正弦定理(两课时)
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'
c O b B/
a C
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理
A A C O b B` B b =2R sinB a b c ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC A b
B
O B`
b
C
B
O
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3
C
wenku.baidu.comb sinA sinB＝ ＝1 ， a
B＝90°. A
20 60° B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. b sinA sinB＝ ＝ 2√3 ， 3 a 20 2√3 ∵ > 1， 3
∴ 无解. A C
60°
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
例 2 在ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c. b sinA 解： ∵ sinB＝ a ≈0.8999
∴ B1＝64°，B2＝116°
C
b 40° A B 2
B1
已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角.
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？ （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
则B＝____. 30°
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 3 75°或15° B＝_____________. ，则
小结
1. 正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R sinA sinB sinC
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
C
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角.
正弦定理 定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
正弦定理
正弦定理
引入
引例：
正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距 离，在岸边选定1公里长的基线AB， 并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如 何求A、C两点的距离？
.C .A .B
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a 形是否也有这个 b c c= , c = 关系？ ,c = sin A sinB sinC
a b c sin A = , sinB = , sinC = 1 = 对于一般的三角 c c c
c
B a C
a b c A = = sin A sin B sin C
b
正弦定理
B
'
BAB 90, C B c ' sin C sin B 2R c A 2R sin C
正弦定理
Ｃ b Ａ a Ｂ
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a Ｃ b a Ｂ１ Ａ Ｃ
b
a
Ｂ
Ａ
Ｂ２
a<bsinA 无解
Ｃ b Ａ a
a=bsinA 一解
Ｃ b Ｂ Ａ
bsinA<a<b 两解
a≥b 一解
Ａ为直角或钝角
a
a>b 一解
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中， （1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 2 则a＝√ ____. （2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15. A b 60° C
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
1 b sinA sinB＝ ＝ 2 ， a B＝30°或150°， C 20 A 60° B 20√3
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（1） 在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。 解： ∵ b
c sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
c sin B 10 sin 105 ∴ b= = sin C sin 30
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正弦定理 变式训练：
c O b B/
a C
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理
A A C O b B` B b =2R sinB a b c ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC A b
B
O B`
b
C
B
O
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3
C
wenku.baidu.comb sinA sinB＝ ＝1 ， a
B＝90°. A
20 60° B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. b sinA sinB＝ ＝ 2√3 ， 3 a 20 2√3 ∵ > 1， 3
∴ 无解. A C
60°
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
例 2 在ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c. b sinA 解： ∵ sinB＝ a ≈0.8999
∴ B1＝64°，B2＝116°
C
b 40° A B 2
B1
已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角.
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？ （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
则B＝____. 30°
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 3 75°或15° B＝_____________. ，则
小结
1. 正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R sinA sinB sinC
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
C
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角.
正弦定理 定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
正弦定理
正弦定理
引入
引例：
正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距 离，在岸边选定1公里长的基线AB， 并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如 何求A、C两点的距离？
.C .A .B
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a 形是否也有这个 b c c= , c = 关系？ ,c = sin A sinB sinC
a b c sin A = , sinB = , sinC = 1 = 对于一般的三角 c c c
c
B a C
a b c A = = sin A sin B sin C
b
正弦定理
B
'
BAB 90, C B c ' sin C sin B 2R c A 2R sin C
正弦定理
Ｃ b Ａ a Ｂ
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a Ｃ b a Ｂ１ Ａ Ｃ
b
a
Ｂ
Ａ
Ｂ２
a<bsinA 无解
Ｃ b Ａ a
a=bsinA 一解
Ｃ b Ｂ Ａ
bsinA<a<b 两解
a≥b 一解
Ａ为直角或钝角
a
a>b 一解
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中， （1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 2 则a＝√ ____. （2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15. A b 60° C
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
1 b sinA sinB＝ ＝ 2 ， a B＝30°或150°， C 20 A 60° B 20√3
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（1） 在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。 解： ∵ b
c sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
c sin B 10 sin 105 ∴ b= = sin C sin 30
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正弦定理 变式训练：