3 =4－a,则a的取值范围
示 2是根指数（可省略不写） 3是根指数（不能省略）
.
17
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由
(1) 8 的立方根±是2 x
27
3
(2) 25的平方根是5 x
(3) -64没有立方根 x
(4) -4的平方根是 ±2 x
(5) 0的平方根和立方根都是0 √
.
18
练习2.填空：
(1 ()-_ 5 _ 3 _ 1_ ,2 3 _ 5 1 ) 2_-5 5 __
∴3﹣8=﹣3 8
3 ﹣ 27 = ﹣ 3 27 =
∴3﹣ 27=﹣ 3 27
∴3﹣a=﹣ 3 a
结论：被开方数互为相反数时，其立方根 也互为相反数。
.
15
结论3 a： 3 a
.
16
你能说出数的平方根和立方根有什么不同吗？
平方根
立方根
定 如果一个数的平方等于a， 如果一个数的立方等于a，
义
那么这个数就叫a的平方根。 那么这个数就叫a的立方根。
.
2
复习： 平方根的表示方法:
如果x2=a (a≥0), 那么x = .a
± a 读作“正负根号a”。a 表示 a的正的平方根 a 表示a的负的平方根。 其中a叫做被开方数 .
规定：正数a的正的平方根 a 叫做a的算 数平方根；0的算数平方根是0.
x2 =4
x2 =2
∴x=± 4
∴x=± 2
∴x=±2
.
3
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记为 a
读作: “根号a”，a 叫做被开方数. x= a
规定：0的算术平方根是0. 记作0： =0 x2 a
1.双重非负性： a0, a0
a 2.一个非负数的
算数平方根的平
(
a)2 =
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a 其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
根指数
3
a
被开方数
例如:
33=27
则把3叫做27的立方根,即 .
3
27
3
7
如：23=8，则2是8的立方根 即3 8 2
∵( -2)3=-8，∴ -2 是-8的立方根 即3 82
（1） 31000 （3） 3 1
(5)3﹣2+ 3 64
（2） 30.001
（4） 3 64 125
.
20
解方程：
（ 1）（ x － 1）3 = 125
（ 2 ）3 x = 2
(3)3 x－ 2 = 4
.
21
探究3 先填写下表,再回答问题:
a 0.000001 0.001 1 1000
1000000
性
正 数
有两个平方根，互为相反数
有一个立方根，也是正数
0
有一个平方根，是0
有一个立方根，是0
质负 数
没有平方根
有一个立方根，也是负数
求一个数的平方根的运算叫 求一个数的立方根的运算
开 开平方；开平方与平方是互 叫开立方；开立方与立方
方 逆运算。
是互逆运算。
表 ± ，a 其中a 是被开方数， 3 a，其中a 是被开方数，
(a>0)
方是它本身：
a 3.任何一个数的平方的算术平
方根等于这个数的绝对值..
a2 =
4
问题: 要制作一种容积为27m3的正方体
形状的包装箱,这种包装箱的边长应该
是多少?
解:设这种包装箱的边长为x m,
则x3 =27
∵33=27 ∴x=3 答:这种包装箱的边长应为3 m,
思考：如果问题中正方体的体积为5cm3， 正方体的边长又该是多少？
（５）因为(
2 3
)3＝－
－287 ，所以－－287
的立方根（
2）
3
探究题中正数、0和负数的立方根各有 什么特点?
.
13
正数的立方根是 正 数 负数的立方根是 负 数
0 的立方根是 0
立方根是它本身的数有 1, -1, 0
任意一个数的立方根都是存在且 唯一的。被开方数可以为任意数。
.
14
3﹣8 = ﹣3 8 =
2 7
24
3.若3－ 9-x＝ 3，则 x＝ －
4.如果3x+16的立方根是4，求2x+4的算术平方根.
.
29
8.已y知 ＝x－ 3＋3－ x＋ 2，y则 x的 立方根为.
.
30
若 3x－ 5+3 y－ 6=0，x求 +y的值
若3： 2y－4与3 4－3x互为相反x数 的， 值 y
.
31
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6.2 立方根
问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型 （如图），它的棱长要取多少？
解：设它的棱长为 x cm,根据题意得 x3=27
那么x=?
.
1
你 16的平方根是__±__4__
还 记 -16的平方根是_没_有__平__方__根 得 0的平方根是___0_____ 吗
一个正数有正负两个平方根,它们互为 相反数;零的平方根是零,负数没有平方根.
3 a 0.01 0.1 1 10 100
从上面表格中你发现什么? 归纳:
被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的立方根扩 大(缩小)10倍.
被开方数的小数点向左（或向右）移动三位，
那么它的立方根相应地向左（或向右）移动
一位；
.
22Hale Waihona Puke Baidu
移动数位的规律：
3 3 1 . 442 3 0 . 003 3 3000
a 表示a的算术平方根
a 表示a的平方根或a的二次方根
a3
表示a的立方根或a的三次方根
a4
表示a的四次方根
.
10
列式表示：
（1）8的立方根 ： (2)-64 的立方根： （3）0的立方根：
.
11
想一想：
立方根是它本身的数有哪些? 有1, -1, 0
平方根是它本身的数呢? 只有0
算术平方根是它本身的数呢?
3 0 . 342 0 . 6993 3 3 . 42 1 . 507 3 34 . 2 3 . 246 求：（ 1）3 0 . 000342
3 0 . 000003 （ 2 ）3 34200000
（ 3） - 3 0 . 00342
.
23
估算：
（1）68的立方根的大小在 多少之间？
（2）3 100的值在多少之间？
有1，0
.
12
探索 思考
3
1. 探究 活动二 启发诱导,探索新知
（１） 因为2 3=8，所以8的立方根是（ 2 ）；
（２） 因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方是（0.5）；
（３）因为( 0 )3＝０，所以０的立方根是（ 0 ）；
（４）因为 (2)3 ＝－8，所以－8的立方根是（2）；
.
27
试一试：
1.21 的立方根是 3 21 ，- 21 的立方根是 3 21
2.若一个数的平方根是 ±8 ，则这个数的立方根是 4
3.- 8的立方根与9的平方根的积是 ± 6
a 4.若 3 a = 3 1 ，则 3
的值为
1 3
5.已知 x2 =64，则 3 x = ±2
6.下列命题正确的是（ B ）
A. 9 的平方根是 ±3
B.立方根等于本身的数是0和 ±1
C.平方根等于本身的数是1 D.平方根等于立方根的数是1
.
28
提升能力
1.求下列各数的立方根. （1） 1 ;（2） 3 4 3 ; （3）0.216 .
1 000
2.求下列各式的值.
（ 1 ） 3-8 ； （ 2 ） -32 7 ； （ 3 ） 33 -1 7 ； （ 4 ） 331 1 21.
∵( 1)3=1，∴ 1 是1的立方根
∵( 0)3=0，∴ 0的立方根是 0 ∵( -4)3=-64，∴ -64的立方根是 -4
立方根的表示方法.
a 根指数 3
根号 被开方数
.
8
根指数 3 a m
被开方数 立方根 注意：根指数是3时，绝对不能省略 不写.
.
9
你会区别下列的数吗？
a ， a ， 3 a ， 4 a
.
5
思考：如果正方体的体积为5cm3，正方体的棱
长又该是多少？
设正方体的棱长为X,则 x 3 5
所以正方体的棱长是 3 5 ㎝.
2.求一个数的立方根的运算,叫做开立方
立方
互逆
开立方
到现在我们学了几种运算?
+,-,x,÷,乘方,开方(开平方,开立方)
.
6
1.立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做 a的立方根(也叫做三次方根).
(2 )(_54 __3_1 _62 )4,5 31624 5_54 ___
3.求下列各数的立方根：
（1）1，（2）-1 ，（3） -0.000008 （4）343
解: (1)3 1 1 (2)3 1 1
(3)3 0.0000040.02
(4)3 343 7
.
19
练一练
2.求下列各式的值（口答）：