第四章 晶体衍射中的数学处理

4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
根据倒易基矢的性质： 当 i j ， a* i aj
1 ；当 i
。由此得 j ， a* i aj 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 S 0 1 0 B T 0 0 1 0 0 1
所以
(4.7)
[ai'* ] [h' ]1[ D][h][ai *]
与式(4.2)式比较，得到转换规律
(4.8)
B = [h’]-1[D][h]
(4.9)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
2. 两相平行晶面和平行晶向指数的转换矩阵
1)两相平行晶面的转换矩阵
设两相正空间基矢[ ai ' ]和 [ ai ]存在以下关系：
* [a'* ] B [ a i i ]
1 '* [a* ] B [ai ] i
(4.2)
可以证明：S和BT互为逆矩阵，即 S-1=BT, [BT]-1=S B-1=ST, [ST]-1=B (4.3)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
证明如下：设基体（M）和第二相（S）取向关系表达式为
4.3晶体对称性引起的系统消光
4.3.1对称元素及其对应操作的矩阵
第四章 晶体衍射中的数学处理
4.3.2宏观对称元素的组合规律 4.3.3 点群的推导和转换矩阵 4.3.4 点群、晶系和布拉维点阵之间的关系 4.3.5 空间群中的平移对称元素
4.3.6 等效点系
4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群 4.3.8 电子衍射花样的对称性
的转置逆阵。
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
3. 的法线方向的指数就是与晶面同指数的晶
向[hkl], 但在非立方晶体中就不满足上述关系。 为了求非立方晶体中晶面
所对应的法向的晶向指数，就需要知道正、倒点阵的指数转换。设正空 间晶向为[uvw]，与它平行并相等的倒易矢量指数是[hkl]，即为(hkl)晶面
(4.18)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
归纳上述的结果：
[ai ' ] S[ai ]
[h' ] S[h]
[u' ] [ S T ]1[u]
而式(4.21)中晶向指数的变换矩阵则为基矢转换矩阵的转置逆阵。
(4.19) (4.20)
(4.21)
由此表明式(4.20)中晶面指数的变换与式(4.19)中基矢的变换完全相同，
'* '* * * * h' a1 k' a'* l' a h a k a l a 2 3 1 2 3
将上式分别乘式(4.10)中的三式，得
h' s11 k ' s 21 l' s31
上式简写为
s12 s22 s32
s13 h k s23 s33 l
a * c* * * bc c* c*
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
常用晶系的坐标变换矩阵 G G -1
正交
a 0 0
2
0 b2 0
0 0 c2
1 / a 2 0 0 2 1/ b 0 0 2 0 0 1 / c
将 g i ' 移项后，再对式(4.5)改写成矩阵表达




(4.5)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
' h1 ' h2 ' h3 ' k1 ' k2 ' k3 ' '* a1 l1 ' '* l 2 a 2 ' '* l3 a 3
4.3.9 系统消光
4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例
第四章 晶体衍射中的数学处理
本章要点
1.电子衍射花样的研究中，最经常涉及取向关系的转换矩 阵，它包括两相取向关系、同一晶体的晶面和晶向在不同 坐标中的表述、晶体间的重位点阵关系以及孪晶取向关系； 2.两相取向关系的理论预测有多种方法，本书介绍最近发展 起来的边-边匹配方法，该方法物理概念简单，处理方便； 3.晶体的宏观对称性和微观对称性将会引起系统消光，这对于 电子衍射花样的分析是极其重要的，因此掌握系统消光规律 对于研究晶体结构是必需的。
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
1 又根据 S [ B T ]，而 B为倒易基矢的转换矩阵，得
h'
* * [a'1 ] [a1 ]
Τ 1
(4.22) (4.23)
u' Bu
[h]
(4.24)
由上可知：式(4.24)中倒易平面指数的变换与式(4.22)中倒易基矢的变 换完全相同，而式(4.23)中倒易矢量指数的转换矩阵为倒易基矢转换矩阵
2 a 2 a 2 0
0 a2 0
0 0 a2
0 0 c2
1 / a 2 0 0 2 0 1 / a 0 2 0 0 1 / a
4 3a 2 2 2 3a 0 2 3a 2 4 3a 2 0 0 0 2 1/ c
第四章 晶体衍射中的数学处理
4.1 取向关系的转换矩阵
4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测
4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵 4.1.3 晶体间的重位点阵 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵
4.2 取向关系的理论预测
4.2.1 原理和判据 4.2.2 FCC/BCC 体系 4.2.3 HCP/BCC体系 4.2.4 HCP/FCC 体系
[ai ' ] S[ai ]
(4.12)
(4.13)
上式两边转置，将式(4.11)左乘上式，即
' a1 a1 ' '* '* '* * * * T a2 a1 a2 a3 S a 2 a1 a2 a3 B ' a3 a 3
u' a a [a1 ' a 2 ' a3 ' ] v ' 1 2 w'
将式(4.12)转置并代入上式得
u a3 v w
u a3 v w
a1
a2
u' a a a3 S T v ' 1 2 w'
(4.10)
s12 s22 s32
s13 a1 s23 a 2 s33 a3
(4.11)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
简写为 而由（4.2）式可知
'* * a1 a1 '* * a 2 B a 2 '* a 3 a * 3
(hi' ki' li' )S //(hi kili )M
式中，i=1,2,3。下面将找出可描述上述取向关系的转换矩阵。
(4.4)
两相的hkl晶面法线方向分别为两相的倒易矢量 ghkl 和 ghkl ' 的方向，
分别各向除以它们的模，则成为单位长度矢量，故两者矢量平行就变为不 仅平行而且相等，则得
1 ' '* 1 ' '* ' '* * * * h a k a l a h a k a l a i 1 i 2 i 3 i 1 i 2 i 3 gi' gi
根据图4.1中基矢间夹角的定义，式中
2 aa ab ac a G ba bb bc ab cos ca cb cc ac cos
图4.1 坐标中基矢间夹角 的定义
ab cos b2 bc cos
ac cos bc cos c2
'* 3
，记作 a
'* i 。
' ' ' ，记作 ai a1 ,a'2 ,a3
，相应的倒空
基体和第二相正空间坐标矢量以矩阵S相关联，即
[a'i ] S[ai ]
[ai ] S 1[ai ]
'
(4.1)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
基体和第二相在倒空间坐标矢量以矩阵B相关联，即
' d1 /d1
' d 2 /d 2
h1 h2 ' d 3 /d 3 h3
k1 k2 k3
* l1 a1 * l 2 a 2 * l3 a 3
(4.6)
上式可简写为
[h' ][ai'* ] [ D][h][ai *]
a1' s11 a1 s12 a2 s13 a3 a2' s21 a1 s22 a2 s23 a3
a3' s31 a1 s32 a2 s33 a3
用矩阵表示为
' a1 s11 ' a 2 s21 ' a3 s31
(4.28)
a2 2 a2 0
六方
(4.29)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
4. 取向关系转换矩阵的应用举例
所以 SBT=I，即B=[S-1]T，S=[BT]-1 这证明了式(4.3)中S和B之间的关系。 (4.14)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
设两相对应指数的倒易矢量相等，则有gh’k’l’= ghkl ，上式中倒空间 基矢为a1, a2, a3，基体的晶面指数为hkl，第二相晶面指数为h’k’l’，故
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
由此可得
u u' v S T v' , [u ] S T [u ] w w'
(4.17)
或
u' u v' [ S T ]1 v , [u ] [ S T ]1[u ] w' w
法向，可得
a
b
u a* c v w

b*
h c* k l

(4.25)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
对式(4.25)两边左乘[a b c]T ，则
h aa ab ac u u k ba bb bc v G v l ca cb cc w w
1 / a 2 0 0 2 1/ a 0 0 2 0 0 1 / c
(4.26)
四方
a 0 0
2
0 a2 0
0 0 c2
(4.27)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
常用晶系的坐标变换矩阵
G
G-1
立方
a 2 0 0
4.1 取向关系的转换矩阵
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
1. 两相正空间和倒空间基矢关系的转换
设基体的正空间坐标基矢为 a1,a2 ,a3 ，记作ai ，相应的倒空间
* * * 。 a1 ,a2 ,a3，记作 a* i
基矢为
第二相的正空间坐标基矢为 间基矢为
a ,a ,a
'* 1
'* 2
(4.15)
[h’]=S [h]
(4.16)
式中的S矩阵就是两相晶面平行的转换矩阵。
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
2)两相中平行晶向指数的转换矩阵 设两相的某晶向矢量相等，即ru’v’w’和ruvw，其中u’v’w’和uvw分别为 第二相和基体的晶向指数，它们的基矢为 a1’ a2’ a3’和a1 a2 a3，故
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
对式(4.25)两边左乘 a *
T b* c * ，则式中
u h v G 1 k w l
a * a * * * 1 G b a c* a*
a* b* b* b* c* b*