第四章 晶体衍射中的数学处理

(4.10)
s12 s22 s32
s13 a1 s23 a 2 s33 a3
(4.11)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
简写为 而由（4.2）式可知
'* * a1 a1 '* * a 2 B a 2 '* a 3 a * 3
(4.15)
[h’]=S [h]
(4.16)
式中的S矩阵就是两相晶面平行的转换矩阵。
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
2)两相中平行晶向指数的转换矩阵 设两相的某晶向矢量相等，即ru’v’w’和ruvw，其中u’v’w’和uvw分别为 第二相和基体的晶向指数，它们的基矢为 a1’ a2’ a3’和a1 a2 a3，故
a1' s11 a1Байду номын сангаас s12 a2 s13 a3 a2' s21 a1 s22 a2 s23 a3
a3' s31 a1 s32 a2 s33 a3
用矩阵表示为
' a1 s11 ' a 2 s21 ' a3 s31
' d1 /d1
' d 2 /d 2
h1 h2 ' d 3 /d 3 h3
k1 k2 k3
* l1 a1 * l 2 a 2 * l3 a 3
(4.6)
上式可简写为
[h' ][ai'* ] [ D][h][ai *]
* [a'* ] B [ a i i ]
1 '* [a* ] B [ai ] i
(4.2)
可以证明：S和BT互为逆矩阵，即 S-1=BT, [BT]-1=S B-1=ST, [ST]-1=B (4.3)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
证明如下：设基体（M）和第二相（S）取向关系表达式为
(hi' ki' li' )S //(hi kili )M
式中，i=1,2,3。下面将找出可描述上述取向关系的转换矩阵。
(4.4)
两相的hkl晶面法线方向分别为两相的倒易矢量 ghkl 和 ghkl ' 的方向，
分别各向除以它们的模，则成为单位长度矢量，故两者矢量平行就变为不 仅平行而且相等，则得
1 ' '* 1 ' '* ' '* * * * h a k a l a h a k a l a i 1 i 2 i 3 i 1 i 2 i 3 gi' gi
[ai ' ] S[ai ]
(4.12)
(4.13)
上式两边转置，将式(4.11)左乘上式，即
' a1 a1 ' '* '* '* * * * T a2 a1 a2 a3 S a 2 a1 a2 a3 B ' a3 a 3
2 a 2 a 2 0
0 a2 0
0 0 a2
0 0 c2
1 / a 2 0 0 2 0 1 / a 0 2 0 0 1 / a
4 3a 2 2 2 3a 0 2 3a 2 4 3a 2 0 0 0 2 1/ c
4.3晶体对称性引起的系统消光
4.3.1对称元素及其对应操作的矩阵
第四章 晶体衍射中的数学处理
4.3.2宏观对称元素的组合规律 4.3.3 点群的推导和转换矩阵 4.3.4 点群、晶系和布拉维点阵之间的关系 4.3.5 空间群中的平移对称元素
4.3.6 等效点系
4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群 4.3.8 电子衍射花样的对称性
将 g i ' 移项后，再对式(4.5)改写成矩阵表达




(4.5)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
' h1 ' h2 ' h3 ' k1 ' k2 ' k3 ' '* a1 l1 ' '* l 2 a 2 ' '* l3 a 3
(4.28)
a2 2 a2 0
六方
(4.29)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
4. 取向关系转换矩阵的应用举例
第四章 晶体衍射中的数学处理
4.1 取向关系的转换矩阵
4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测
4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵 4.1.3 晶体间的重位点阵 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵
4.2 取向关系的理论预测
4.2.1 原理和判据 4.2.2 FCC/BCC 体系 4.2.3 HCP/BCC体系 4.2.4 HCP/FCC 体系
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
1 又根据 S [ B T ]，而 B为倒易基矢的转换矩阵，得
h'
* * [a'1 ] [a1 ]
Τ 1
(4.22) (4.23)
u' Bu
[h]
(4.24)
由上可知：式(4.24)中倒易平面指数的变换与式(4.22)中倒易基矢的变 换完全相同，而式(4.23)中倒易矢量指数的转换矩阵为倒易基矢转换矩阵
a * c* * * bc c* c*
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
常用晶系的坐标变换矩阵 G G -1
正交
a 0 0
2
0 b2 0
0 0 c2
1 / a 2 0 0 2 1/ b 0 0 2 0 0 1 / c
u' a a [a1 ' a 2 ' a3 ' ] v ' 1 2 w'
将式(4.12)转置并代入上式得
u a3 v w
u a3 v w
a1
a2
u' a a a3 S T v ' 1 2 w'
的转置逆阵。
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
3. 正、倒点阵的指数转换
在立方晶体中（hkl）晶面的法线方向的指数就是与晶面同指数的晶
向[hkl], 但在非立方晶体中就不满足上述关系。 为了求非立方晶体中晶面
所对应的法向的晶向指数，就需要知道正、倒点阵的指数转换。设正空 间晶向为[uvw]，与它平行并相等的倒易矢量指数是[hkl]，即为(hkl)晶面
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
对式(4.25)两边左乘 a *
T b* c * ，则式中
u h v G 1 k w l
a * a * * * 1 G b a c* a*
a* b* b* b* c* b*
根据图4.1中基矢间夹角的定义，式中
2 aa ab ac a G ba bb bc ab cos ca cb cc ac cos
图4.1 坐标中基矢间夹角 的定义
ab cos b2 bc cos
ac cos bc cos c2
所以
(4.7)
[ai'* ] [h' ]1[ D][h][ai *]
与式(4.2)式比较，得到转换规律
(4.8)
B = [h’]-1[D][h]
(4.9)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
2. 两相平行晶面和平行晶向指数的转换矩阵
1)两相平行晶面的转换矩阵
设两相正空间基矢[ ai ' ]和 [ ai ]存在以下关系：
(4.18)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
归纳上述的结果：
[ai ' ] S[ai ]
[h' ] S[h]
[u' ] [ S T ]1[u]
而式(4.21)中晶向指数的变换矩阵则为基矢转换矩阵的转置逆阵。
(4.19) (4.20)
(4.21)
由此表明式(4.20)中晶面指数的变换与式(4.19)中基矢的变换完全相同，
法向，可得
a
b
u a* c v w

b*
h c* k l

(4.25)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
对式(4.25)两边左乘[a b c]T ，则
h aa ab ac u u k ba bb bc v G v l ca cb cc w w
'* 3
，记作 a
'* i 。
' ' ' ，记作 ai a1 ,a'2 ,a3
，相应的倒空
基体和第二相正空间坐标矢量以矩阵S相关联，即
[a'i ] S[ai ]
[ai ] S 1[ai ]
'
(4.1)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
基体和第二相在倒空间坐标矢量以矩阵B相关联，即
1 / a 2 0 0 2 1/ a 0 0 2 0 0 1 / c
(4.26)
四方
a 0 0
2
0 a2 0
0 0 c2
(4.27)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
常用晶系的坐标变换矩阵
G
G-1
立方
a 2 0 0




4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
根据倒易基矢的性质： 当 i j ， a* i aj
1 ；当 i
。由此得 j ， a* i aj 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 S 0 1 0 B T 0 0 1 0 0 1
所以 SBT=I，即B=[S-1]T，S=[BT]-1 这证明了式(4.3)中S和B之间的关系。 (4.14)
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
设两相对应指数的倒易矢量相等，则有gh’k’l’= ghkl ，上式中倒空间 基矢为a1, a2, a3，基体的晶面指数为hkl，第二相晶面指数为h’k’l’，故
4.1 取向关系的转换矩阵
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
1. 两相正空间和倒空间基矢关系的转换
设基体的正空间坐标基矢为 a1,a2 ,a3 ，记作ai ，相应的倒空间
* * * 。 a1 ,a2 ,a3，记作 a* i
基矢为
第二相的正空间坐标基矢为 间基矢为
a ,a ,a
'* 1
'* 2
4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测
由此可得
u u' v S T v' , [u ] S T [u ] w w'
(4.17)
或
u' u v' [ S T ]1 v , [u ] [ S T ]1[u ] w' w
'* '* * * * h' a1 k' a'* l' a h a k a l a 2 3 1 2 3
将上式分别乘式(4.10)中的三式，得
h' s11 k ' s 21 l' s31
上式简写为
s12 s22 s32
s13 h k s23 s33 l
4.3.9 系统消光
4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例
第四章 晶体衍射中的数学处理
本章要点
1.电子衍射花样的研究中，最经常涉及取向关系的转换矩 阵，它包括两相取向关系、同一晶体的晶面和晶向在不同 坐标中的表述、晶体间的重位点阵关系以及孪晶取向关系； 2.两相取向关系的理论预测有多种方法，本书介绍最近发展 起来的边-边匹配方法，该方法物理概念简单，处理方便； 3.晶体的宏观对称性和微观对称性将会引起系统消光，这对于 电子衍射花样的分析是极其重要的，因此掌握系统消光规律 对于研究晶体结构是必需的。