雷诺平均统计模式

7.2.2 标准k -ε模式
4．关于标准k -ε模式的评价
标准模式可以计算比较复杂的湍流，但是在定量结 果方面并没有比代数涡粘模式有明显的优势。
右图7-2给出的绕
后台阶流动的结果： 计算的流向再附距离 等于5.7 H（H是台阶
高度) ，而实验结果
是7.0 H ，误差达2 0 %；湍流强度的预测
误差也在20 %左右
第七章
雷诺平均统计模式
本章主要内容
7.1 7.2 7.3 7.4 建立湍流统计模式的一般原理 湍流涡粘模式 雷诺应力输运方程的封闭模式： 2阶矩模式 湍流统计模式的综合评述
7.1 建立湍流统计模式的一般原理
统计模式的目标：封闭雷诺平均方程 雷诺平均方程不封闭量：雷诺应力 建立统计模式的任务：建立足够的雷诺应力 方程组（代数的、微分的或一般泛函形式的）， 使得平均运动方程可解。
7.2.5 低雷诺数修正
1．近壁湍流脉动的渐近性质
接近壁面的湍流运动中，一方面湍流脉动由于壁面约束 而下降；另一方面，分子粘性的扩散作用逐渐增强。湍流雷 诺数可以用湍动能k和湍动能耗散率ε来计算：
Ret k2

显然，接近固壁处，湍动能趋向于零，而湍动能耗散是有限 的，所以贴近壁面处湍流雷诺数很小，分子扩散项占较大成分； f 因此，高雷诺数k –ε模式必须加以修正。引入阻尼系数 ，将涡 粘系数写成
7.2.4 壁函数
在固壁附近存在等应力层，等应力层中有以下的关系式， 称为壁面律：
上述壁面律只适用于附体边界层，在固壁流动分离 点处不成立，因为在分离点上切应力等于零，从而摩擦 速度 u | w | / 0
7.2.4 壁函数
石灿兴( Shih ,1999 ) 建议一种通用的壁面律公式，其基本 思想是将Tennekes和Lumley ( 1972 ) 的压强壁面律公式与 Speziale的非线性k -ε模式公式相结合构成统一的壁面律， 其公式如下：
u p [( / ) | dPw / dx |]1/3为壁面压强梯度速度， uc 为统一速度尺度
用来无量纲化，上面公式既可以用于附壁边界层，也可以用于 边界层的分离区。
7.2.4 壁函数
壁函数法小结：
壁面律的最大缺陷是难于推广到三维和复杂壁 湍流，因为壁面律公式中应用了离壁面的垂直距离， 它不是坐标不变量；另外，在相交壁面附近的第一 个网格点上有两个壁面距离，究竟用哪个距离代入 壁面律具有不确定性。
7.1.2 封闭模式方程的约束条件
湍流统计模式的基本思想是：建立高阶 统计量和低阶统计量之间的关系式。其张量 关系的封闭式应满足下面原则：
1.张量函数的可表性原则
2.关于参照系统的不变性原则
3.真实性原则 4.Lumley曲边三角形 5.渐近性原则 下面主要讲Lumley曲边三角形原则
7.1.2 封闭模式方程的约束条件
2．模型方程的常数
应用渐近性原则确定模型方程中各个系数，原理是模式预测的简 单流动结果应当和直接数值模拟或实验结果一致。
C 0.09
Ct1 1.44
Ct 2 1.92
t 1.3
k 1
7.2.2 标准k -ε模式
3. 标量k θ-εθ的模式
k 的微分输运方程：
k 的微分输运方程：
7.2 湍流涡粘模式
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 代数涡粘模式 标准k-ε 模式 非线性k-ε 模式 壁函数 低雷诺数修正
7.2.6
单方程涡粘系数输运模式
7.2.1 代数涡粘模式
1 ．线性涡粘模式的一般形式 2．混合长度模式 3 ．Baldwin-Lomax模式 4 ．关于代数涡粘模式的评价
从统计量的角度， 初始脉动场对雷诺应力和 标量通量的影响可以排除，因为，初始脉动对相 隔长时间后的统计量不会再有影响。
7.1.1 雷诺应力的一般泛函形式
湍流脉动统计具有以下性质：
（1）封闭关系式不是局部的。 （2）一般来说，所有统计矩都和流动的几何边界有关。 总之，湍流脉动的统计矩中包含极其丰富的脉动场的 性质，但是它们不可能用解析方法表达出来。
标量输运的封闭关系式：
ui t
xi
7.2.1 代数涡粘模式
2．混合长度模式
混合长度模式是基于分子运动的比拟，在二维剪切层中 导出的，类比于分子运动自由程
在边界层的近壁区，混合长度和离壁面的距离成正比：
l y
涡粘系数应当正比于脉动速度和混合长度之积，在一般三维 湍流中，Smagorinsky ( 1963 )建议涡粘系数公式为：
( t )in , y yi t ( t ) out , y yi
其中内层的涡粘公式为： ( t )in
l l
1/2
l 2
(l ijk uk / x j ) 为当地的涡量绝对值；
l是考虑壁面修正的混合长度： l y[1 exp( y / A )]
7.1.1 雷诺应力的一般泛函形式
雷诺应力和平均标量通量形式：
uiuj ( x, t ) ij [ x, t; u , u( x,0), u ( x , s)]
ui ( x, t ) ij [ x, t; u , u( x,0), , ( x,0), ( x , s)]
根据涡粘系数的渐近特性，阻尼函数必须具有以下性质：
利用湍流边界层统计特性拟合的经验性阻尼函数可写作：
7.2.5 低雷诺数修正
4．湍动能和湍动能耗散的边界条件
湍动能的边界条件直接由壁面无滑移条件导出
k y 0 0
利用近壁湍流的性质式可导出 y y 0
t C f ul
7.2.5 低雷诺数修正
确导出近壁低雷诺数模式的方法是对近壁湍流脉动进 行渐近分析。根据固壁无滑移条件和不可压缩流体的连续 方程，近壁速度脉动有以下的渐近展开经过推导后，可以 导出雷诺应力、湍动能和湍动能耗散的渐进表达式 ：
7.2.5 低雷诺数修正
2．近壁的湍流脉动速度尺度和长度尺度
湍动能耗散率方程的形式较湍动能方程复杂得多，其右端项， 它包含了大小涡拉伸生成的耗散率的生成项，由湍流输运和压 强作用产生的湍动能耗散率的扩散项（梯度形式），湍动能耗 散率的消耗项（或者称湍动流耗散的“耗散项”），以及分子 扩散项。
7.2.2 标准k -ε模式
引入以下公式：
封闭方程：
7.2.2 标准k -ε模式
Lumley曲边三角形：是Lumley在1978年用无量纲雷诺偏应力的不变量
表示雷诺应力的固有特性
利用轴对称湍流和二维湍 流两种特殊的湍流组成曲边三 角形的边界。一般三维湍流的 偏应力状态必须位于曲边三角 形内。如果模式给出的雷诺偏 应力张量的特征量位于曲边三 角形内， 这种模式在物理上 是许可的；反之一定是错误的
7.2.3 非线性k -ε模式
Speziale（1991）的非线性k -ε模式
应用建立流体本构关系的方法，把雷诺应力用平均速 度梯度展开到2阶近似，根据张量函数的可表性和参照坐标 不变性原则，并以k 、ε参数化，可得如下的二次式：
非线性模式不仅仅是代数意义上的二次式，它包括了涡粘系数 的各向异性、历史效应，以及平均涡量的影响。非线性模式是各向 异性模型。
7.2.2 标准k -ε模式
1.方程模型
湍动能输运方程：
右端第一项是生成项 P ；第二项是扩散项，最简单的公式是线性 k 梯度形式，进一步假定湍动能的输运和平均动量输运具有类似的 性质 ；最后一项是湍动能耗散率ε，它用耗散方程给予封闭。
7.2.2 标准k -ε模式
重点介绍湍动能耗散率方程
由湍流脉动方程可以导出端动能耗散率的输运方程：
7.2.4 壁函数
对于高雷诺数绕流，近壁湍流边界层很薄，实际数值 计算时，壁面网格只能到达等应力区外缘。
另一方面，从壁面到等应力区的边缘湍流统计量有剧 烈的增加，任何数值方法无法在一个网格中近似这种急 剧变化。 这时，只好放弃数值积分到真实的壁面，而是在离开壁 面的第一层网格上用壁函数作为边界条件，或者说，将 雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，具体计算方法可 采用壁函数法。
7.2.2 标准k -ε模式
标准模式的主要缺点：
①其假定雷诺应力和当时当地的平均切变率成正比，不能准确反映
雷诺应力沿流向的历史效应； ②是各向同性的，不能反映雷诺应力的各向异性； ③不能反映平均涡量的影响，而平均涡量对雷诺应力的分布有影响， 特别是在湍流分离流中。
因此，在标准模式（又称线性k -ε模式）基础上，发展了近 代的非线性的模式。其中有重整化群k -ε模式( Yakhot 和 Orszag ,1986 ) 以及Speziale（1991）的非线性k -ε模式。
7.1 建立湍流统计模式的一般原理
7.1.1 7.1.2
雷诺应力的一般泛函形式 封闭模式方程的约束条件
7.1.1 雷诺应力的一般泛函形式
脉动速度场和标量场：
u( x, t ) F[ x, t; u , u( x,0), u ( x , s)]
p( x, t ) g[ x, t; u , u( x,0), u ( x , s)]
7.2.3 非线性k -ε模式
绕后台阶流动算例：
图7-3给出了计算结 果，应用非线性 k 模 式，再附长度等于6.4H ，接近于实验值7.0H ； 预测的湍流强度分布也
有改善。
但是非线性仍然具有涡粘模式固有的缺陷，例如没有包括雷诺应 力松弛效应等。此外. 在平均切变率很大的流场中 此模式有可能不满 足真实性条件。
( x, t ) h[ x, t; u , u( x,0), u ( x , s), , ( x,0), ( x , s)]
上述方程表明：脉动速度场与平均速度场、脉动速度初始场以
及边界脉动有关；脉动标量场除了和平均速度场、脉动速度场有关
外，还和平均标量场、脉动标量的初始场及边界值有关。
2
低雷诺数修正和前面介绍的壁函数是k -ε模式的两种不同壁面边 界条件。对于高雷诺数来流，壁函数是既经济又足够准确的方法；而 低雷诺数来流，则采用低雷诺数修正模式为好。
7.2.1 代数涡粘模式
4 ．关于代数涡粘模式的评价
代数模式的最大优点是计算量少，比较容易针对特定的 流动状态做各种修正。
代数涡粘模式的最大缺点是它的局部性，忽略湍流统计 量之间关系的历史效应。 总的结论是，在简单的二维薄层湍流中，代数模式的预 测结果是满意的；二维复杂湍流情况， 应用代数模式 基本上不能获得满意的结果。
u p ut y U 1 u uc y ln C1 ln C2 uc uc uc
C1 u uc 1 u ln uc 5.0
C2 up up ln uc uc 8.0
t l 2 (2Sij Sij )1/2
7.2.1 代数涡粘模式
3 ．Baldwin-Lomax模式
Baldwin-Lomax 模式适用于湍流边界层，它的主要改进有：
①采用分区的涡粘公式；② 用涡量取代变形率；③对混合长度做近壁 修正。 具体公式将湍流边界层分成内层和外层，并分别给出涡粘表达式：
y 为了使底层的尺度 l ~ 能够和等雷诺应力区中的公 / 式 l k 3/2 连续衔接，可以采用以下的尺度修正公式 ：
l
( )1/2 式中
k 1/2 [k ( )1/2 ]

是Kolmogorov速度尺度 平方
7.2.5 低雷诺数修正
3．低雷诺数修正系数(或近壁阻尼函数)
涡粘系数：
7.2.1 代数涡粘模式
1 ．线性涡粘模式的一般形式
假定：雷诺应力的泛函公式是关于平均速度梯度的线性 代数关系式，而来流的湍流特性以参数形式（它的尺度 和强度）包含在线性关系式中。
雷诺应力封闭关系式：
ui u j 1 uiui i ij uiui x xi j 3