大学物理力矩与角动量

dL M外 dt
物理意义：质点系对参考点的角动量随时 间的变化率等于作用于质点系的所有外力 对该参考点的合力矩。
对上式积分，可得质点系角动量定理的积分形式

t t0
Mdt L L0
质点系的角动量定理指出：只有外力矩对质点系的角动量 变化有贡献。内力矩对质点系的角动量变化无贡献，但对 质点系内角动量的分配有影响。
v1
d
v2
v3
v4
L | r mv | rmv sin mvd dS 1 v面 vd dt 2
o
对于变速直线运动：角动量不守恒，面积速度不相同。 对于匀速直线运动，角动量守恒，面积速度相同。
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质点的运动
平动：动量 P mv 转动：角动量 L r P
F
动量定理 微分形式：F
M FL FL FL 2 2
F
显然，合外力矩与参考点无关，只与 两个力的垂直距离有关。对于多个外 力合力为零的情况，总可以简化成两 个力合力为零的形式，故命题正确。
C
F
27

例3：不可伸长的轻绳绕过一轻定滑轮，右侧吊着质量为 M 的 托盘，盘内放置被绑紧的质量为 m 的弹簧，滑轮另一侧系一 重物使两侧平衡，系统保持静止，设被绑紧的弹簧在细线断开 时在桌面上弹起的竖直高度为 h ，那么在托盘上细线断开时弹 簧弹起的竖直高度是多少？ 解：以地球为参照系，滑轮中心为参考 o R y 点建立直角坐标系。将托盘、滑轮、重 z 物、绳、弹簧视为物体系，系统对 z 轴 的合力矩为零，即对 z 轴的角动量守恒。 设 v 为弹簧上细线断开弹起时弹簧离开 M m x m 托盘的速度，V 为同一时刻托盘向下运 M 动的速度， 滑轮半径为 R 。

本讲教学基本要求

4
掌握力矩的基本概念，能够熟练计算力矩及力矩的功。 掌握角动量的基本概念及计算方法。 掌握角动量定理及其守恒定律，能够应用它们解决典型的相关 物理问题。 了解有心力场的基本特征。
本讲主要问题
力矩的功 质点对参考点的角动量定理及其守恒律 质点对转轴的角动量定理及其守恒律 质点系对参考点的角动量定理及其守恒律 质点系对转轴的角动量定理及其守恒律 质心系中的角动量
质点对参考点的角动量的增量等于作 用于质点的力对同一参考点的角冲量 (angular impulse)。
L2 L1 Mdt
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质点对参考点的角动量守恒定律
d M L dt 若 M 0 则 L 恒矢量
物理意义：在某过程中，若质点所受的对某一固定参考点的合 力矩恒为零，则质点对该参考点的角动量守恒。
v
3

角动量是描述转动问题的最重要的物理量之一，是解决天体问 题的最重要的物理规律。 角动量的概念在物理学的发展中经历了有趣的演变过程 。18 世纪在力学中才定义和开始利用它，直到 19 世纪人们才把它 看成力学中的最基本的概念之一，到 20 世纪它加入了动量和 能量的行列，成为力学中最重要的概念之一。 角动量之所以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律， 在近代物理学中应用极为广泛。
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质点系对参考点的角动量守恒定律 当质点系所受外力对参考点的合力矩为零时，质点系对参考点 的角动量守恒，即 L 恒矢量 质点系对转轴的角动量定理和守恒定律 将质点系的角动量定理正交分解可以得到相应的轴向分量，质 点系对轴的角动量定理形式为 dL M 外 x, y, z dt 若 M 外 0, 则 L 恒量，即质点系对轴的角动量守恒。 说明：由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿运动定律， 所以角动量定理及其守恒律只在惯性系中才成立。
M内 ri f ij 0
i 1, i j n
f ij
mi
ri
ri j
mj
o
rj
f ji
即：质点组内力矩的矢量和恒为零，只需考虑外力矩。
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对质点系的所有质点应用角动量定理并取和
M 外 ri Fi 外 dLi d dL ( Li ) dt dt dt
N
y
O
d
x
F

l

ˆ M OF Fdk M ZF M OG M ZG
Fd M Z Fd mgl ˆ mglk mgl
11

说明 力对轴的力矩同样是矢量，可以根据力矩的定义进行计算， 但使用标量形式更简洁。 投影时，注意每个分量的方向，以坐标轴方向为参照，对于 未知方向的量，一律设为正。 N 如未建立坐标系，依据 d l 力矩使质点转动的方向 F 确定正负，通常取逆时 针为正，反之为负。
通常，将转轴方向做为坐标 系的 z 轴
M z xFy yFx Lz xPy yPx xmv y ymv x d M z Lz dt
F
Fy
Fz
L
z
m
Fx
v
r
y
O
x
21

质点对轴的角动量守恒定律 若质点所受力对轴的合力矩为 0，则质点对该轴的角动量守恒
Lz xPy yPx xmv y ymvx 常数
dA F dr Fds FLd Md
对于任一宏观过程，所做的总 功可表示为
A
r
L
d
o
F
ds
dr
F dr Fds Md
S
特别地，如果杆在恒定力矩作用下转动，则
A

Md M
二、质点对参考点的角动量定理及守恒律

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质点对参考点的角动量定理 设质点 P 质量为 m ，受力为 F，运动速度为 v 根据动量定理有 L
t t0
M
角动量定理 dL dt
dP dt
微分形式：M
t t0
积分形式： Fdt P P0
积分形式： Mdt L L0
F 0
动量守恒定律 P 恒矢量
M 0
角动量守恒定律 L 恒矢量
外部 作用
三、质点对轴的角动量定理和守恒律
来自百度文库
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质点对轴的角动量定理
d ˆM ˆ ˆ d (L i ˆ ˆ ˆ L M xi j M k y z x L y j Lz k ) dt dt dLy dLz dLx 分量式：M x , My , Mz dt dt dt M
mg

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合力矩 多个外力同时作用在物体上，若作用的总效果与某个力矩相当， 则这个力矩叫做这多个力的合力矩。 质元受多个力作用时，下面的计算合力矩的方法哪一种正确？ 先求合力，再求合力的力矩； 计算各力的力矩，再求这些 F 力矩的矢量和； 合力矩与合力的力矩不同， 不要混淆。
F
13

力矩的功 用力 F 使杆绕过 O 点且垂直于杆的轴转动，则其所做的功为
F/ /
7

说明 力矩是对参考点而言的，讨论力矩问题必须指明参考点的位 置。 力矩使物体绕参考点的 M 转动状态发生变化，即 F 力矩是物体转动状态发 F 生变化的原因。 O 若力的作用线通过参考 r d P 点，则其对参考点的力 F 矩为零。

//
8

力对轴的力矩 将力对参考点的力矩在直角坐标 系中投影，注意直角坐标系的三 个坐标轴需满足右手螺旋关系。 ˆ yj ˆ zk ˆ r xi

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质点系对参考点的角动量定理 对于由 n 个质点组成的质点系，考察第 i 个质点与第 j 个质点 的相互作用力产生的对参考点 O 点的力矩
M ri f ij rj f ji ( ri rj ) f ij rij f ij 0
因此，质点组内所有内力产生的力 矩的矢量和为
r
O
x
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定义质点对参考点 O 的角动量（动量矩）
ˆL ˆ ˆ L Lx i y j Lz k r mv
描述物体转动状态的物理量（转动的量的量度） 质点对参考点的角动量定理
d M L dt
积分形式：
t2 t1
物理意义：作用于质点的所有力对参考点的 合力矩等于该质点对同一参考点的角动量对 时间的变化率。
普通物理
1
第四章 角动量及其守恒定律
（2课时）
课前讨论

2
设地球绕地轴做匀角速转动，地球表面的物体相对地面都静止 不动，则： 对于地球表面的物体 (视为质点)，有哪些物理量是守恒的？ 将地球与地球表面的物体视为质点系，哪些物理量是守恒的？ 地球沿椭圆轨道绕太阳做周期性转动，在这个过程中有哪些物 理量是守恒的？
对于作圆周运动的质点
ˆ F R Mz (R F ) k ˆ Rmv Lz ( R mv ) k d d M z Lz Rmv Rma dt dt
F
F/ / F
Fz
L
z
m
v
R
O
显然：对于匀速圆周运动
Mz 0 Lz Rmv 常数
O
四、质点系的角动量定理和守恒定律
o
r
P
Fy
x
y
y
x
力对轴的力矩等于力对参考点 O 的力矩在坐标轴上的分量。
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实际生活中，有很多器具都应 用到杠杆原理，例如杆秤、天 平、辘辘、螺丝刀、扳手…… 右图中，z 轴向里，则
MO r F ( yFz zF y )iˆ (zF x xF z ) jˆ (xF y yF x )kˆ
z
z
M
Fz
F
Fx
ˆF ˆ ˆ F Fx i j F k y z ˆM ˆ ˆ M M xi j M k y z
o
r
P
Fy
x
y
y
x
ˆ yj ˆ zk ˆ ) (F i ˆF ˆ ˆ) ( xi j F k x y z ˆ xF ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xFy k z j yFx k yFz i zFx j zF y i ˆ ( zF xF ) ˆ ˆ ( yFz zFy )i x z j ( xF y yFx )k

25

问题讨论 合外力矩等于零时，合外力亦为 零，对吗？ 错！如图：对质心的合外力矩为 零，但系统合外力不为零。

F
F
C
合外力为零时，合外力矩必为零， 对吗？ 错！如图：对于质心的合外力矩 不为零，但系统合外力为零。
F
C
F
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问题讨论 当合外力为零时合外力矩与参考点无关，对吗？ 如图，对于两个力合力为零的情况，设杆长为 L ，则，合对 质心（也可以选其它参考点）的合外力矩为

5
一、力矩（moment of force）

6
力对参考点的力矩 定义：作用于质点 P 的力 F 对参考点 O 的力矩等于力的作用 点位矢与力的叉积，即：
M r F

大小
M | M | rF sin Fd F r
M
F
F
O

方向
r、F、M 成右手螺旋关系。
d
r
P


在中心力场中 (如太阳系)，质点所受到的力与其位置矢量共 线，这时，力对力心的力矩总为零。因此，质点在此力场中 运动时，它对力心的角动量守恒。这也是为什么行星受到太 阳的吸引，但行星不会落到太阳中去的原因。
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例1：证明开普勒第二定律，即行星与太阳的连线在相同时间 内扫过相等的面积（掠面速度或面积速度相等）。
9
上述结果可以使用行列式的形式表示
ˆM ˆ ˆ M M xi j M k y z ˆ ( zF xF ) ˆ ˆ ( yFz zFy )i x z j ( xF y yFx )k ˆ i x Fx ˆ j y Fy ˆ k z Fz
z
z
M
Fz
F
Fx
ˆ M x yFz zFy M i j M y zFx xFz M ˆ ˆ M xF yF M k z y x
d d F P mv dt dt
F

z
两侧以位矢左叉乘得
v

m
d d r F r P r mv y dt dt d dr d d ( r mv ) mv r mv r mv dt dt dt dt d dL M r F ( r mv ) dt dt
证：行星受有心力作用绕太阳转动，对力心角动量守恒
L r mv r dr sin L rmv sin m dt dS 2m 常量 dt dS V面 常量 dt
dr v dt
L

m
dS
r
o
dr
即位矢 r 在相等的时间内扫过相等的面积。
18

例2：一质点沿直线运动，在直线外任取一点 O 做参考点，对 该参考点而言： 若质点做变速运动，其位矢的掠面速度是否相同？ 若质点做匀速运动，其位矢的掠面速度是否相同？ 解：质点运动过程中对参考点 O 的 角动量的大小为