005第二章-3奇异函数

2、将e(t)分解为基本函数，分别求解系统对这些基本函
数的响应。
§2.5 信号的时域分解
§2.6 阶跃响应和冲激响应 分解有两种方法： ⑴分解为脉冲函数 §2.7 叠加积分 ⑵分解为阶梯函数 §2.8卷积及其性质
3、根据线性系统的叠加原理将它们相加得rzs(t)
4、全响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)
2 t
例：如图所示函数，求其导数
解：f (t ) e [ (t ) (t 2)] e (t ) e (t 2)
t t t
t t t t f (t ) e (t ) e (t ) e (t 2) e (t 2)

t

d dt
(t )

t

d dt
(t )

t

d dt
r (t )
基本信号－抽样信号
sin t 定义： f (t ) Sa (t ) t
Sa(t)
1
性质：
1、偶函数
2、Sa(0) 1
3、Sa(t ) 0,

0.128
-3
-0.217
-2 -
0
-
2 0.128 3 0.217
§2.4 奇异函数
二、单位冲激函数δ(t)
冲激强度=1 (t )dt 1 定义： t0 (t ) 0

t=0时的幅度？ δ(0)
二、单位冲激函数δ(t)
※冲激函数是对于强度甚大而作用时间甚短的物理量 的理想模型。 ※冲激函数和阶跃函数的关系
d (t ) (t ) dt
系 统
阶跃函数可以用来表示理想化了的开关接 通一信号源的情况。
一、单位阶跃函数ε(t)
利用阶跃信号还可以将分段定义的信号表示为 定义在(-, )上的闭形表达式 例：
2, f (t ) 5t , 10, t0 0<t 2 t2
f (t ) 2 t 5t t t 2 10 t 2
1 t 0 (t ) ( ) d 0 t 0
t
d (t t0 ) (t t0 ) dt
(t t0 ) ( t0 ) d

t
例：如图所示函数，求其导数
0 t f ( t ) e 0 t0 2t0 t2
解：f (t ) e [ (t ) (t 2)] e (t ) e (t 2)
t t t
t t t t f (t ) e (t ) e (t ) e (t 2) e (t 2)
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]

抽样性质
2、


f (t ) (t )dt f 0 f (t ) (t t0 )dt f t0

t



f (t0 ) t t0 f ( ) ( t0 )d f (t0 ) (t t0 ) t t0 0
f (t ) ( )d f (t )
t
t
源自文库
-3 2
-1 0 2 -1
1 2
3 2
5 2
7 2
作业：
2.7 2.8 2.9
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]
2 t
例：如图所示函数，求其导数
▲函数连续的部分用常规求导方法求 ▲函数有跳变的地方
，则有一个冲激函数存在，冲激 方向取决于向上还是向下跳变，冲激的强度则取决于 它的跃变量
单位冲激函数的几个性质：
1、f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
3、特征根为k阶重根 r (t ) (C1 C2 t C3t Ck t
2 k 1
系数c1、c2、….. 由初始条件确定
)e
t
§2.1 引言 时域法求解系统响应之二：叠加积分法
1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t)
§2.4 奇异函数 §2.3零输入响应
§2.4 奇异函数
计算：
1、 sin( t ) (t 2) 6 3


2、 sin t (t t0 )d t


3、 (t 1)2 (2t )
2 4、 t (2 5t ) d t
§2.4 奇异函数
已知信号f(t)变换后的图形，要求画出f(t)
f ( 4 2t )
(2)
1
0
1
2
3
t
t0 1 t0 (at t0 ) a t t a a a
§2.4 奇异函数
三、单位斜变函数R(t)
t t 0 R(t ) ( )d 0 t 0
t
§2.4 奇异函数
四、单位冲激偶δ’(t)
单位冲激偶δ’(t)为一正一负两个冲激
带括号的1标在中间，它不 表示冲激的强度，而是表示 单位冲激函数的导数
§2.4 奇异函数
基本信号—门函数
幅度为1 、宽度为τ的对 称矩形脉冲信号。 记为Gτ(t) ，下标τ表示其 宽度。
门函数1/τGτ(t) 宽度为τ，幅度为1/τ
t
t k , k 为整数
抽样信号
4、


Sa(t )d t
5、Sa() 0
基本信号－符号函数
-1 t 0 定义： sgn(t ) 1 t 0
sgn(t) 1
0 1
sgn(cos t)
t
cos t
-1 0 1 2 3
1
sgn cos t
§2.4 奇异函数
单位阶跃函数 单位冲激函数 单位斜变函数 单位冲激偶 ※这些信号函数在实际中并不存在，是数学上 对某些信号的一种抽象和理想化
※这些函数或其各阶导数都有一个或多个间断 点，在间断点上的导数用一般方法不好确定
基本函数：门函数、抽样函数、符号函数
§2.4 奇异函数
一、单位阶跃函数ε(t)
1 t 0 定义： (t ) 0 t 0
延迟t0的单位阶跃函数
任意一个函数f(t)乘ε(t) 以后，其乘积在阶跃 之前为0，之后则保 持f(t)不变。
一、单位阶跃函数ε(t)
下面的电路系统，t<0时输入端没有输入， 在t＝0时接入了电源E。
K
+ E -
系 统
等效
+ Eε(t) -


单位冲激函数的几个性质：
3、 (t ) (t ) 为偶函数
1 4、 (at ) (t ) , a 0 尺度变换 a
t0 1 t0 (at (at t0t) ? 0) a t a a t a
不论τ取何值，面积总为1保持不变
0
求微分
求微分
0
(t )
§2.4 奇异函数
※冲激偶有下面的性质
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t )
※奇异函数不仅仅是阶跃函数和冲激函数，它们的
若干次积分和若干次导数，也都是奇异函数
关系：
'(t )
复习： §2.3系统的零输入响应
求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)r(t)=0 ，根据特 征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式
1、特征根为n个异实根1 , 2 n r (t ) C1e
t
1t
C2 e
2t
Cn e
n t
2、特征根为一对共轭复 根 1 j , 2 j r(t ) e (C1 cos t C2 sin t )