第6章 价值分析基础：贴现

例：若一套住房在扣除各项费用后，明年房东会有
￥12,000元的房租收入。这项现金流预计会以每
年2%的速度增长，若能肯定这种增长率会永远持 续下去，且有关利率是6%，房东由房屋可得到的 现金流的现值是多少？
解：￥12,000/(0.06-0.02)=￥300,000 各期房租现值 加总的意义？
永续增长年金现值公式的要点（一） ——分子 The Numerator
C 1 r

C
1 r
2

C
1 r
3

C
1 r
t
?
仅收了t期利 息的金边债券
普通年金
后付年金，在各期期末收付的年金
0 1 2 3 4 5
(1+0.1)0=1.0
(1+0.1)1=1.1 (1+0.1)2=1.21
(1+0.1)3=1.331
(1+0.1)4=1.464
$1
P $1 1 . 10
0 P=?
1
$ 0 . 909
现金流量图——双期贴现
Two-period discounting
Interest rate = 10% $1
P $1
1
. 10
2
0
1
2
$ 0 . 826
P=?
2 现值系数与现值表
r= t 1 1% .990 .980 … … 2% .980 .961 … 3% .971 .943

现实世界中，现金的流入流出是随机的、并
几乎是连续不断的

在公式中，我们假定现金流的支取是有规律
的，这样可以节约很多计算时间，因而是合
理的，应用中只要不忘这是一个“假定”
3 年金 Annuity

持续一段时期的等额现金流，最常见的金融工具，如：


养老金的发放
抵押贷款的等额还款 租赁费缴纳
PV
年金现值计算举例
例：广药足球队雇佣了一名现役国脚，合约承诺每 年酬金￥50万，在年末支付，共计4年。若该名球 员有每年16%的收益机会，该合约目前的价值是 多少？
0 1 PV =? 2 3 4 ￥50万/年
￥200万合约的现值
解1：分期单独贴现 PV = ￥500,000(.862+.743+.641+.552) = ￥1,399,000
现值（PV）
将来的一笔收付款折合为现在的价值。
PV FV (1 i )
n
FV ( P / F , i , n )
复利现值系数 1/(1+ i ) n
计作（P/F，i，n)
计算现值的过程也叫做贴现，其中最重要的是确定贴现率。

在复利计算下： 现值＝终值×复利现值系数 终值＝现值×复利终值系数 在同期限及同利率下: 复利现值系数与复利终值系数互为倒数关系。
——利率和增长率 The Interest Rate & The Growth
Rate

利率r一定大于增长率g，该公式才有意义 gr，分母趋于无穷小，现值趋于无穷大 g>r，公式无意义 (grow broke?)
永续增长年金现值公式的要点（三）
——时间的假定 The Timing Assumption
Risk-adjusted discount rate
Risk-free interest rate 对机会成本 的补偿 Inflation premium 对购买力下降的 补偿 Risk premium 对所担风险的补 偿随投资风险增 大而增加
风险调整贴现率 = 无风险利率+通胀率+风险溢价
Expected return 风险资产的预期 收益率
永续年金的现值随着利率 的下调而增加； 随利率上升而下降
2 永续增长年金 Growing Perpetuity

一系列无止境的按固定比率增长的现金流，
如

房租（通胀）

普通股股利（企业业绩增长）
永续增长年金的现金流量图
C(1+g)n-1 C C(1+g) 0 1 PV=? 2 3 … n … ∞
(1 r ) 1
n
r (1 r )
n
PV
C r
n
∞
永续年金现值计算举例
例：有一笔永续年金，每年付给投资者￥100，
（1）若有关利率为8%，该永续年金现值多少？
（2）若利率降为6%，其现值又如何？ 解：（1）PV=￥100/0.08=￥1,250 （2）PV=￥100/0.06=￥1,666.67

其现值应相当于这样一笔资金，若投资者现在拥有它，
就与拥有该金边债券无异（每年都有￥C的消费能力而无
须触动本金）

设这笔资金值为X，则X· r=C，X=C/r，即
PV
C 1 r

C
1 r
2

C
1 r
3

C r
结果亦可用数学 方法证明
永续年金
无限期的定额支付年金
PV C
永续增长年金现值的简化公式
PV
C 1 r

C 1 g
1 r
2

C 1 g
2
1 r
3

C 1 g
n1
1 r
n

C r g
C - 现在开始一期金现值计算举例

分子是现在起一期后那期 的现金流
例：R公司正准备付给股东每股￥3的股息。投资者预计
以后每年股息会以6%的速度增长。适用利率是11%，
目前公司股价应是多少？
解： PV 股票 价值
=
￥3 当年 股息
+
￥3.18/(.11-.06) = ￥66.60 一年后所有 所有股息 股息现值 现值
永续增长年金现值公式的要点（二）
C r
1 金边债券2的现值： PV t r 1 r C
年金现值的简化公式
请自行推导年金终值公式（年付
息￥C，为期t年，1年后起付）
1 PV t r r 1 r C C 1 1 1 C t r 1 r r

1 r
t

t 复利终值（futurevalue,FV） FV C 0 1 r 公式：
复利终值（future value, compound value）公式：
FV PV ( 1 i )
n n
( 1 i ) －－复利终值系数，以
（ F / P , i , n ) 表示

多期以后开始的年金 指第一次支付发生在第2期或第3期以后的年金
递延年金
递延年金的终值计算方法：
FV=A×(F/A，i，n)
递延年金的现值计算

方法1： 是把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值， 然后再将此现值调整到第一期初。 方法2：


是假设递延期中也进行支付，先求出(m+n)期的年金现值， 然后，扣除实际并未支付的递延期(m)的年金现值，即可 得出最终结果。
呢？
（银行利率2%）
两种解法
Compound value VS present value
备选售价 年
0 1 2 3
￥100,000
￥107,219
解1：终值法——若接受报价1，将￥10万存入银行，则3年后价 值
￥100,000(1.02)3 = 10,000(1.061) = ￥106,100<￥107,219
合计：6.1051
普通年金终值
FV A A ( 1 i ) A ( 1 i ) A ( 1 i )
2 n 1
A
(1 i ) 1
n
i
(1 i) 1
n
i
普通年金终值系数 记作：（F/A, i , n）
年金现值简化公式的推导
现在
期/年末 金边债券1 金边债券2 年金
￥223,840 ￥1,622,840 179,654 1,302,494
3 4
802,494 430,894
128,399 68,943
930,894 499,836
500,000 500,000
账户在最后一次提款前尚缺 ￥164是由于四舍五入误差
年金把戏 (一) ——递延年金 Deferred annuity
6.2 简化公式

一系列有规律的现金流的复利与贴现计算
简化公式

永续年金


永续增长年金
年金 增长年金
1 永续年金 Perpetuity

一系列没有止境的等额现金流，如


优先股股利
金边债券债息
金边债券（consols） 英国的一种政府公债， 最初发行于1751年， 没有到期日，永不还本， 对持有人承诺无限期支 付固定的年利息
终值系数
两种解法（续）
Compound value VS present value
解2：现值法——需存入银行多少钱才可在3年后得到￥107,219? 现值系数 PV = ￥107,219/(1.02)3 = ￥107,219(0.942) = ￥101,000 PV×(1.02)3 = ￥107,219
第六章 价值分析基础：贴现
Discounting
内容

6.1 贴现：贴现的计算 ，贴现率，等值性。 6.2 简化公式：一系列有规律的现金流的复利与 贴现计算。 永续年金，永续增长年金。 年金，增长年金。
6.1 贴现 Discounting 1 贴现的计算

确定未来金额之现在价值的 过程 与复利计算 (compounding)正好相反 现值（present value,PV） PV C t 公式：
风险调整贴现率的另一种表示
前两项和相当于政府债 券的预期收益率/银行存 款利率
风险调整贴现率 = 政府债券利率+风险溢价
复利与贴现计算举例
例1：老张正考虑出售一片空地。昨天，甲提出以10 万元作一次性征地补偿，他正准备接受；又有一 个人乙报价107,219元，但3年后付款。已知两买主 皆有诚意，且均有支付能力，他应选择哪个报价
解2：年金现值简化公式
1 1 PV ￥ 500 , 000 . 16 1 . 16 . 16 ￥ 1 , 399 , 000
4
4 ￥ 500 , 000 A . 16
2.798
￥1,399,000 = ￥500,000×4
年 1 2 期初本金 ￥1,399,000 1,122,840 16%的利息 期末本金 提款 ￥500,000 500,000
要弄清确 切时间
例：D先生在六年后开始的四年之内，每年会收到￥500，若利 率为10%，该年金的现值多少？
大括号内为 年金现值系数 Annuity factor
A
t r
普通年金现值
普通年金现值
PV A 1 i A (1 i )
n 2

A (1 i )
n
A
( 1 i) 1 i( 1 i)
n
(1 i) 1
n
i(1 i)
n
普通年金现值系数 记作：（P/A, i , n）
永续年金的现金流量图
假定有一种金边债券，无限期每年支付债息￥C， 若年利率为r，你愿为之出多高价格？
￥C / 年
0
1 PV=？
2
3
… …
∞
永续年金的现值

金边债券的现值是未来所有债息收入现值的加总：
PV
C 1 r

C
1 r
2

C
1 r
3
?
永续年金现值的简化公式


基本假设： 再投资风险为零 不同期限的投资收益率相同，即收益 率曲线是水平的。


如果你能投资赚取10%年收益，且得到了 一年后收入$1的承诺，这项承诺今天价值 多少？ 如果$1是要等两年后才能得到呢？
现金流量图——单期贴现
Single-period discounting
Interest rate = 10%
0
1 C
2 C
3 C
… …
t C
t+1 C C
t+2 C C
… … …
C
C
C
…
C
金边债券1为一个正常的从第1期开始付息的金边债券； 金边债券2则从t+1期开始付息。
年金现值简化公式的推导（续）

一个t期内每期收到￥C的年金现值，正好等于金边债券1
的现值减去金边债券2的现值：
金边债券1的现值： PV
∴3年后收入的现值超过 ￥100,000，选择报价2
解法不同，结论相同。但投资 分析更常用第二种方法——现 值分析法
4 等值性 Equivalence

现值金额与未来现金流
量在价值上完全相等

若今天你有现值金额，
只需按贴现率投资，就
可以将它转换成未来的 现金流量
￥101,000 = ￥107,219
现值系数
present value factor
… …
2
…
1 1 r
t
3 贴现率 Discount Rate

投资者资金的机会成本

亦即投资者的预期收益率 常被用于就风险来调整投资的现金流量，所以又称 风险调整贴现率 (risk-adjusted discount rate)
风险调整贴现率的构成