正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在统计学中非常重要，但听起来可能有点儿复杂的话题——两个正态总体方差的假设检验。
别担心，我们会用通俗易懂的方式，把这个问题掰开了揉碎了讲清楚。
你可能会问，“这跟我有什么关系呢？”其实，这些统计方法不仅仅是数学家的专属，很多实际问题都可以通过这些方法得到解决。
好比你买衣服时，会比较不同品牌的裤子，看哪个更适合你，其实也是在做“检验”。
所以，搞懂这个概念，绝对会让你在数据分析的世界里如鱼得水。
我们从最基本的概念开始聊起，循序渐进，一步一步深入。
2. 正态总体和方差2.1 正态总体是什么？首先，让我们搞清楚什么是“正态总体”。
简单来说，正态总体就是数据分布呈现钟形曲线的情况。
在生活中，很多自然现象都符合这种分布，比如人的身高、体重、考试分数等等。
正态分布的特点就是数据集中在中间，向两边渐渐减少，就像一个标准的山峰。
想象一下你在玩飞盘，飞盘从空中下落时的轨迹，就是一个典型的钟形曲线。
2.2 方差的作用接下来，我们来谈谈方差。
方差是用来衡量数据的离散程度的，换句话说，就是数据离中间值的远近程度。
方差大的话，数据就会分布得比较散，方差小的话，数据就比较集中。
好比你家里那只爱乱跑的猫，方差大，它就到处跑；而如果它安安静静地待在一个角落，那就是方差小了。
3. 假设检验的基本概念3.1 什么是假设检验？好，接下来进入正题：假设检验。
假设检验就像是在做一个“真心话大冒险”，我们要通过数据来验证某个“假设”是否成立。
比如你和朋友讨论哪家餐馆的菜最好，你们就会提出一个假设，然后用实际的体验来检验这个假设。
统计学中的假设检验也是类似的，只不过我们用的是数字和公式来做这个验证。
3.2 两个正态总体方差的假设检验现在，我们要做的是两个正态总体方差的假设检验。
这就像是比较两个篮球队的实力，看看哪个队更强。
假设我们有两个正态分布的数据集，我们的任务就是判断这两个数据集的方差是否相同。
正态总体方差的假设检验
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
8.3 正态总体方差的假设检验v2Up20140631有推导
25 9200 46 44.314 , 5000
所以拒绝 H 0 , 认为这批电池的寿命的波动性较
以往的有显著的变化.
二、两个正态总体方差的假设检验
设 X 1 , X 2 ,, X n1 为来自正态总体 N ( 1 , 1 )的
2
样本, 设 Y1 ,Y2 ,,Yn1 为来自正态总体 N ( 2 , 2 )的
要使 P{ H 0 为真, 拒绝 H 0 } , 只需令
( n 1) S 2 ( n 1) k P 2 2 . 2 2 0 0
因
( n 1) S
2
2
~ ( n 1),
2
( n 1)k
0
2
( n 1)
2
2 1 / 2
2
( n 1)
2 0.99
( 25) 11.52,
0 5000, 由(3.1)拒绝域为 ( n 1) s 2 ( n 1) s 2 44.31. 11.52, 或 2 2 0 0
由观察值s 9200得
2
( n 1) s
2
0
2
于是得拒绝域为:
( n 1) s
2
0
2
2 1 / 2
( n 1) 或
( n 1) s
2
0
2
2 / 2 ( n 1).
下面来求单边检验问题的拒绝域 ( 设显著水平 为 )
H0 : 0 ,
2 2
H1 : 0 ,
2 2
因H 0中的全部 都比H1中的 要小，
正态总体均值、方差的检验法见下表
正态总体方差的假设检验
正态总体方差的假设检验一、引言假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断关于总体参数的某种陈述是否成立。
在实际应用中，我们经常需要对总体方差进行假设检验，以确定样本数据是否能够代表总体的特征。
二、正态总体方差的假设检验在正态总体方差的假设检验中，我们通常使用方差比检验来判断总体方差是否有显著差异。
具体而言，我们设立原假设H0和备择假设H1，然后利用样本数据进行检验。
1. 原假设和备择假设原假设H0通常为总体方差等于某个特定值，记为σ^2 = σ0^2；备择假设H1通常为总体方差不等于该特定值，记为σ^2 ≠ σ0^2。
2. 检验统计量在正态总体方差的假设检验中，我们使用F检验统计量来进行判断。
F检验统计量的计算公式为F = S^2 / σ0^2，其中S^2为样本方差。
3. 拒绝域和接受域在给定显著性水平α的情况下，我们可以根据F检验统计量的分布来确定拒绝域和接受域。
一般来说，当F检验统计量落在拒绝域内时，我们拒绝原假设；当F检验统计量落在接受域内时，我们接受原假设。
4. F分布表的使用由于F检验统计量的分布是F分布，因此我们可以利用F分布表来确定拒绝域和接受域的临界值。
F分布表中给出了不同自由度和显著性水平下的临界值。
5. 计算步骤进行正态总体方差的假设检验时，我们需要按照以下步骤进行计算：(1) 提出原假设H0和备择假设H1；(2) 选择适当的显著性水平α；(3) 根据样本数据计算样本方差S^2；(4) 根据样本量n和显著性水平α确定F分布的自由度；(5) 根据F分布表找到对应的临界值；(6) 比较计算得到的F检验统计量与临界值，判断是否拒绝原假设。
三、实例分析为了更好地理解正态总体方差的假设检验，我们以某电子产品的寿命为例进行实例分析。
假设我们对该电子产品的寿命进行了100次观测，得到样本方差为S^2 = 200。
现在我们想要判断该电子产品的寿命是否满足某个特定的标准。
我们设立原假设H0：电子产品的寿命方差等于标准值，备择假设H1：电子产品的寿命方差不等于标准值。
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
一个正态总体期望与方差的假设检验
W { 2 2.7 or 2 19.023}
而这里
2 / 2 (n
1)
2
2 1
/
2
(n
1)
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设,认为该批金
属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
H0
:
2
2 0
;
H1
:
2
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
二、方差的假设检验－ 2检验
一、期望值的假设检验
1、方差
2
2为已知时对期望值
0
的检验—
u
检验
设样本 X1, X 2, , X n 来自正态总体 N (, 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行.
u
0 t (n 1)
(c) H1 : 0
W {t t1 (n 1)}
W {t t1 (n 1)}
W {t t (n 1)}
2 （备择假设、拒绝域和显著性水平）
例3 电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放 电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,
2未知, 由抽样分布定理知,若用样本标准差 s 代替 , U
统计量变为 t 统计量,
即
t
x 0
~ t(n 1)
s/ n
(8.2.2)
相应于上述三对假设,拒绝域见下图.
/2
/2
t
t (n 1) 0 t1 (n 1)
正态总体的均值和方差的假设检验
12
n1
2 2
n2
~ N (0,1)
给定α 0.05,
(当H 0成立时)
由 Φ(u0.025 ) 0.975, 查表可得 uα / 2 u0.025 1.96
(3)拒绝域: W1={(x1, x2, ∙∙∙, xn, y1, y2, ∙∙∙, yn)||u| u /2=1.96},
3. μ为未知，关于σ 2的检验（χ 2检验法）
设X 1 , X 2 , , X n是来自正态总体 N ( μ, σ 2 )的一样本，
其中μ, σ 2未知，检验水平为 α，检验σ 2步骤为：
1 假设H0 : 2 0 2 , H1: 2 0 2 ;
X1 , X 2 ,, X n为来自总体X的样本，
2 2 2 2 X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ N ( μ2 , σ 2 ), σ1 60, σ 2 80,问
两台机床生产的产品重量有无显著差异( =0.05)？ 解 本题归结为检验假设
(1) H0 : 1 2 , H1: 1 2 ,
(2)取检验的统计量为 U ( X Y ) /
解 (1)
本题归结为检验假设
H 0 : μ 800,
H1 : μ 800;
40，n 9 X 800 (2)选择统计量 U 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).
(3)给定显著性水平 = 0.05,由正态分布函数表 查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为 W1={(x1 , x2 , ∙∙∙ , xn) :|u| u 0.025 =1.96 }； (4) 由样本值计算U的观测值为
x 0 s / n
正态总体方差的假设检验
解 依题意需检验假设
由于 未知，故检验统计量
H0
： 2
2 0
82
，H1 ： 2
82
．
2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1) ．
2 0
已知 n 8， s2 93.268 ，代入公式得
2
(8 1) 93.268 82
10.201 2
．
ห้องสมุดไป่ตู้
又显著性水平 0.05 ，查表得
2 1
/2
(n
1)
概率论与数理统计
假设检验
正态总体方差的假设检验
1.1 单个正态总体方差的检验
设总体 X ~ N( ， 2 ) ， ， 2 均未知，X 1 ，X2 ， ，Xn 为来自总体 X 的样本，现检验假设
H0
： 2
2 0
，H1
： 2
2 0
，
其中
2 0
为已知常数．
由于 S 2
是 2 的无偏估计，当 H0
为真时，比值 s2
解 依题意需检验假设
H0
：12
2 2
，H1 ：12
2 2
．
由于 1 ，2 未知，故检验统计量
F
S12 S22
~
F (m 1，n 1) ．
经计算得 s12 0.885 7 ，s22 0.828 6 ，故检验统计量的观测值为
F
s12 s22
0.885 7 0.828 6
1.07 ．
假设检验
又 m 1 7，n 1 7 ， 0.05 ，查表得
2 1
/
2
(n
1)]
[ 2
2/2 (n 1)]} ，
则 H0 的拒绝域为
正态总体均值和方差的假设检验
求检验统计量为 2 (n -1)S 2 8 s2 0.08s2
σ02
100
当H0为真时，χ2服从自由度为8的χ2分布
对于α＝0.05，
查表得
2 0.975
(8)
2.180,
2 0.025
(8)
17.535
则拒绝域为
W {0.08s2 2.180 U0.08s2 17.535}
即
W {s 5.220 Us 14.805}
每当测得s的值小于5.220或大于14.805时， 就认为机床的精度发生了变化。应引起注意， 并分析原因。
当方差σ12σ22已知时，用U检验法，构造 统计量
U (X Y)
2 1
2 2
n1 n2
取显著性水平α
P{| U | u /2}
得拒绝域为 | U | u /2
二、正态总体方差的检验
1、单个总体的情况—χ2检验
设总体N(， 2), ， 2 未知，x1，L ，xn 是
来自总体X的样本，现要检验假设（显著性
(n
1)S
2 0
2
2/2 (n 1)
2
,
则p{ 2 χ12 (n 1) 2 χ2 (n 1)} α
2
2
得显著性水平为的拒绝域为
2
2 1
/
2
(n
1)或
2
2 / 2 (n 1)。
例3 由以往管理生产过程的大量资料表明某自 动机床产品的某个尺寸X服从正态分布，其标 准差为σ0＝10.00毫米，并且把σ0＝10.00毫米 定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定 性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随 机地抽验9件产品，测量结果为x1,x2,…x9。试 制定一种规则，以便能根据样本标准差s的值 判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著 性水平为α＝0.05）？ 解 依题意，所考虑的产品指标X服从正态
正态总体方差的假设检验
(4). 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假
设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.
(5). 两类错误及记号
真实情况
所作
(未知)
接受 H0
H0 为真
正确
H0 不真
犯第II类错误
决策 拒绝 H0
犯第I类错误 正确
F0.975 (9,
9) 0.248, 取统计量F
sx2 sy2
2.67 2.12, 1.21
0.248 F 2.12 4.03,
故接受
H0,
认为
2 x
y2.
再验证 x y , 假设 H0 : x y , H1 : x y .
取统计量
犯第一类错误的概率为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率,
则犯第二类错误的概率往往增大.
若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.
(6). 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考 虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.
(7). 双边备择假设与双边假设检验
在 H0 : 0 和 H1 : 0 中, 备 择 假 设H1 表 示 可 能 大 于0 , 也 可 能 小 于0 , 称 为 双 边 备 择 假 设, 形 如 H0 : 0 , H1 : 0 的 假 设 检 验 称 为 双 边 假设 检 验.
(8). 右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验.
分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
解 依题意, 两总体 X 和Y 分别服从正态分布
N (1, 2 )和N (2 , 2 ), 1, 2, 2均为未知,
正态总体方差的假设检验.ppt
下(单位:牛顿): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286,
298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力
的方差为(20?0.05)
解 按题意要检验 H0 : 2 20, H1 : 2 20,
n 9, x 287.89, s2 20.36,
02
2 / 2(n 1).
下面来求单边检验问题的拒绝域 (设显著水平
为 )
H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
,
的拒绝域. 因H0中的全部 2都比H1中的 2要小，
当H1为真时，S 2 的观察值 s2 往往偏大,
因此拒绝域的形式为: s2 k.
此处 k 的值由下式确定:
的形式：
(n 1)S 2
02
k1
或
(n
1)
2 0
S
2
k2
,
此处 k1 和 k2 的值由下式确定:
P{H0 为真, 拒绝 H0 }
P
2 0
(
n
1)
2 0
S
2
k1
(n
1)
2 0
S
2
k2 .
为了计算方便, 习惯上取
(n 1)S 2
P{ H0
为真,
拒绝 H0
}
P
2
2 0
{
S
2
k}
(n 1)S 2 (n 1)k
第二节单正态总体的假设检验
P{|T |k }
查 t 分布表得 kt / 2t0.025(8) 2.306,从而拒绝域
为 | t | 2.306. (4) 因为 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036,| t | 0.56 2.036, s/ n
故应接受 H0 , 即以为包装机工作正常.
由此即得拒绝域为
u
x
0
/n
u / 2 ,
即
W (,u / 2 ) (u / 2 ,).
根据一次抽样后得到旳样本观察值 x1, x2 ,, xn 计 算出 U旳观察值 u, 若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H0 ,
即以为总体均值与0 有明显差别；
若 u u / 2 , 则接受原假设 H0 , 即以为总体均值与
S/ n 故选用 T 作为检验统计量，记其观察值 t. 因为 X
是 旳无偏估计量，S 2是 2 旳无偏估计量, 当 H0
成立时，t 不应太大，当 H1 成立时，t 有偏大旳趋
势, 故拒绝域形式为
t x 0 k
s/ n
（ k 待定）.
对于给定旳明显性水平 , 查分布表得
k t / 2(n 1), 使 P{T t / 2(n 1)} ,
使
P{ 2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
2
/
2
(
n
1)}
,
由此即得拒绝域为
2
n1
2 0
s
2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
n1
2 0
s
2
2 1
正态总体方差的假设检验
正态总体方差的假设检验引言在统计学中，假设检验是一种强有力的工具，用于对总体参数的推断。
在本文中，我们将关注正态总体方差的假设检验。
正态总体方差的假设检验是用来判断总体方差是否符合某个特定的值。
正态总体方差正态总体是一个满足正态分布的总体。
正态分布是统计学中最常用的概率分布之一，它的概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
正态分布的两个关键参数是均值和方差。
方差衡量了数据集中值的离散程度。
方差较大意味着数据点更分散，而方差较小表示数据点更集中。
在假设检验中，我们想要判断一个样本的方差是否与总体方差相等。
假设检验的步骤正态总体方差的假设检验通常包括以下步骤：1.建立假设：根据问题的背景和要求，建立原假设和备择假设。
原假设通常被标记为H0，备择假设通常被标记为Ha。
–原假设 (H0)：总体方差等于某个特定值。
–备择假设 (Ha)：总体方差不等于某个特定值。
2.选择显著性水平：显著性水平(α) 是我们用来衡量在原假设为真时，我们会拒绝原假设的概率。
通常，α的值选择为0.05或0.01。
3.计算统计量：根据样本数据计算一个与总体方差有关的统计量。
常用的统计量是样本方差。
4.确定拒绝域：根据假设和显著性水平，确定一个拒绝域，当统计量的值落入该拒绝域时拒绝原假设。
–单尾检验时，拒绝域位于分布的一个尾部。
–双尾检验时，拒绝域位于分布的两个尾部。
5.计算决策统计量：根据拒绝域的位置和统计量的值，做出决策。
如果统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则接受原假设。
6.得出结论：根据决策统计量，得出对原假设的结论。
例子为了更好地理解正态总体方差的假设检验，我们来看一个例子。
假设我们研究一种新型药物对患者的治疗效果，我们希望判断该药物的剂量对患者反应时间的方差是否有显著影响。
我们收集了两组患者的数据，每组有30个患者。
第一组患者服用低剂量药物，第二组服用高剂量药物。
我们要判断高剂量药物是否导致患者的反应时间方差较大。
1.建立假设：–原假设 (H0)：高剂量药物和低剂量药物的反应时间方差相等。
正态总体均值与方差的假设检验
, 其中 Sw2
(n1
1)
S* 1n1
2
(n2
1)
S* 2 n2
2
.
n1 n2 2
当H0为真时,根据第二章§2.3定理2.9知, 定理2.9
t ~ t(n1 n2 2).
其拒绝域旳形式为
|x y|
W {x: sw
1
1
t (n1 n2 2)},
2
n1 n2
第一类错误旳概率为：
P{H0 为真拒绝
问全部住户消费数据旳总体方差为0.3是否可信?
解 按题意要检验 H0 : 2 0.3, H1 : 2 0.3, n 9, x 5.91, sn*2 6.05 / 9,
查表得
2 0.975
(8)
2.18,
2 0.025
(8)
17.5,
于是
(n 1)sn*2
02
6.05 20.17 17.5, 0.3
此处 k 的值由下式确定 :
P12＝
2 2
S* 2 1n1
S* 2 2 n2
k1
P12＝
2 2
S* 2 1n1
S* 2 2 n2
k2
要使 P{H0 为真拒绝 H0} , 为了计算
简单，令
P
S* 2 1n1
2 1
S* 2 2n
22
22 ,
H1:
2 1
22
,
当 H0 为真时,
E
(
S* 1n1
2
)
12
2 2
E
(
S* 1n2
2
),
当 H1 为真时,
E( S12 )
2 1
2 2
概率统计课件8-3正态总体方差的假设检验
2 y 820, s2 11784 108.6 2
因为已假设方差相等，故用 T 检验。
由 T
998 820 51.52 4 108.62 4 1 1 8 5 5
3.31 2.306 t0.025 8
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产 量有明显差异。
2、均值未知的方差单边检验
2 2 问题： X ~ N X , X , Y ~ N Y , Y
2 2 未知 X , Y , 检验假设 H0 : X Y
2 2 2 SX / X Y2 S X 由第六章 定理知 F* 2 2 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) SY / Y X SY 则对于给定的 , 可查表确定临界值 F , 使得P{F* F } 2 2 2 SX Y SX 若假设H0成立，则 F 2 2 2 F* SY X SY 从而P{F F } P{F* F }
由样本算得s 16.03 2 8 16 . 03 2 2 20.56 从而得统计量 的样本观测值为 2 10
另由 分布表可查得 (n 1) 0.05 (8) 15.5
2 2
因20.56>15.5,小概率事件发生，故拒绝原假设， 认为每袋食盐的净重标准差超过10克，所以该 天包装机工作不够正常。
假定新生儿体重服从正态分布，问新生儿（女）体重的方差 是否冬季的比夏季的小(α=0.05)? 解：本题为两正态总体均值未知时方差的单边检验问题。
2 2 设X , Y分别表示冬 、 夏季的新生女婴体重 , X ~ N ( X , X );Y ~ N (Y , Y )
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验哎呀，这可是个大问题啊！今天我们就来聊聊两个正态总体方差的假设检验。
你说，这东西听着挺高深的，其实也就是一种统计方法，用来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。
那我们怎么检验呢？别着急，我慢慢给你讲。
我们得明确什么是正态分布。
正态分布是一种特殊的概率分布，它的形状像一个钟形，左右对称，中间最高点，两边逐渐下降。
听起来好像很神奇的样子，但是其实它在我们日常生活中无处不在。
比如说，你把一本书随机翻到任意一页，那么这本书下一页的内容出现的概率就是一个正态分布。
再比如说，你掷一枚硬币，正面和反面的概率也是正态分布。
所以，正态分布是我们生活中的一个常见现象。
那么，正态分布有什么用呢？其实它在很多领域都有广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等等。
因为正态分布在这些领域中都有很多特殊性质，比如中心极限定理、方差分析等等。
而今天我们要讨论的问题，就是基于这些特殊性质来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。
好了，废话不多说了，我们开始进入正题。
我们需要明确两个正态分布总体的概念。
所谓两个正态分布总体，就是有两个独立的正态分布随机变量构成的总体。
这两个随机变量可以是任何实数，只要它们的分布都是正态分布就可以。
接下来，我们需要了解如何计算两个正态分布总体的方差。
方差是一个非常重要的概念，它表示一个随机变量离其均值的平均距离。
对于正态分布来说，方差就是标准差，它是衡量正态分布离散程度的一个重要指标。
计算正态分布总体的方差并不难，只需要用到一些数学公式就可以了。
具体来说，我们可以用以下公式来计算：$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i \mu)^2$其中，$s^2$表示方差，$n$表示样本容量，$x_i$表示第$i$个样本的数据点，$\mu$表示均值。
这个公式告诉我们，只要知道样本容量和每个数据点与均值的距离平方之和，就可以计算出方差了。
那么，有了方差以后，我们就可以进行假设检验了。
正态总体方差的假设检验PPT课件
方差 s2=0.1975, x3.86 . 问该车床生产的产品是
否达到所要求的精度? (0.05)
解 要检 H 0 :验 2 0 .1 ,假 H 1 :2 设 0 .1 ,
n25, 0 2.0(52)43.6 41, 5
0
0
此处 k1和k2的值由下:式确定
P {H 0为 , 拒 真 H 0 绝 }
P 0 2 (n 1 0 2 )S 2 k 1 (n 1 0 2 )S 2 k 2 .
为了计算方便, 习惯上取
P02 (n 102)S2k1 2, P02 (n 102)S2k2 2,
P 2 0 2 (n 1 2 )S 2 (n 0 1 2 )k . (因2 为 0 2 )
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需 P 2 0 2 令 (n 1 2 )S 2(n 0 1 2 )k .
因(为 n 12)S2~2(n1),所(以 n01 2)k 2(n1),
因(n 为 0 1 2 )s22 4 0 0 ..1 19 7 4.5 4 736.41,5
所以拒H0绝 , 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度.
二、两个总体 N (1 , 1 2 )N ,(2 , 2 2 )的情况
(0.02)
解 要检 H 0 :2 验 5,0 假 H 1 0 :2 0 设 5,00
n26, 0.0,2 02 500,0
2 /2 (n 1 )0 2 .0(2 1) 5 4.3 4,14
1 2 /2 (n 1 )0 2 .9(2 9) 5 1.5 1 ,24
拒绝域为:
两个正态总体均值差和方差的假设检验
方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。
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(n 1)s2
2 0
25 9200 5000
46
44.314 ,
所以拒绝 H0,
即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有 显著的变化.
2019/5/30
7
例2 某维尼龙厂生产的维尼龙的纤度服从正态 分布, 方差为 0.048². 某日随机抽取5根纤维, 测得 其纤度为: 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44. 问该日生产
差为20? ( 0.05)
解 按题意要检验 H0 : 2 20, H1 : 2 20,
n 9, x 287.89, s2 20.36,
查表得Biblioteka 2 0.975(8)
2.18,
2 0.025
(8)
17.5,
于是 2
故接受
(n 1)s2
2 0
8 20.36 20
0.711
或
2
2
/
2
(n
1)
2 0.05
(4)
9.488.
n 4, 算得 s2 0.00778,
于是
2
(n
1)s2
2 0
4 0.00778 0.0482 13.507
9.488.
故拒绝 H0 , 即认为该日生产的维尼龙纤度的方差
与往日有显著变化.
2019/5/30
9
例3 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布, 按
规定产品尺寸的方差 2不得超过0.1, 为检验该自动
车床的工作精度, 随机的取 25 件产品, 测得样本方 差 s2 = 0.1975, x 3.86 . 问该车床生产的产品是否
达到所要求的精度? ( 0.05)
解 要检验假设 H0 : 2 0.1, H1 : 2 0.1,
批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 方差 s2= 9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?
( 0.02)
解 要检验假设 H0 : 2 5000, H1 : 2 5000,
(1) 要求检验假设:
H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
,
其中 0 为已知常数. 设显著水平为 ,
由于 S 2 是 2 的无偏估计, 当 H0 为真时,
比值
s2
2 0
在1附近摆动,
不应过分大于1或过分小于1,
2019/5/30
2
根据第6章定理6.1,
当 H0 为真时,
取
2
(n
的维尼龙纤度的方差有无显著变化?（ = 0.1）
解 按题意，要检验假设
H0 : 2 0.0482; H1 : 2 0.0482.
采用 2 检验
取检验统计量
2
(n 1)S2
2 0
,
2019/5/30
8
则拒绝域为
2
2 1
/
2
(
n
1)
2 0.95
(4)
8.14,
2.18
8.14 17.5,
H0, 认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20.
2019/5/30
13
同理左边检验问题: H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
,
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
12 (n 1).
上述检验法称为 2 检验法.
2019/5/30
5
例1 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以
来服从方差 2= 5000 (小时2) 的正态分布, 现有一
1)
2 0
拒绝域的形式
(n S2 (n
1)S 2
02
~
2(n
作为统计量,
1)S 2
2 0
k1
或
1),
(n 1)S
2 0
2
k2
,
此处 k1 和 k2 的值由下式确定 :
P{H0 为真, 拒绝 H0}
P 02
(n
1)S 2
2 0
k1
11
小结
单个正态总体方差的假设检验:
2 检验法
2019/5/30
12
某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布, 现随机抽取9根, 检查其折断力, 测得数据如下(单 位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方
n 26,
采用 2
检验
0.02,
2 0
5000,
取检验统计量 2
(n
1)S2
2 0
,
2019/5/30
6
则拒绝域为
2
2 1
/
2
(n
1)
2 0.99
(
25)
11.524,
或
2
2 / 2 (n
1)
2 0.01
(25)
44.314,
因为 2
拒绝域为:
2019/5/30
2
(n 1)s2
02
12 / 2(n 1)
或
2
(n 1)s2
02
2 / 2(n 1).
4
(2) 单边检验问题
右边检验问题:
H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
,
拒绝域为
2
(n 1)s2
02
2 (n 1).
采用 2 检验法,
则拒绝域为
2
2 0.05
(24)
36.415,
因为
2
(n 1)s2
02
24 0.1975 0.1
47.4
36.415,
所以拒绝 H0, 即认为该车床生产的产品没有达到
所2019要/5/30求的精度.
10
8.3.2 两个正态总体方差的假设检验
2019/5/30
§8.3 正态总体方差的假设检验
单个正态总体方差的假设检验 两个正态总体方差的假设检验 小结 练习
2019/5/30
1
8.3.1 单个正态总体方差的假设检验
仅讨论 未知时, 关于 2 的检验
设总体 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
(n
1)S 2
02
k2
.
2019/5/30
3
为了计算方便, 习惯上取
P
2 0
(n 1)S 2
02
k1
2
,
P
0
2
(
n
1)
2 0
S
2
k2
2
,
故得 k1 12 / 2(n 1), k2 2 / 2(n 1).