几种重要连续型分布

x 0, x 0.
源自文库
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
1 2
e

0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
概率密度 函数图形
f ( x)

a

o
b
x
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o

b

x
设 X ~ U (a, b) , 其概率密度为
1 , f ( x) b a 0,
e
dy



e
第四节
几种重要的连续型分布
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x ) , 存在
非负函数 , 使对于任意实数 x 有 F ( x ) 密度函数, 简称概率密度.
f ( x)
x
f (t ) d t ,
3
2 20 1 . 3 27
0
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其 中 0 为 常 数 ,则 称 X 服 从 参 数 为 的指数 分 布.
e x , f ( x) 0,
易验证

x 0, x 0.
0
f ( x )dx
e x dx 1
E ( X ) xf ( x ) d x



0
x e x d x
1 dx .
xe
x 0
e
0

x
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
先说明 f ( x )是 密 度 。 显 然 f ( x) 0 I


f ( x )dx


1 e 2
( x ) 2 2
2
t
x
dx
y2 2



1 e 2
t2 2
dt
1 而I 2
2



e
x2 2
dx


1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F ( 2000) 1 F (1000)
e
1 2
0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
3. 正态分布(或高斯分布)
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).


0
x e
2
x
dx
1

2
2
1
2

1
2 2

1
2

.
1 和 1 .
指数分布的期望和方差 分别为


2
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
f ( x)d x ;
(4) 若 f ( x ) 在点 x 处连续, 则有 F ( x ) f ( x ).
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b).
2
( b a )2 . 12
例1 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有
2 Y ~ b 3, . 3
2
3 2 P{Y 2} 2 3
2 3 2 1 3 3 3
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概率
S


x2
f ( x)d x 1
f ( x)d x
S1
1
o
x1
x1 x 2
S1
x
性质
(1) f ( x ) 0 ;
( 2)
f ( x ) d x 1;
x2 x1

( 3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
例2 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
=1/2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
解
X 的分布函数为
1 1 e 2000x , F ( x) 0,

a x b, 其他.
b
1 xd x 则有 E ( X ) xf ( x ) d x aba 1 (a b ). 2
结论
均匀分布的数学期望位于区间的中点.
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
b 2
2
1 a b x dx a ba 2