晶体学基础(第七章)讲解

7.2 二维空间群
二维空间群国际符号中，第一个英文小写字母p 或c代表格子类型，
接着的第一个记号表示垂直纸面方向投影的对 称点，
第二位记号表示纸面上从左至右（b方向或y轴
方向）的对称元素，
第三位记号则表示的是由上到下（a方向或x轴
方向）的对称元素。
7.2 二维空间群
图中实线代表对称面，虚线代表滑移线g。这里说的 等效点系是指通过二维空间群中所有对称元素联系起 来的一组点的位置。此例中，一般等效点的坐标为： x，y；-x，-y；1/2-x，y；1/2+x，-y (x，y为小于1 的正数)。
7.1 晶体内部的微观对称元素
根据螺旋轴的轴次和螺距，可分为21，31, 32 ,41, 42 , 43 ,61，62 ,63 ,64,65, 共11种螺 旋轴。
宏观对称的对称轴(即s=n的情况)可以视为螺距 为0的同轴次的螺旋轴。
7.1 晶体内部的微观对称元素
螺旋轴据其旋转的方向可有左旋螺旋轴(顺时针，左 手系)和右旋螺旋轴(逆时针，右手系)及中性螺旋轴 (顺、逆时针旋转均可)之分。
首先，在晶体结构中平行于任何一个对称元素 有无穷多和它相同的对称元素；
其次，在晶体结构中出现了一种在晶体外形上 不可能有的对称操作——平移操作，从而使得 晶体内部结构除具有外形上可能出现的那些对 称元素之外，还出现了一些特有的对称元素： 平移轴、螺旋轴和滑移面。
7.1 晶体内部的微观对称元素
平移轴（translation axis）为一直线，图形沿 此直线移动一定距离，可使等同部分重合，亦即 整个图形复原。
滑移面（glide plane），亦 称像移面，是晶体结构中一 假想的平面，当结构沿此平 面反映，并平行此平面移动 一定距离后，整个结构自相 重合。
其辅助几何要素：一个假想 的平面和平行此平面的某一 直线方向。相应的对称操作 为对于此平面的反映和沿此 直线方向平移的联合，平移 的距离称为移距。
7.1 晶体内部的微观对称元素
四方晶系（t），特点是有四次轴，包含4，4mm两
个二维点群；
六方晶系（h），特点是有3或6次轴，包含的二维 点群有3，3m，6和6mm四种。
7.2 二维空间群
7.2 二维空间群
5种布拉维点阵，用mp、op、oc、tp、hp分别表示单
斜原始、正交原始、正交底心、四方原始和六方原 始点阵。
7.2 二维空间群
7.2 二维空间群
（3）根据平移对称性，每一个顶角处格点的周围都 应有4个与原点周围同样排布的点。 （4）在滑移线的作用下，我们又得到处于晶胞中心 区域的4个对称点。比如，p点经滑移操作到q点。至 此，我们已经导出属于这个晶胞的8个一般等效点。
7.2 二维空间群
（5）根据一般等效点的分布，可以找出各种非基本对称要素。 例如，由晶胞中心区域的4个点，可以找到位于1/2，1/2的4次轴。 然后，在这个中心位置4次轴作用下，可以导出其它4次轴和另外 几条垂直于a和垂直于b的滑移线。由原点处4个点和中心区域4个 点的关系，可以导出对角线方向的滑移线（pfp）以及垂直 于对角线方向的对称线。经中心点4次轴的作用，再导出1条对角 线滑移线和3条对称线。最后，从各顶角周围的点的关系，导出 位于晶胞边心的4个2次轴。
如图为NaCl构造在(001) 面上的投影。a-a面、bb面即为滑移面。
若滑移面的移距t=0，就 蜕变为对称面。晶体宏 观的对称面在晶体内部 可能为对称面，也可能 为滑移面。
NaCl在（001）面上的投影
7.1 晶体内部的微观对称元素
滑移面按其移动的方向和移距（也即滑移矢量）
可分为a，b，c，n，d五种：
a，b，c为轴向滑移，滑移矢量分别为a/2，b/2， c/2；
n为对角线滑移，滑移矢量为(a+b)/2，(b+c)/2， (a+c)/2或(a+b+c)/2；
d为金刚石滑移，它的滑移矢量为(a+b)/4， (b+c)/4，(a+c)/4或(a+b+c)/4等，只有在体心
或面心点阵中出现，这时有关对角线的中点也有 一个阵点，所以平移分量仍然是滑移方向点阵平 移点阵周期的一半。
7.1 晶体内部的微观对称元素
7.1 晶体内部的微观对称元素
总结 格子构造中存在的对称要素：
对称轴：L1、L2、L3、L4、L6 倒转轴：Li1（=C）、Li2（=m）、Li3、Li4、Li6 螺旋轴：21、31、32、41、42、43、
61、62、63、64、65
滑移面：a、b、c、n、d 平移轴：十四种移动格子，P(R)、C(A、B)、I 和F
7.2 二维空间群
正方晶系的两种点群与P晶胞结合以后导出两种 点式平面群，即P4和P4mm。前一种平面群中加入 滑移线g和后一种平面群中将一组m换成g，结果 是一样的，产生非点式平面群P4gm。
7.2 二维空间群
一个直观的方法是将g放在垂直于a并通过4次轴的位置，这将导出一个 一般等效点数为16的大晶胞。 可以重新选取一个面积减为1/2的晶胞，并且它才是真正的正方P晶胞， 只是方向比那个大晶胞转了45角，如图中虚线所示。这时，仍然有g 垂直于a，但不通过4次轴，另一组m垂直于a+b，也不通过4次轴。对这 个正确的晶胞重新取基本对称要素，仍可取为4gm，所以平面群符号仍 然是P4gm。从图中可以看到，一开始放进晶胞的那条滑移线现在变到 对角线方向，变成非基本对称要素。
7.1 晶体内部的微观对称元素
螺旋轴(screw axis)为晶体中一假想直线，当晶体 结构围绕此直线旋转一定角度，并平行此直线平移 一定距离后，结构中的每一质点都与其相同的质点 重合。整个结构也自相重合。 辅助几何要素为一根假想的直线及与之平行的直线 方向。相应的对称操作为围绕此直线旋转一定的角 度和沿此直线方向平移的联合。
7.2 二维空间群
（3）晶胞内除格点位置具有4（C4）的对称性外， 还有其它也具有一定的对称环境的特殊位置。它们 具有的对称性称为位置对称性。例如，（1/2，1/2） 点的位置对称性为4（C4），(1/2，0)和（0，1/2） 两个点的位置对称性为2（C2）。这些位置在《国际 表》中用字母a，b，c….，按对称性从高到低表示， 称为乌科夫符号。
7.2 二维空间群
7.2 二维空间群
我们考虑将4（C4）与正方P晶胞集合的情况。 图中所示是正方P晶胞，4个顶角为格点位置。 按照《国际表》中惯用的方法，取左上角格点 位置为原点，取a向下，b向右。我们可以采取 以下步骤推导：（1）在左上角原点附近取一 个一般点，坐标为xy，如图中a点。
（2）将4次对称轴置于原点，于是在4次轴作 用下，得到3个新的点，如图中b，c，d点，其 坐标为-yx，-x-y，y-x。
本章先介绍晶体内部的微观对称元素， 然后引入二维空间群的概念，最后再着 重讨论空间群及其相关问题。
7.1 晶体内部的微观对称元素
晶体外形是有限图形，它的对称是宏观有 限图形的对称；
晶体内部结构可以作为无限图形来对待， 它的对称属于微观无限图形的对称。
这两者之间既互相联系又互有区别。
7.1 晶体内部的微观对称元素
空间群是一个非常重要的概念。为了更清 楚地理解空间群的内涵，先从二维空间群 谈起。 对一个三维的晶体结构而言，它在某一方 向的投影，便是一个二维的结构。此外， 晶体结构的表面也是一个二维结构。 二维空间群可以视为三维空间群的一个特 殊情况。
7.2 二维空间群
所谓二维空间群，就是指平面内图像所有对称元素的 集合，也称平面群。 在二维平面，对称心和倒转轴显然已经不可能存在， 所以对称元素只剩下6个，即1，2，3，4，6和对称面
7.2 二维空间群
（3）根据平移对称性各顶角格点周围也应有同样排 布的点，它们是由上述4个点加a，加b和加（a+b） 而得到。例如，b点坐标是（1-y，x），c 点坐标 是（1-x，1-y）， d点坐标是（y，1-x），f点坐标 是（-x，1-y）。
7.2 二维空间群
（4）根据点的分布找出新增加的对称要素。例如， 由a，b ，c ，d 关系可以找出位于晶胞中心位置 的4次轴，如图中的i；由a，f关系可以找出位于晶 胞边心位置的2次轴，如图中m。
7.2 二维空间群
（1）我们在晶胞的原点处放一个4次轴，在垂直于a 的方向放一个通过1/4，0的滑移线，在垂直于对角线 方向放一个通过1/4，1/4点的反映线。这些，是从国 际符号P4gm得知的基本对称要素。 （2）在原点附近取一个一般点xy，如图中的p点，于 是在4次轴的作用下，可以得到围绕原点的4个点。
晶体结构沿着空间格子中的任意一条行列移动一 个或若干个结点间距，可使每一质点与其相同的 质点重合。因此，空间格子中的任一行列就是代 表平移对称的平移轴。
7.1 晶体内部的微观对称元素
空间格子即为晶体内部结构在三维空间呈平移对 称规律的几何图形。 在平移这一对称变化中，能够使图形复原的最小 平移距离，称为平移轴的移距。 任何晶体结构中的任意行列方向皆是平移轴。
（5）最后，由已知对称要素的相互作用，找出其它 所应有的4次轴和2次轴。
7.2 二维空间群
几点说明：
（1）每个格点周围有4个点，这是点群4（C4） 的等效点系，它所代表的是一个具有点群4（C4） 对称性的物理实体，也是对于于一个格点的基 元。因此，这里讨论的是晶体结构，而不是单 纯的平面点阵。
（2）在晶胞内有4个点，这是平面群P4的一般 等效点系，是对应于晶胞的物理实体。平面群 一般等效点数g和点群一般等效点数h之间的关 系是g=nh，此处n是晶胞的格点数。
（4）对于用乌科夫符号区别开来的各个位置，都 有这样的关系，位置点群的阶乘以晶胞此种位置的 个数等于平面群一般等效点数。实际上，这正是 g=nh所表达的内容，因为h是位置点群的阶，n是位 置个数(晶胞的格点数)。(群的阶是指群的元素个 数, 点群一般等效点数)
7.2 二维空间群
7.2 二维空间群
m。
利用点群的推导方法，能推导的二维点群只有10种，
分别为1，2，4，6，1m，2mm，3m，4mm和6mm。
7.2 二维空间群
将10个平面点群划分为4个晶系：
单斜晶系（m），其特点是没有高次轴和对称面，
所以只包含1和2两个二维点群；
正交晶系（o），其特点是有对称面但没有高次轴， 故正交晶系含有1m和2mm两个二维点群；
移面（a，b，c滑移面），但反映是相对于直线，
而非平面。
7.2 二维空间群
如果平面群中的基本对称要素为交于一点 的点对称操作，则称为点式平面群。
基本对称要素中有非点式对称要素，则为 非点式平面群。在平面群中非点式对称操 作只有滑移操作一种，相关的对称要素为 滑移线。
7.2 二维空间群
在平面周期性图形中所有对称元素可能的组合，就是二维空 间群。二维空间群只有17种，其序号、国际符号及其相应的 二维点群、晶系和点阵等情况参见下表 。
第七章 晶体内部结构的微观 结构和空间群
7.1 晶体内部的微观对称元素 7.2 二维空间群 7.3 空间群
前面已讨论了晶体的基本性质和晶体 外形等一系列宏观几何规律。晶体所 以具有这些特征的根本原因在于它内 部的格子构造，只有用格子构造理论 才能统一地解释它们。
晶体内部的微观对称有异于其宏观对称， 只有在对晶体宏观和微观对称了解的基 础之上，才能完整描述晶体的结构。
7.1 晶体内部的微观对称元素
螺旋轴的国际符号一般写为ns，其中n为轴次，s为 小于n的正整数。
螺旋轴的轴次只可能为1，2，3，4，6。
旋转后所平移的矢量 (移动的距离称为螺距)为 (s/n)·t，t为与平移矢量相平行的单位矢量，称
为基矢。
7.1 晶体内部的微观对称元素
7.1 晶体内部的微观对称元素
二维周期性图形的对称操作有三类：第一类是点 对称操作，只可能是与平面垂直的旋转轴（1，2， 3，4，6次轴）以及过这些轴的对称面m，它们的 组合就是上述的10种平面点群；
第二类是平移，用来描述图形的周期性。
第三类是复合操作，即相对于某直线的反映以及 沿此线平移半个周期这两种操作。这种复合操作 凭借的直线称为滑移线g，它类似于上述的轴向滑
一般规定：对ns而言，若O<s<n2，采用右手系(包括 31，42，61，62)，螺距r=(sn)t；若n2<s<n，则采 用左手系(包括32，43，64，65)，此时螺距r=(1-sn) t;至于s=n2，为中性螺旋轴，此Leabharlann Baidu左手和右手系等 效。
7.1 晶体内部的微观对称元素
7.1 晶体内部的微观对称元素