[高中数学]化归思想专题

1. 函数、方程与不等式之间的转化

例1已知二次函数f （x ）=ax 2+2x －2a －1,其中x =2sin θ（0<θ≤6

7π）．若二次方程f （x ）=0恰有两个不相等的实根x 1和x 2,求实数a 的取值范围．

例2已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数,

(1)求k 的值； (2)若方程f (x )＝m 有解,求m 的取值范围．

例3已知关于x 的不等式1

42

60x

x k k +•-+<

（1） 若不等式的解集为2{1log 3}x x <<,求实数k 的值 （2） 若不等式的解集为2{1log 3}x x <<的子集,求k 的取值范围 （3） 若不等式对一切21log 3x <<都成立,求k 的取值范围

2 空间与平面的转化

例4 如图2所示,图（a ）为大小可变化的三棱锥P －ABC ．

（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开,假定展开图刚好是一个直角梯形P 1P 2P 3A,如图（b ）所示．求证：侧棱PB ⊥AC ；

图2

（2）由（1）的条件和结论,若三棱锥中P A =AC ,PB =2,求侧面P AC 与底面ABC 所成角的余弦值；

（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开,假定其展开图刚好是一个三角形P 1P 2P 3,如图（c ）所示．已知P 1P 3=P 2P 3,P 1P 2=2a ,若三棱锥相对棱PB 与AC 间的距离为d ,求此三棱锥的体积．

例5 如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上,AB 为圆O 的直径,圆柱1OO 的表面积为

20 ,OA=2,∠AOP=120°

（1） 求异面直线1A B 与AP 所成的角（用反三角函数表示） （2） 求点A 到平面1A PB 的距离

O1

B1

O

B

A1

A

P

例6 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

A 、 直线

B 、椭圆

C 、抛物线

D 、双曲线

4. 数与形的转化

例10 讨论方程()2|23|x x x a a R --=+∈的实数解的个数.

例11已知a ∈R ,求函数y ＝(a －sin x )(a －cos x )的最小值．

例12从双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左焦点F 引圆222

x y a +=的切线l ,切点为T,

且l 交双曲线的右支于点P,若点M 是线段FP 的中点,O 为坐标原点,求|OM|-|TM|的值

5. 正与反的转化

例13已知三条抛物线：y ＝x 2＋4ax －4a ＋3,y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2,y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一

条与x 轴相交,求实数a 的取值范围．

3

1O a B ＝200OA a OC ＋,且A 、100 B. 101 C.200 D.201

的解集是M,则对任意实常数k ,总有（M,0∉M ； D.2∉M,0∈M

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20

n m T <对所有n N *

∈都成立的最

小正整数m.

14. 已知向量()1,1m =,向量n 与向量m 夹角为34

π

,且1m n ⋅=-, (1)求向量n ；

(2)若向量n 与向量()1,0q =的夹角为

2π,向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝

⎭,其中,A C

为ABC ∆的内角,且,,A B C 依次成等差数列,试求n p +的取值范围.

【自我测试】

1. 满足{1,2}{1,2,3,4}A ⊆⊆的集合A 的个数为____________

2. 方程1

cos 2

x =

的10个解的和中不小于0的最小值是__________ 3. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2

2

4x y +=上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1,则实数c 的取值范围是________

4. 某小组共10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率 为_________

5. 已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8,则长半轴长的最小值是________

6. 已知函数21

3

x y x -=

+,则该函数图像的对称轴所在的直线方程是_____________ 7. 如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2,那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______

8. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直,SA ＝5,SB ＝4,SC ＝3,D 为AB 的中点,E 为AC 的中点,则四棱锥S-BCED 的体积为_________

9. sin ,[,]2y x x π

π=∈的反函数为 （ ）

A arcsin ,[0,1]y x x π=-∈

B arcsin ,[0,1]y x x π=+∈

C arccos ,[0,1]y x x π=+∈

D arccos ,[0,1]y x x π=-∈

10. 等比数列{}n a 中,11n n a a q -=,则{}n a 为递增数列的充要条件是（ ）

A 10,1a q >>或10,01a q <<<

B 10,1a q <>或10,01a q ><<

C 10,1a q >=或10,01a q <<<

D 以上都不对

11. 方程21x ax -=有唯一解,则a 属于 （ ）

A 0

B ∅

C (,0)(0,)-∞⋃+∞

D R

12. lim n →∞

[12+++…n －121+++-…()n ] (n ∈N)的值为（ ） A. 22

B. 2

C. 0

D. 1 13. 对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q,如果点(,0)P a 满足|PQ|≥| a |,则a 的取值范围是

A.（-∞,0)

B.(-∞,2］

C.［0,2］

D.(0,2)

14. 若x 满足arccos arcsin x x >,则x 的范围是（ ）

A 2[1,]2-

B （-1,1）

C 2[1,)2

- D ∅ 15. 正六棱锥P —ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为 ( )

A ．1∶1

B ．1∶2

C ．2∶1

D ．3∶2

16. 函数f(x)对任意的,m n R ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-,并且当x>0时,f(x)>1

（1）求证：f(x)在R 上是增函数

（2）若f(3)=4,解不等式2

(5)2f a a +-<