《随机变量及其分布》PPT课件

个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
右连续函数。 [确定待定参数] 、F(x)是单调不减函数,即当x1<x2时有 F(x1) ≤F(x2) 。 、P{a<X≤b}=F(b)-F(a) [分布函数计算概率]
§1、随机变量及其分布函数
随机变量就是“取值随机会而定”的变量，正如 随机事件是“发生与否随机会而定”的事件。机会表 现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果， 到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。
例如，掷一枚骰子出现的点数X就是一个随机 变量，它可以取1,2,3,4,5,6的六个值，到底取哪个值 要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验 结果的函数概率。论与数理统计
引例1 设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面
H与反面T的出现情况。
样本空间为Ω={H，T}，现在我们将试验的每个
结果(样本点)与一个实数建立联系,即相当于在Ω上定
义一个函数:
X
X
()
0, 1,
T, H.
这样一来,“出现正面H”的事件为{X=1}, “出现反面
T”的事件为{X=0},且易知
1
P{X 概率论与数理统计 1}
概率论与数理统计
例:在试验E:“掷一枚骰子,观察出现的点数”中,
如果定义随机变量
X=k(ω=“出现k点”,k=1,2,3,4,5,6),
则事件“出现偶数点”就可表示
为
{X∈{2,4,6}},
事件“出现3点”就可表示为 {X=3}.
显然,{X∈{1,3,5}}表示“出现奇数点”,
{X<1}为不可能事件,{X∈R}为必然事件,等等.
P{X
0}
. 2
引例2 设随机试验E：测试灯泡寿命(小时). 样本空间为Ω ={t|t≥0}，现在我们将试验的灯泡寿 命记为X,令
X X () t, t
则X是定义在样本空间为Ω ={t|t≥0}上的函数，其值域
为|RX 0,且取值具有随机性.
事件“灯炮寿命在1000～2500小时”就可表示 为
用随机变量来描述随机事件
在随机试验E的样本空间Ω上定义了一个随机变量 后，就可以利用它来表示随机事件。
一般,对于任意实数集L,随机变量X在L上取值,记
为{X∈L},它表示事件{ω|X(ω)∈L},即一切使随机变量X 取值在L上的样本点所构成的事件,从而
P{X L} P{ | X () L}
可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概 念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。
函数F(x)为一个随机变量的分布函数的充要条件
是F(x)满足上概率述论与前数理4统条计 。
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a). (2) P{X a} 1 F(a). (3) P{X a} F(a 0).
数 点”就可以表示为{X∈L}={ω|X(ω) ∈L},其中 L={2,4,6}；事件“出现3点”可表示为{X=3}； {X<1}为不肯能事件；{X∈R }为必然事件；
实例2 若随机变量X记为“连续射击，直至命中时的 射击次数”，则X可能值1，2，3，…
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2、连续型随机变量——取值充满一个区间
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F( x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函
数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
实例1 随变量X为“灯泡的寿命“，则X的取
值
范围为0,
;
实例2 随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误 差”，X的取值范围为(a,b)的任意值。
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定义域
二、分布函数
为全体
实数
定义2 设X为随机变量,x为任意实数,函数
F(x) P{X x}
称为随机变量X分布函数。
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分布函数F(x)是随机事件{X≤x}的概率,它是一
{100 X 2500}
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一、随机变量
定义1 设随机试验E的样本空间为Ω ={ω},称定 义在Ω上单值实值函数
X=X(ω) (ω ∈Ω) 为随机变量,记为r.v.X.(random variable X)。
随机变量是定义在样本空间Ω上的单值实值函数, 且以一定的概率随机地取每个值.