第1章 二维半导体体系(1)

(6) 表面势的空间分布 1, 实际形状 ( 见图, 实线 ) 2, 简化模型: 三角势阱 (见图, 需线 ) 以实际势阱的平均电场 为三角势阱的电场 (7) Z 方向能量 Ez 的量子化 ( 简化势阱模型 -- 三角势阱 ) 由薛定格方程
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[- ( ћ² / 2m* ) ∂²/∂Z² + e Z ]φ(z) = E φ(z)
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= EoC1 - EF < EoC1 - ED [ 答案: EF = ED 半离化 ] 离化能 EoC1 - ED 为 10 meV 量级 ( ― o ‖ 代表体内 ) 则有 ≪ EC, 可忽略 = [ ( ћ² /2m* e ) (e / 2π Ns e ) ] 1/3 = 4 nm 即刚好满足量子极限的Ns ) E1 2 ( ћ² / 2m*Zo² ) ( 量子极限处的 E 值 ) 60 meV ≪ EC 3) 由(7)式 Zo知, Zo = ( ћ² / 2m* e )1/3 由(4)式 得 由(8)式 En得 ( 其中，Ns = No = 1 1012 / cm2
五, 量子极限电子数 No 的估算 将 Ei 和 Z0 的值代入 (2) 式可得 No = ( m*/πћ² ) ( E1 – E0 )
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代入(8)式 E1得
代入(7)式 Zo得
= ( m*/πћ² )(ћ² / 2 m* Zo² ) = 1/ ( 2πZo² )
= ( 1/2π) ( 2 m* e / ћ² )2/3 ( 为 GaAs 的介电常数 ）
NS ≤ No
( NS 为表面电子数 ) ------------------- (3)
*
[ 思考题: 如何求 No ? ]
三, 能量本征值 Ei 的数值估计 ( 一种特殊的方法 )
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(1) 三角势阱近似 沟道中的最大电场 max = 4πNS e / ( 根据高斯定理, 其中 为 GaAs 的介电常数 ) 沟道中的平均电场取 max / 2 = 2πNS e / ------ (4) 沟道中的势能 U eZ (2) Z方向的薛定格方程 [ - ( ћ² / 2m* ) ∂²/∂Z² + e Z ]φ(z) = E φ(z) (3) 由量纲估计本征值 取长度单位为Zo，则 Z = Z´Zo，上式变为 [- ( ћ² / 2m*Zo² ) ∂²/∂ Z´² + e ZoZ´]φ( z´) = Eφ( z´) --- (5) 选择 Zo 使该式左边两项系数相等，即 ћ² / 2m*Zo² = e Zo ------------------------------ (6) 则 Zo = ( ћ² / 2m* e )1/3 ------------------------------ (7) *
(四) 量子极限 ( 未加磁场 )
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一，量子极限的定义和意义
(1) 定义：载流子只占据第一子带 ( n = 0 )。 <见图> (2) 意义：使问题简化 ( 只涉及一个二维子带 ) 。 二，量子极限的状态数和电子容量 ( 单位面积 ) (1) 量子极限下的能态密度 ( 序言中讲过 ) dN / dExy = m* / 2πћ² ( h = 2πћ, 未考虑自旋态 ) (2) E1 和 E0 之间的状态数 ( dN / dExy ) ΔE = ( m*/2πћ² ) ( E1 – E0 ) -- ------- (1) (3) 量子极限时的电子数 ( 量子极限电子数 ) No = ( m*/πћ² ) ( E1 – E0 ) (4) 量子极限条件的限制 ------------ ----------- (2)
En ( n +1) ћ² / 2m*Zo² -------- (8)
1, 第一子带 ( n = 0 ) Z 方向的能量 E0 由(8) 式得 Eo ћ ² / 2m*Zo² ----------------- (9) 动能 E0 动 = E0 - E0势 = E0 ћ ² / 2m*Zo² 动能 E0 动 = ћ² kz² / 2m* kz = 1 / Zo ----------------------- (10) *
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垂直磁场 ( XY ) 方向能量 Exy 是量子化的 ( 朗道能级 ) 。 平行磁场 ( Z ) 方向能量 Ez 是自由的。 总能量 E = Exy + Ez = ( n + ½ ) ћωc + ћ² k² / 2m* 其中, ћωc = ( qћ/m* ) Bz , m* 为载流子的有效质量。 (2) 自旋分裂 ΔES = ± gμB Bz / 2, ( 其中μB = qћ / 2m*为玻尔磁子 ) g 为朗德因子, 亦称 g 因子, 不同材料料有不同值.
可解得 其中 由此可知: En = ( e ћ )2/3 ( 2mz ) –1/3 Sn Sn = [ ( 3 / 2 ) ( n + 3 / 4 ) ] 2/3 ( 见图 ) n En , En
En , En
*
(8) 红外吸收表面光电导 ( 上述表面沟道模型的实验证明 ) 1, 实验条件: 样品: P - Si ( 100 ) , Nd = 6 1010 / cm2, MOS 结构, n 沟道 温度: T = 1.5 K 2, 扫场 ( 改变栅压 ) 固定光频 ( 固定入射光波长 ) 硅表面反型层红外光电导随栅压 Vg 的变化曲线 ( 见图 ) 随着栅压的增加 ( 增大 ), 一系列吸收峰依次出现: [ 提问: 为什么要如此低的温度 ]
用(6) 式去除 (4) 两边, 得
( - ∂²/∂Z´² )φ( z´) + Z´φ( z´)= n’ φ( z´)
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其中，n’ = E / ( ћ² / 2m*Zo² )为无量纲的本征值, 应取某些
简单的数.
故本征能量的值 四, Zo 的物理意义
( n’ = n + 1 = 1, 2, 3 ------- )
E0动 = 0
4, 将 Z 方向的电子运动视为驻波 电子由 Z = 0 处运动到 Z = Z0 处, 动能全变成势能而返回
故将量子化了的 Z 方向的电子运动视为驻波
kz = 1 / , kz = 1 / Z0 ( 见图 ) 波长 = Z0 ( 与上页末结果一致 ) --------------- (10) *
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0 – 5, 0 – 4, 0 – 3, 0 – 2, 0 – 1 ( 解释见二图 )
3, 扫频 ( 改变光频 ) 固定 0 – 1 跃迁进行分析
随着光频的下降, 0 – 1 吸收峰向低场方向移动. (解释见图) *
二，磁量子化 ( 磁场沿 Z 方向 ) (1) 载流子在磁场中的量子化 ( 序言中讲过 )
(二) 半导体表面反型层的量子化效应
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一, 表面沟道的量子化作用 ( 垂直表面的方向为 Z 方向 )
[提问: 什么方向的能量是自由的? 什么方向的能量是量子化的?] (1) Z方向能量量子化 Ez = En <见图> -------------- (1)
(2) XY方向的运动是自由的 ( 二维电子气 )
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NDo = 2π No2 e2 / = 3 10 17 / cm3
当 有 ND < Ndo = 3 10 17 / cm3 时有 NS < No = 1 10 12 / cm3 ( 见图 )
三，表面反型层中载流子的完全量子化
E = Ez + Exy + ΔES = En + ( n + ½ ) ћωC ± gμB Bz / 2 自旋分裂 表面沟道量子化 朗道能级
垂直磁场使二维子带为朗道能级且自旋分裂. <见图>
*
(三) 调制掺杂异质结的量子化效应 ( GaAs /n-AlGaAs为例 ) 7 一, 异质结样品结构 <见图> 二，异质结量子阱 <见图> (1) 未掺杂 (2) 均匀掺杂
六, 量子极限条件的满足
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(1) 薄层 AlGaAs 情况
1, 全耗尽: NS = ND d, d 与 ND 分别为AlGaAs 层的厚度和掺杂浓度
2, 通常 ND = 1 10 18 / cm3
当 d < No / ND = 1 10 12 / 1 10 18 = 1 10 -6 (cm) 时， 量子极限条件便得到满足 (2) 厚层 AlGaAs 情况 ( = 10-8 m = 10 nm ) [ 提问: 界面电子转移何时停止? ] [ 答案: 费米能级 EF 相平 ]
如前所述, 根据高斯定理有 = 2π Ns e / 则 No = ( 1/2π) ( 4πm* e² / ћ² ) 2/3 Ns 2/3 -------- (11)
No = No ( Ns )
当电子刚好填到量子极限时, 即 由(11)式可得 Ns = No ( 见图 ) ---------------- (12) * No = ( 2 /π ) ( m*e ² / ћ² )² = 1.05 10 12 / cm ²
高等半导体物理
第一章 二维半导体体系 (1)
第一节 表面量子化效应
（一）前言
一，（新）现象 —— 解释 —— （新）发现 （新）现象：自然现象：彩虹，日蚀等
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人造现象（人为地创造条件使之产生） 二，量子霍尔效应
(1) 观察效应的条件
( 量子化: 表面反型层和异质结沟道中, 加垂直磁场 ) (2) 解释效应所需的物理基础 *
1, 部分耗尽: a) NS 由势垒宽度 d’ 和掺杂浓度 ND 决定;
( 见图 ) b) 势垒宽度 d’ 和势垒高度 相关 ( 见后 ). ( 下面证明 ) 2, = EC - - E1 EC
1)
EC = 300 meV
*
2) 低温下, EF 靠近 ED
[ 提问: 为什么? ]
(3) 调制掺杂
三，调制掺杂异质结界面 [ 思考题: p 型AlGaAs 将如何? ] [ 提问: 界面电荷、电场方向、能带弯曲将如何? ] <见图> 四, 异质结界面沟道中载流子的完全量子化
(1) (2) 五, (1) (2) (3) (4)
沟道中的表面势使Z方向能量量子化; 垂直磁场使XY方向能量量子化 ( 朗道能级 ) 。 调制掺杂异质结界面沟道的特点 沟道所在的GaAs层未掺杂, 故无耗尽和反型可言; 沟道中的电子仅来源于掺杂的n-AlGaAs层, 它决定EF位置; 沟道中无离化杂质, 空间电荷完全由注入的电子确定; 沟道中无杂质, 载流子迁移率高, 可用于高速微波器件. *
2, Z = 0 处, 势能 E0 势 = e Z = 0
11 3, Z = Z0 处 势能 E0势 = e Z0
由 (7) 式
再由 (7) 式 动能
= e(ћ² / 2 m* e ) 1/3 = ( e² ² ћ² / 2 m* )1/3
= ћ² / 2m* Zo² [ 由(9)式知 E0势 = E0 ]
4)
因此有
= EC - - E1 EC 300 meV
= 2π Ns e /
3, = e d’ ( 三角势阱, d’ 为耗尽层宽度 ) 4, Ns = ND d’,
= 2π Ns2 e2 / Байду номын сангаасND
*
5, 刚好满足量子极限条件时 ( NS = No ) 的杂质浓度
Exy = h² kxy² / 2mxy ( = αkxy²) (3) 准二维子带 <见图> ( 二维晶格，线度为L )
E = Ez + Exy = En + h² kxy ² / 2mxy
(4) 二维子带的态密度 kx = mx /L, ky = my /L ( mx , my = 0, ±1, ± 2 ---- ) 状态密度 ( 单位面积、单位能量间隔中的状态数, 包含自旋 ) g (E) = 2 L-² dN / dE = 2 L-² ( dN / dk ) / ( dE / dk ) 由 (1)式和绪论中(8),(9) 式得 = 4 mxy / h² ( 为常数 ) ---- (2) (5) 沟道中的状态密度分布 g (E) ~ E <见图> *