运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24
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运筹学 第05章 整数规划与分配问题
1
整数规划问题的提出
0 xj 1 表示项目j不被选中 表示项目j被选中 ( j 1,2,3,4,5)
解：决策变量：设
目标函数：期望收益最大
max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515 项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 归纳起来，其数学模型为：
n
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
2
整数规划问题的分类
根据变量取整数的情况，将整数规划分为：
（1）纯整数规划，所有变量都取整数.
（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2
整数规划问题的求解思考
1
整数规划问题与其松弛问题
2
匈牙利法
例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
任务 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
人员
甲 乙 丙 丁
2
匈牙利法
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和
分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
3
分派问题与匈牙利法
1
运筹学课件第五章整数规划
第五章整数规划、学习目的与要求1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;2、掌握求解0―― 1规划问题的隐枚举法；3、掌握求解指派问题的匈牙利法。
二、课时9学时第一节整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式nmax(或min) z 八c j x jj a"nZ a ij X j <(或=,或X)b i (i =1,2,…,m)j =1s.t.」X j X0( j =1,2，…,n)X-X2,…,x n中部分或全部取整数I整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的例子例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。
按规定，服务员连续工作8h (即四个时段为一班)。
现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？解：设在第时段开始上班的服务员的人数为。
问题的数学模式略。
运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
运筹学 第五章整数规划
i 1
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
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•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
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第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
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第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
运筹学 第四版 第五章 整数规划
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
表 3.1
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
解 设 x1,分x2 别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个
纯整数规划问题 .其数学模型为:
(pzreorgor-aomnme iinngte)ger linear
若不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成
的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题（slack
problem）
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
整数线性规划数学
n
st. j1 aij x j
max Z 20 x1 10 x2
5x1 4x2 24 s.t 2x1 5x2 13
x1, x2 0, 整数
（1）
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
max Z 20 x1 10 x2
s.t
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1, x2 0
目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§2 解纯整数规划的割平面法
考虑纯整数规划问题
n
max Z cjxj j 1
n
aijxj bis.tj 1xj0
xj取整数
i 1, 2....m
j 1, 2...n j 1, 2,..n
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
运筹学 第五章 整数规划PPT课件
x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
运筹学概论 第5章 整数规划
匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如下性质： 若从指派问题的系数矩阵C的某行（或某列）各元素分别 减去一个常数k，得到一个新的矩阵C’，则以C’和C 为系数矩 阵的两个指派问题有相同的最优解。 （系数矩阵的变化并不影响数学模型的约束方程组，而 只是目标函数值减少了常数k，所以最优解不变）
匈牙利法解题步骤如下：
于是建立下列模型:
xi=0或1, i=1,2,…,8
课堂练习
• 某钻井队要从10个可供选择的井位中确定5个钻 井探油，使总的钻探费用最少。若10个井位的代 号为s1－s10，相应的钻探费用为c1－c10，并且 井位选择应满足以下条件：
• 1) s1，s4，s5，s10井位中最多选择两个。 • 2) s2，s8，s9井位中最少选择一个 • 3) 如s3和s5都选择，则s8不选择 • 4) s6号和s7井位至少有一个不选择 • 建立该问题的数学模型。
第5章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型及解的特点
在求解线性规划问题时，得到的最优解可能 是分数或小数，但许多实际问题要求得到的解为 整数才行。这种要求线性规划有整数解的问题,称
为整数规划(Integer Programming)或简称IP。
整数规划的数学模型
n
max(minf)(x) cjxj
指派问题的每个可行解，可用矩阵表示如下：
x11
X
(xi j )nn
x21
xn1
x12 x22 xn2
x1n
x2n
xnn
矩阵X中，每行各元素中只有1个元素为1,其余各 元素等0；每列各元素中也只有1个元素为1,其余各元 素等0 。
指派问题有n！个可行解。
例1 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄 四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书 所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所 需总时间最少？
匈牙利法解题步骤如下：
于是建立下列模型:
xi=0或1, i=1,2,…,8
课堂练习
• 某钻井队要从10个可供选择的井位中确定5个钻 井探油，使总的钻探费用最少。若10个井位的代 号为s1－s10，相应的钻探费用为c1－c10，并且 井位选择应满足以下条件：
• 1) s1，s4，s5，s10井位中最多选择两个。 • 2) s2，s8，s9井位中最少选择一个 • 3) 如s3和s5都选择，则s8不选择 • 4) s6号和s7井位至少有一个不选择 • 建立该问题的数学模型。
第5章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型及解的特点
在求解线性规划问题时，得到的最优解可能 是分数或小数，但许多实际问题要求得到的解为 整数才行。这种要求线性规划有整数解的问题,称
为整数规划(Integer Programming)或简称IP。
整数规划的数学模型
n
max(minf)(x) cjxj
指派问题的每个可行解，可用矩阵表示如下：
x11
X
(xi j )nn
x21
xn1
x12 x22 xn2
x1n
x2n
xnn
矩阵X中，每行各元素中只有1个元素为1,其余各 元素等0；每列各元素中也只有1个元素为1,其余各元 素等0 。
指派问题有n！个可行解。
例1 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄 四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书 所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所 需总时间最少？
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020max x x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96max ,0,8.421===z x x 。
50用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下图）。
运筹学 第三版 清华大学出版社 第5章整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 全整数规划、混合整数规划、 整数规划。 划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
8
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（ 纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时引 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
举例说明。 举例说明。
10
例：设整数规划问题如下
max z = x 1 + x 2 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x1 + 3 x 2 ≤ 1 x , x ≥ 0 且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 伴随问题）。 题或伴随问题）。 max z = x + x
x2 3
⑴ ⑵ (3/2,10/3)
3
x1
按整数规划约束条件， 按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 如图所示。 如图所示。
12
因此， 因此，可将集合内 的整数点一一找出， 的整数点一一找出， 其最大目标函数的值 为最优解， 为最优解，此法为完 全枚举法。 全枚举法。 如上例：其中（ ， 如上例：其中（2， 2）（ ，1）点为最大 ）（3， ） ）（ z 。 值， =4。
3
个地点建厂， 例2、（建厂问题）某公司计划在 个地点建厂，可供选择的 、 建厂问题）某公司计划在m个地点建厂 地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设 地点有 他们的生产能力分别是 生产同一产品）。第 个工厂的建设费用为f 生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为 i (i=1.2…m),又有 ）。 又有 n个地点 1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为 个地点B 需要销售这种产品， 个地点 b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为 ij。试决定应在哪 从工厂运往销地的单位运费为C 些地方建厂，即满足各地需要， 些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费 用最省？ 用最省？单
第五章 整数规划(运筹学教程)
什么叫0-1规划
• 0-1型整数规划是整数规划中的特殊情况， 它的变量xi仅取0或1，这时xi称为0-1变量 或二进制变量（binary), • xi仅取0或1这个条件可由下述约束条件所 取代： xi≤1, xi ≥0， Xi整数。 • 但是，0-1变量还有许多其它作用。 • 下面举例说明。
4.1 引入0-1变量的实际问题
定界
0≤ Z≤349
定界 340≤ Z≤341
Z3=340
Z4=327
B5（x2≤1）最优解 X1=5,x2=1.57 Z2=308 B6（x2≥2） 无可行解
定界 340≤ Z≤340
§3 割平面法
• 1、分枝定界法本质上是一种对线性规划可行域的 分割方法，只是分割方式比较单一和规范。每次从 对应线性规划的最优解出发，选定某个取非整数值 的变量，挖掉其中的小数部分，将原可行域一分为 二。如此反复进行，直到发现最优整数解为止。 • 2、割平面法的思路也是采用求解对应线性规划的 方法去解整数规划的问题。通过增加适当的约束条 件，从原可行域中切割掉不含整数解的部分。但其 切割方式灵活多样，每次切割可以切一刀，也可以 同时切几刀。旨在造成一个具有整数坐标的顶点， 恰好对应着原问题的最优解
B5, B6
图5-4
B1(x1≤4）最优解
X1=4,x2=2.1 Z1=349 B3(x2≤2）最优解 X1=4,x2=2
B最优解
定界 0≤ Z≤356
X1=4.81,x2=1.82
Z0=356
B2（x1≥5）最优解
X1=5,x2=1.57 Z2=341 B4(x2≥3）最优解 X1=1.42,x2=3
最优解 X1=4,x2=2：整数可行解 Z3=340 最优解 X1=1.42,x2=3
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24
大真分数部分的非整分量所在行构造割平面约
束，将其加入原松弛问题中形成一个新的线性
规划求解，逐渐缩小解的范围，又不去掉整数
解，直至找到最优解为整数解结束。
1.割平面法
约束条件构造的条件
1)已获得的不符合整数要求的线性规划最
优解不满足该线性约束条件,从而不可能在以
后的解中出现;
2)凡是整数可行解均满足该线性约束条件, 因而整数最优解始终保留在每次形成的线性规 划中.
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1≤10000y1 x2≤10000y2 用10000 x3≤10000y3 表示M x4≤10000y4 x5≤10000y5 y1+y2+y3+y4+y5 ≤3 五种产品只生产3三种 50y1≤x1≤10000y1 50y2≤x2≤10000y2 最小批量为50件 50y3≤x3≤10000y3 50y4≤x4≤10000y4 50y5≤x5≤10000y5 产品1安排生产，产品2就不能生产 y1+y2≤1 产品4生产，产品5必须生产 y4≤y5 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
设五种产品产量之间有以下逻辑关系：
五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件
第05章 整数规划 《运筹学》PPT课件
︰︰ ︰
︰
xm+1 λ1 a1m+1 ︰
… … …[j0aim1xλa,1m2mjfm],++i+jjmj njf
…
im j
…1 …m
xn λn a1n
︰
︰
解
zb-1zb00i0 fi0
︰0 fi0 1
xi 0 … 1 … 0 aim+1
… aim+j
… ain
bi0
︰︰ ︰
︰︰
︰
︰
︰
非基
符号[*]表示不超过“*”的最大整数，f(*)表 示“*”的非负真分数。
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题 L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的最优解
X
不是整数解
0
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 其中bi0是分数
即x1,xi ,xm是基变量，xm1,, xn是非基变量
设L0的最优解 X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 ,bi0是分数
L0的最优单纯形表：
x1 … xi … xm xm+1 … xm+j … xn
解
检 0 … 0 … 0 λ1
… λm+j … λn
z-z0
x1 1 … 0 … 0 a1m+1 … a1m+j … a1n
个旅行包里。
物 品
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
体 积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
运筹学 第五章 整数规划
Chapter5 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 0－1 整数规划 指派问题
1 2022/1/24
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
⑵
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
它们都不可能是整数规划的最优 3 解。
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
x2
找到整数解，问题已探明，此
枝停止计算。
3
同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:
x1＝2, x2 =10/3,
Z(2)＝－56/3≈－18.7
1
∵Z(2)< Z(1)＝－16
∴原问题有比－16更小的最优
解，但 x2 不是整数，故继续 分支20。22/1/24
⑵ ⑴
A(18/11,40/11)
5
x1
x1
6x2 30 4
LP
2022/1/24
x1 , x2 0
17
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8)
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 0－1 整数规划 指派问题
1 2022/1/24
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
⑵
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
它们都不可能是整数规划的最优 3 解。
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
x2
找到整数解，问题已探明，此
枝停止计算。
3
同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:
x1＝2, x2 =10/3,
Z(2)＝－56/3≈－18.7
1
∵Z(2)< Z(1)＝－16
∴原问题有比－16更小的最优
解，但 x2 不是整数，故继续 分支20。22/1/24
⑵ ⑴
A(18/11,40/11)
5
x1
x1
6x2 30 4
LP
2022/1/24
x1 , x2 0
17
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8)
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整数规划的数学模型实例
整数规划解的特点
• 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体 积、重量和可获得的利润及托运所受限制如表， 问两种货物各托运多少箱，使得利润最大？ • 设甲乙两种货物各托运X1,X2箱
货物 甲
体积 5
重量 2
利润 20
乙 托运 限制
4 24
5 13
10
Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2≤13 x1,x2≥0且为整数
B(5, 3)
012345678
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
B(5, 3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解，目标 函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值 为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)， 不是可行解；舍去尾数取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。 因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解通过 简单的取整得到。
5/6 -1/6 -2/3 1/3 -1/6 -1/6
CB
1
例（接上）：
cj 1 1 0 0 0
XB
X1
b
5/3
x1
1
x2
0
x3
x4
x5
0
4 4 x 5 (x 3 x 4 2x 5 ) 5 5
cj 1 b 1 x1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 x4 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 x5 1 0 x6 0 x2 x3
货物 甲 乙 托运 限制
体积 5 4 24
重量 2 5 13
利润 20 10
• 现有资金总额B，可供选择的投资项目有 m个，项目j所需要的投资额和预期的收 益分别为aj和cj，由于各种原因有3个附 加条件：①若选项目1，则必选项目2， 反之则不一定；②项目3和项目4必须选 一个；③项目5，6，7中恰好选2个。应 当如何选择投资项目才能使总预期收益 为最大？
-4/5 0 -6/5 0 -1/5 0 0 0 5/4 -1
1 1 0
X1 x3 δj
0 -4/5 1
X2 16/5
0 -3/2 1 -5/4
由上面结果构造割平面束
x 3 x4 6 4 x5 5 5
δj
0
0
0
0
0 -1/4
X * (0,4,2,0,1,0)T Z* 4
2. 分支定界法
1.割平面法
割平面束构造：
设具有最大真分数部分的非整分量所在行为：
x i a ik x k bi
将该约束方程所在系数和常数分解为整数N和正
真分数f之和，即：
x i ( N ik f ik ) x k N bi f bi
则该约束方程等价于：
f ik xk
f bi
5 4.0
5.0 2.0 22
设备能力 1800
2500 2200
求使总利润最大的生产计划。
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数
5 0 21 0且பைடு நூலகம்整数
(11/4,9/4),Z=31/4 x1≥3 x1≤2
(2,2),Z=6 (3,3/2),Z=15/2
x2≤1
(19/6,1),Z=21/3
x2≥2
无解
x1≤3
(3,1),Z=7
x1≥4
无解
(2,2)
(11/4,9/4) (3,3/2) (19/6,1)
5.3 0-1整数规划
纯ILP： Xj全为整数
混合ILP：部分Xj为整数
0-1 ILP：Xj为0或1
2.整数线性规划（ILP）实例
线性规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
整数规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
3.多决策问题
一个工厂用3种设备生产5种产品，三种设备的能力（小 时），生产每种产品需要占有的各种设备的能力（小时 /件）以及5种产品的利润（元/件）如下：
产品 设备A
设备B 设备C 利润
1 5.0
－ 3.0 24
2 1.0
3.0 2.0 18
3 3.0
4.0 1.0 21
4 2.0
1.0 3.0 17
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1≤10000y1 x2≤10000y2 用10000 x3≤10000y3 表示M x4≤10000y4 x5≤10000y5 y1+y2+y3+y4+y5 ≤3 五种产品只生产3三种 50y1≤x1≤10000y1 50y2≤x2≤10000y2 最小批量为50件 50y3≤x3≤10000y3 50y4≤x4≤10000y4 50y5≤x5≤10000y5 产品1安排生产，产品2就不能生产 y1+y2≤1 产品4生产，产品5必须生产 y4≤y5 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
解：每一个投资项目都有被选择和不被选择两种 可能，设 xj=1 对j项目投资 0 对j项目不投资 Max z=∑cjxj ∑ajxj≤B x2≥x1 x3+x4≥1 x5+x6+x7=2 xj=0或1
1.整数线性规划（ILP）的类型
整数线性规划的一般形式： Max (min) z=CX AX≤(≥,=)b X ≥0 X中部分或全部为整数 X为0或1
原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
物品1 物品2 重量（公斤/件）
价值（元/件）
物品3 20
35
10
17
41
72
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3
s.t. 10x1+41x2+20x3≤50
x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。这 个问题的最优解为： x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元
1.割平面法
例：
CB 0 0 1 0 1 1
Cj
XB x3 x4 δj x1 x4 δj x1 x2 δj 5/3 8/3 3 8 b 6 20
1
1
0
x3 1 0 0
0
x4 0 1 0 0 1 0 Θ 3 5
x1入 x3出
MaxZ x1 x 2 2 x1 x2 x 3 6 4 x1 5 x2 x4 20 x 0, j 1,,4, 且为整数 j
2.厂址选择模型
在5个备选地点中选择3处建设生产同一产品的工厂，每 个地点建厂所需投资，占用农田，建成以后的生产能力 如下。总投资不超过800万元，占有农田不超过60亩。 如何选择厂址，使总生产能力最大。
1 2 3 4 建厂备选地点 所需投资（万元） 320 280 240 210 20 18 15 11 占有农田（亩） 55 42 28 生产能力（万吨） 70
步骤：
1. 解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种：
松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。 松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP 的最优解，停止计算。 松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值 为 Z；
2. 用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函 数值，并记作 Z ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则
x1 x2 [2 ] 1 4 [1] 1 0 0 1 0 0 1 5
由右边结果构造割平面束
x1 5 1 5 x 3 x4 6 6 3