第九节 逐次超松弛法(SOR方法)

a ii
(
i1 j1
a
i
jx
(k1)
j
n
a
ji1
i
jx
(k) j
b
i)
( i 1,2,
,n)
k 1, 2, 3,
称为松弛法，=1为Gauss—Seidel 迭代法。
松弛法也可写成矩阵形式
x(k1) ( D L)1[(1 )D U]x(k) ( D L)1b
其迭代矩阵为
B ( D L)1[(1 )D U]
( i 1,2, ,n)
即
Hale Waihona Puke Baidu
x(k1) i
xi(k )
aii
[bi
i 1
aij
x
( j
k
1)
j 1
n
aij
x
( j
k
)
]
ji
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第三章 第九节
即
x(k1) i
xi(k )
aii
[bi
i 1
aij
x
( j
k
1)
j 1
n
aij
x
( j
k
)
]
ji
或改写为
x
(k1) i
(
1
)
x
(k) i
n
n
( aii )1[ (1 )aii ] (1 )n
i1
i1
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第三章 第九节
det(B ) det[(D L)1] det[(1 )D U ]
n
n
( aii )1[ (1 )aii ] (1 )n
i 1
i 1
1>[(B )]n >det (B ) =(1-)n
所以| 1-|<1，即 0< <2。
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x2k 0 0.955788 1.20059 1.19989 1.20005 1.2 …
x3k 0 1.24815 1.29918 1.30021 1.3
1.3 …
对 w 取其它值,计算结果满足误差
x(k ) x* 105
的迭代次数如下
w 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 k 163 77 49 34 26 20 15 12 9 k 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 w 6 6 8 10 13 17 22 31 51 105
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第三章 第九节
定理1 1) 解方程组 Ax=b 的松弛法收敛的必要条
件为 0< <2； 2) 若 A 为正定矩阵， 0< <2，则方程组
Ax=b 的松弛法收敛。
证 A =D-L-U ，B =(D-L)-1[(1-)D +U] ，
设松弛法收敛，则 (B )<1，
det(B ) det[(D L)1] det[(1 )D U ]
第三章 第九节
第九节 逐次超松弛法(SOR方法)
逐次超松驰法是高斯——塞德尔迭代方法的一种加速 方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
建立迭代格式
x
(k1) i
1 a ii
(
i1
a
i
j
x
(k1) j
j1
n
aij
ji1
x
(k) j
b
i
)
x
(k1) i
x
(k) i
(
x
(k1) i
x
( i
k
))
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第三章 第九节
例 1 用逐次超松弛法法求解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
解 取 x0 x10, x20, x30 T 0,0,0T , 迭代公式
x1k1 x1k w 0.1(7.2 10 x1k x2k 2 x3k )
x2k
1
x2k
w 0.1(8.3
10 x1k1
x2k
2 x3k )
x3k
1
x3k
w 0.2(4.2
x1 k 1
x2 k 1
5 x3k )
取w =1.055计算结果为
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第三章 第九节
k0
1
2
3
4
5…
x1k 0 0.7596 1.08202 1.10088 1.09998 1.1 …