江苏省沭阳县潼阳中学苏教版高中数学选修2-2课件：222间接证明(共23张PPT)
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假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 2b1＝3, 2b2＝3，两式相除得 2b1b2 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立，从而原命题得证.
证明
反思与感悟
用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在 性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法 证其唯一性.
解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c 中至少有一个偶数”.
12345
解析 答案
4.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.
证明 ∵2x＝3，∴x＝32，
∴方程2x＝3至少有一个实根.
假设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则22xx21＝＝33，，
① ②
由①－②得，2(x1－x2)＝0， ∴x1＝x2， 这与x1≠x2矛盾.假设不成立 ∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.
跟踪训练2 已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b 的平面只有一个．
证明 如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α
和β，
在直线a上取点A，过直线b和点A确定一个平面γ，且平面γ与平面α，β分
别交于过点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
思考
王戎的论述运用了什么论证方法？ 答案 实质运用反证法的思想.
答案
梳理
(1)间接证明 ①定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直 接证明的方法通常称为间接证明. ②常用方法：反证法. (2)反证法 ①基本过程：反证法证明时，要从 否定结论 开始，经过 正确推理 ， 导致逻辑矛盾，从而达到 新的否定(即肯定原命题).
假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.
本课结束
证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， ∴a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， 即 a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
证明
反思与感悟
用反证法证题时，如果要证明的命题的反面情况只有一种，那么只要 将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有 的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
类型二 用反证法证明唯一性命题 例2 求证：方程2x＝3有且只有一个根. 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23. ∴方程2x＝3有根.
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证明
1.反证法证明的3个步骤
规律与方法
(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出
矛盾结果；
(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
2.反证法中的矛盾
反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.
证明
反思与感悟
(1)用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为 否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用 反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成等差数列. 求证： a， b， c不成等差数列.
故假设不成立，原结论成立．
.
证明
当堂训练
1.“a＜b”的反面应是_a_＝__b_或__a_＞__b_.
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答案
2. 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 三 角 形 的 内 角 至 多 有 一 个 钝 角 ” 时 ， 假 设 _至__少__有__两__个__钝__角__.
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答案
3.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”， 正确的假设为_a_，__b_，__c_中__至__少__有__一__个__偶__数__.
第2章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 间接证明
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 间接证明 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子， 独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王 戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早 被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
②证题步骤：反设——假设 命题的结论 不成立，即假定原结论的反面 为真； 归谬——从 反设 和 已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得 出矛盾结果； 存真——由 矛盾结果 ，断定 反设 不真，从而肯定原结论成立.
题型探究
类型一 用反证法证明否定性命题
例1 设{an}是公比为q的等比数列，q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.
则 2b1＝3, 2b2＝3，两式相除得 2b1b2 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立，从而原命题得证.
证明
反思与感悟
用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在 性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法 证其唯一性.
解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c 中至少有一个偶数”.
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解析 答案
4.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.
证明 ∵2x＝3，∴x＝32，
∴方程2x＝3至少有一个实根.
假设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则22xx21＝＝33，，
① ②
由①－②得，2(x1－x2)＝0， ∴x1＝x2， 这与x1≠x2矛盾.假设不成立 ∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.
跟踪训练2 已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b 的平面只有一个．
证明 如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α
和β，
在直线a上取点A，过直线b和点A确定一个平面γ，且平面γ与平面α，β分
别交于过点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
思考
王戎的论述运用了什么论证方法？ 答案 实质运用反证法的思想.
答案
梳理
(1)间接证明 ①定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直 接证明的方法通常称为间接证明. ②常用方法：反证法. (2)反证法 ①基本过程：反证法证明时，要从 否定结论 开始，经过 正确推理 ， 导致逻辑矛盾，从而达到 新的否定(即肯定原命题).
假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.
本课结束
证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， ∴a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， 即 a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
证明
反思与感悟
用反证法证题时，如果要证明的命题的反面情况只有一种，那么只要 将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有 的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
类型二 用反证法证明唯一性命题 例2 求证：方程2x＝3有且只有一个根. 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23. ∴方程2x＝3有根.
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证明
1.反证法证明的3个步骤
规律与方法
(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出
矛盾结果；
(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
2.反证法中的矛盾
反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.
证明
反思与感悟
(1)用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为 否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用 反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成等差数列. 求证： a， b， c不成等差数列.
故假设不成立，原结论成立．
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证明
当堂训练
1.“a＜b”的反面应是_a_＝__b_或__a_＞__b_.
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答案
2. 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 三 角 形 的 内 角 至 多 有 一 个 钝 角 ” 时 ， 假 设 _至__少__有__两__个__钝__角__.
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答案
3.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”， 正确的假设为_a_，__b_，__c_中__至__少__有__一__个__偶__数__.
第2章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 间接证明
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 间接证明 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子， 独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王 戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早 被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
②证题步骤：反设——假设 命题的结论 不成立，即假定原结论的反面 为真； 归谬——从 反设 和 已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得 出矛盾结果； 存真——由 矛盾结果 ，断定 反设 不真，从而肯定原结论成立.
题型探究
类型一 用反证法证明否定性命题
例1 设{an}是公比为q的等比数列，q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.