运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24

整数规划的数学模型实例
整数规划解的特点
• 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体 积、重量和可获得的利润及托运所受限制如表， 问两种货物各托运多少箱，使得利润最大？ • 设甲乙两种货物各托运X1,X2箱
货物 甲
体积 5
重量 2
利润 20
乙 托运 限制
4 24
5 13
10
Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2≤13 x1,x2≥0且为整数
B(5, 3)
012345678
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
B(5, 3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解，目标 函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值 为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)， 不是可行解；舍去尾数取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。 因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解通过 简单的取整得到。
5/6 -1/6 -2/3 1/3 -1/6 -1/6

CB
1
例（接上）：
cj 1 1 0 0 0
XB
X1
b
5/3
x1
1
x2
0
x3
x4
x5
0

4 4 x 5 (x 3 x 4 2x 5 ) 5 5
cj 1 b 1 x1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 x4 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 x5 1 0 x6 0 x2 x3
货物 甲 乙 托运 限制
体积 5 4 24
重量 2 5 13
利润 20 10
• 现有资金总额B，可供选择的投资项目有 m个，项目j所需要的投资额和预期的收 益分别为aj和cj，由于各种原因有3个附 加条件：①若选项目1，则必选项目2， 反之则不一定；②项目3和项目4必须选 一个；③项目5，6，7中恰好选2个。应 当如何选择投资项目才能使总预期收益 为最大？
-4/5 0 -6/5 0 -1/5 0 0 0 5/4 -1
1 1 0
X1 x3 δj
0 -4/5 1
X2 16/5
0 -3/2 1 -5/4
由上面结果构造割平面束
x 3 x4 6 4 x5 5 5
δj
0
0
0
0
0 -1/4
X * (0,4,2,0,1,0)T Z* 4
2. 分支定界法
1.割平面法
割平面束构造：
设具有最大真分数部分的非整分量所在行为：
x i a ik x k bi
将该约束方程所在系数和常数分解为整数N和正
真分数f之和，即：
x i ( N ik f ik ) x k N bi f bi
则该约束方程等价于：
f ik xk
f bi
5 4.0
5.0 2.0 22
设备能力 1800
2500 2200
求使总利润最大的生产计划。
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数
5 0 21 0且பைடு நூலகம்整数
(11/4,9/4),Z=31/4 x1≥3 x1≤2
(2,2),Z=6 (3,3/2),Z=15/2
x2≤1
(19/6,1),Z=21/3
x2≥2
无解
x1≤3
(3,1),Z=7
x1≥4
无解
(2,2)
(11/4,9/4) (3,3/2) (19/6,1)
5.3 0-1整数规划


纯ILP： Xj全为整数
混合ILP：部分Xj为整数

0-1 ILP：Xj为0或1
2.整数线性规划（ILP）实例
线性规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
整数规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
3.多决策问题
一个工厂用3种设备生产5种产品，三种设备的能力（小 时），生产每种产品需要占有的各种设备的能力（小时 /件）以及5种产品的利润（元/件）如下：
产品 设备A
设备B 设备C 利润
1 5.0
－ 3.0 24
2 1.0
3.0 2.0 18
3 3.0
4.0 1.0 21
4 2.0
1.0 3.0 17
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1≤10000y1 x2≤10000y2 用10000 x3≤10000y3 表示M x4≤10000y4 x5≤10000y5 y1+y2+y3+y4+y5 ≤3 五种产品只生产3三种 50y1≤x1≤10000y1 50y2≤x2≤10000y2 最小批量为50件 50y3≤x3≤10000y3 50y4≤x4≤10000y4 50y5≤x5≤10000y5 产品1安排生产，产品2就不能生产 y1+y2≤1 产品4生产，产品5必须生产 y4≤y5 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
解：每一个投资项目都有被选择和不被选择两种 可能，设 xj=1 对j项目投资 0 对j项目不投资 Max z=∑cjxj ∑ajxj≤B x2≥x1 x3+x4≥1 x5+x6+x7=2 xj=0或1
1.整数线性规划（ILP）的类型
整数线性规划的一般形式： Max (min) z=CX AX≤(≥,=)b X ≥0 X中部分或全部为整数 X为0或1
原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
物品1 物品2 重量（公斤/件）
价值（元/件）
物品3 20
35
10
17
41
72
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3
s.t. 10x1+41x2+20x3≤50
x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。这 个问题的最优解为： x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元
1.割平面法
例：
CB 0 0 1 0 1 1
Cj
XB x3 x4 δj x1 x4 δj x1 x2 δj 5/3 8/3 3 8 b 6 20
1
1
0
x3 1 0 0
0
x4 0 1 0 0 1 0 Θ 3 5
x1入 x3出
MaxZ x1 x 2 2 x1 x2 x 3 6 4 x1 5 x2 x4 20 x 0, j 1,,4, 且为整数 j
2.厂址选择模型
在5个备选地点中选择3处建设生产同一产品的工厂，每 个地点建厂所需投资，占用农田，建成以后的生产能力 如下。总投资不超过800万元，占有农田不超过60亩。 如何选择厂址，使总生产能力最大。
1 2 3 4 建厂备选地点 所需投资（万元） 320 280 240 210 20 18 15 11 占有农田（亩） 55 42 28 生产能力（万吨） 70
步骤：
1. 解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种：
松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。 松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP 的最优解，停止计算。 松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值 为 Z；
2. 用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函 数值，并记作 Z ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则
x1 x2 [2 ] 1 4 [1] 1 0 0 1 0 0 1 5
由右边结果构造割平面束
x1 5 1 5 x 3 x4 6 6 3
1/2 1/2 [ 3] -2 1/2] -1/2 [ 0 1 0
6 8/3
x2入 x4出
5 5 2 2 x3 x4 (1 x1 x4 ) 6 6 3 3
设5个0－1变量x1，x2，x3，x4，x5，
5 180 8 11
0 在i地不建厂 xi （i 1,2,3,4,5 ） 1 在i地建厂
max z=70x1+55x2+42x3+28x4+11x5 s.t. 320x1+280x2+240x3+210x4+180x5≤800 20x1+ 18x2+ 15x3+ 11x4+ 8x5≤ 60 x1+ x 2+ x3 + x 4+ x5= 3 x1, x2, x3 , x4, x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5 为 0－1变量 这个0－1规划问题的最优解为： x1=1，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，z*=140 即在地点1、3和4建3个厂，总生产能力最大，可以达到 140万吨。
Z Z* Z
分支，如松弛问题有一个最优解xj为非整数值bj，则可以构造两个 分支。 xj≤[bj] xj≥[bj]+1 定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。
MaxZ 2 x1 x 2
例：
x1 x 2 x1 x 2 6 x1 2 x 2 x1 , x 2
3.整数线性规划（ILP）解的特点
ILP是其中LP的一个子问题，所有解也是
LP的可行解，所以如果LP的最优解满足ILP的
整数条件，则已得最优解。
5.2 割平面法和分支定界法
割平面法（Gomory法）
分支定界法
1.割平面法
基本原理：
根据单纯形法求得其松弛问题的最优解，
若不满足整数条件，则由最优解中选取具有最
5/6 -1/6
1
0
X2 δj
θ
8/3
0
0
1
0
-2/3 1/3
0
1
x5 -2/3
-5/6 -5/6
-1/6 -1/6
1/5 0 0 1 0 1/5 -1 1 1 0
CB XB 1 1 0 0 1 1 0 0 X1
0
1 4/5 1 0 0 0
0
0 1 0 0
0
1 -4/5 -6/5 -1/5
X2 16/5 0 x3 4/5 δj X1 X2 X3 x5 x6 -4/5 0
第五章 整数规划
5.1 整数规划数学模型和解的特点 5.2 割平面法和分支定界法 5.3 0-1整数规划
5.4 隐枚举法
5.5 匈牙利法
本章学习要求
熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用 掌握求解0-1规划问题的隐枚举法
掌握求解指派问题的匈牙利法
5.1整数规划数学模型和解的特点
整数规划的类型
设五种产品产量之间有以下逻辑关系：
五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件
如果产品1安排生产，产品2就不能生产
如果产品4生产，产品5必须生产，而且至少生产50件 设5个0－1变量y1，y2，y3，y4，y5
0 产品i不生产 yi （i 1,2,3,4,5） 1 产品 i 生产
背包问题
厂址选择问题
多决策问题
固定费用问题
相互排斥的约束条件
1.背包问题
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种 物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表： 物品1 物品2 重量（公斤/件） 10 41 物品3 20
价值（元/件）
17
72
35
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
大真分数部分的非整分量所在行构造割平面约
束，将其加入原松弛问题中形成一个新的线性
规划求解，逐渐缩小解的范围，又不去掉整数
解，直至找到最优解为整数解结束。
1.割平面法
约束条件构造的条件
1)已获得的不符合整数要求的线性规划最
优解不满足该线性约束条件,从而不可能在以
后的解中出现;
2)凡是整数可行解均满足该线性约束条件, 因而整数最优解始终保留在每次形成的线性规 划中.