经典力学中的对称性与守恒定律

毕业论文

题目经典力学中的对称性与守恒定律学生姓名郭俊明学号1110014028所在院(系) 物理与电信工程学院

专业班级物理1101班

指导教师王剑华

2015年5月10日

陕西理工学院毕业论文

经典力学中的对称性和守恒定律

郭俊明

（陕理工物理与电信工程学院物理学专业1101班，陕西汉中 723001）

指导老师:王剑华

[摘要]对称性和守恒定律在物理学中具有非常重要的意义,因此近几个世纪以来对于它的研究引起了物理学家的高度关注。本文首先从经典力学中的变分原理出发,导出拉格朗日方程,利用拉格朗日函数中的物理信息,找出对称性与守恒定律之间的关系,就此举出生活中守恒定律的应用实例,最后得出守恒定律是由对称性或某种基本量不可观察—不可测量所导致的。

[关键词]变分原理; 拉格朗日函数;对称性;守恒定律

引言

人类在认识自然界时,经常会观察其对称性,而对称性是自然界的所有物质和过程都存在或者产生它的对应,是物理规律经过某种变换后的不变性。所谓的对应指的是形态上的对应、现象中的相同、物质的正反、结构上的重复、规律的不变性和性质的一致等等。从对称性出发能解释自然界相互联系中的不变性、一致性和共同性。所以,对称性是物理学家探索自然规律的基本依据和出发点。物理学中动量守恒、能量守恒和角动量守恒在任何时间和任何地点都相同,并且与空间的取向无关。所以,对称性与守恒定律之间必然存在特定的关系。

以前有很多物理学家都在寻找物理规律中的对称性和守恒定律之间的关系。1918年,德国的女数学家诺特（Amalie Emmy Nother,1882-1935）在她获得讲课的权力之后,发表了关于对称性和守恒定律内禀关系,即为著名的“诺特定理”,它的精髓是如果运动规律在不依赖时间的变换下具有不变性,那么必定相应地存在一个守恒定律和守恒量[2]。虽然对称性和守恒定律的关系是从经典力学推导出来的,但它实际的应用领域却远远超出了牛顿力学的范畴,比如,微观领域中动量守恒定律在康普顿效应中的应用[3]．现在的科学家着眼于力学系统与守恒量的研究,并且渗透到数学、力学、物理学等各个领域。众多科学家寻求典型力学系统的守恒量,并且研究与守恒量相应的Noether 对称性和Lie 对称性,受到了许多分析力学专家关注。

20世纪六七十年代Currie 等对Lagrange 对称性的最早探索是对不同自由度Lagrange 函数等价问题的研究。上世纪70 年代末到90 年代,Lutzky 等对力学系统的Lagrange 函数等价问题做了一系列的研究, 后来将这种Lagrange 函数等价关系叫做为Lagrange 对称性,Lagrange 对称性现逐渐被推广到Hamil- ton 等系统。近些年来,科学家在约束力学系统三种对称性及其导致守恒量的研究方面取得了许多重要成果[4-11]。在我们的生活中，守恒定律有许多应用，使生活中的现象更具科学化[14]。

本文将从经典力学中的变分原理入手,接着以拉格朗日函数为基础进行讨论,找出函数中的对称关系及其成立的条件,最终推导三种对称性与守恒量之间的关系,就此举出生活中的实例,并且进行解释说明,最后进行总结。

1.由变分原理到拉格朗日方程

变分法是研究泛值函数的一种数学理论,它是力学中最速落径问题的诱导而发展起来

的。由伊凡•贝努力提出来的最速落径是这样一个问题:A 、B 不是位于同一铅直线上的两个点。在连接A 、B 的所有曲线中找出一条光滑曲线C,使初速度为零的质点在重力的作用下,沿着C 由A 滑落到B 所用的时间最短。

对于某个已知的函数形式()y y x f ',,,作x 的定积分

()dx y y x f J x x ⎰'=2

1,,, （1.1） J 的值依赖于函数()x y ,是()x y 的泛函。J 取极值时所对应的曲线()x y 被称为泛函()[]x y J 的极值曲线。由于曲线()x y y =必须通过()11,y x 和()22,y x 两点,所以有

()11y x y =,()22y x y =. （1.2） 在极值曲线()x y 的附近可以作出它的近旁曲线。我们把近旁曲线表示为 ()()()x x y x x y αη+=,, （1.3） 式中的()x η是x 的任意函数,α则是任意的小参数。α取不同的值,便可得到极值曲线()x y y =不同的近旁曲线。由于自变量x 的增量dx 引起函数y 的增量dy ,被称为y 的微分。可是,在自变量x 不变时,由于参数α的改变也会引起函数值的变化。α的增量δα时,函数的增量记为y δ,被称为函数()x y 的变量。变分是由于函数结构的改变而引起的增量。由变分的定义可知 ()()()x x y x y y δαηδ=-=, （1.4） 从（1.1）式可以看出,函数()x y 的变分y δ将引起()y y x f ',,的变分f δ和泛函J 的变分J δ,即为哈密顿原理,在相同的时间、相同的初末位置和相同的约束条件下,完整保守系统的真实运动对应于作用量的极值,即对应于

()0,,2

1=⎰t t dt t q q L ααδ . （1.5） 我们从哈密顿原理出发,导出拉格朗日方程。研究s 个自由度的完整保守系的运动,对任意的两个时刻1t 、2t 均有

()()⎰⎰==21

2

1,,,,t t t t dt t q q L dt t q q L S ααααδδδ , （1.6） 由于是等时变分,即0=t δ,故求变分得 dt q L q q L S t t s ⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==211ααααδδ 21211t t s t t q q L dt q q L dt d q L ∑⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=ααααααδδ （1.7） 哈密顿原理指出,对于质点系的真实运动,0=S δ,即上式的积分为零。由于积分区间是