高中数学 圆锥曲线复习课课件
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而 a＝4，|BM|＝ 2＋32＋1＝ 26，
所以(|AM|椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，求 |PA|＋|PF1|的最大值.
解 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所 以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA| －|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为 6＋ |PA|－|PF2|的最大值问题，即求|PA|－|PF2|的最 大值问题，如图，在△PAF2 中，两边之差小于第三边，即|PA| －|PF2|<|AF2|，连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时，此时|P′A| －|P′F2|＝|AF2|达到最大值，易求|AF2|＝ 2，这样|PA|－|PF2| 的最大值为 2，故|PA|＋|PF1|的最大值为 6＋ 2.
S＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
小结 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似， 一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求 函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不 等式求参数范围.
跟踪训练 3 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)且(a＋ 3b)⊥(a － 3b). (1)求点 Q(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 y＝kx＋m 相交于不同的两点 M、N， 又点 A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数 m 的取值范围.
∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，化为一般式为 3x±y＝0.
题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题 1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有
一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线 仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双 曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于 抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行. 2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与 圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范 围、最值等问题. 3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关 系等.
例 3 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为 36，短轴
一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线
l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值.
解
(1)设椭圆的半焦距为
c＝ c，依题意有a
题型一 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意 识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上 的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把 曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利 用数形结合的思想去解决有关的最值问题.
3 4 x.
跟踪训练 2 已知双曲线xa22－yb22＝1 的离心率为 2，焦点与椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为
_(±_4_,_0_)___；渐近线方程为___3_x_±_y_＝__0_.
解析 ∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3.
解 (1)由题意，得 a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)，
∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0. 化简得x32＋y2＝1，
36，
∴b＝1.∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. a＝ 3，
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知 1|m＋|k2＝ 23，得 m2＝34(k2＋1). 把 y＝kx＋m 代入椭圆方程，
题型二 有关圆锥曲线性质的问题
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中
常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，
大都可以顺利求解.
例2
已知椭圆 x2 3m
2＋5yn22＝1
和双曲线2xm2 2－3yn22＝1
有公共的
焦点，那么双曲线的渐近线方程是
(D )
A.x＝± 215y
B.y＝± 215x
例 1 若点 M(2,1)，点 C 是椭圆1x62 ＋y72＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_8_－____2_6_. 解析 设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2,1) 在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋ |AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
C.x＝±
3 4y
D.y＝±
3 4x
解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，
∴椭圆焦点( 3m2－5n2，0)，双曲线焦点( 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，
又∵双曲线渐近线为 y＝± 26|m·|n| |·x， ∴代入 m2＝8n2，|m|＝2 2|n|，得 y＝±
＝3＋9k4＋126kk22＋1＝3＋9k2＋12k12＋6 (k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当 9k2＝k12，即 k＝± 33时等号成立. 此时 Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，当 k＝0 或不存在时，|AB|＝ 3，
综上所述，|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB 面积取得最大值
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11
＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1
所以(|AM|椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，求 |PA|＋|PF1|的最大值.
解 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所 以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA| －|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为 6＋ |PA|－|PF2|的最大值问题，即求|PA|－|PF2|的最 大值问题，如图，在△PAF2 中，两边之差小于第三边，即|PA| －|PF2|<|AF2|，连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时，此时|P′A| －|P′F2|＝|AF2|达到最大值，易求|AF2|＝ 2，这样|PA|－|PF2| 的最大值为 2，故|PA|＋|PF1|的最大值为 6＋ 2.
S＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
小结 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似， 一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求 函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不 等式求参数范围.
跟踪训练 3 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)且(a＋ 3b)⊥(a － 3b). (1)求点 Q(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 y＝kx＋m 相交于不同的两点 M、N， 又点 A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数 m 的取值范围.
∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，化为一般式为 3x±y＝0.
题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题 1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有
一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线 仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双 曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于 抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行. 2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与 圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范 围、最值等问题. 3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关 系等.
例 3 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为 36，短轴
一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线
l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值.
解
(1)设椭圆的半焦距为
c＝ c，依题意有a
题型一 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意 识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上 的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把 曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利 用数形结合的思想去解决有关的最值问题.
3 4 x.
跟踪训练 2 已知双曲线xa22－yb22＝1 的离心率为 2，焦点与椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为
_(±_4_,_0_)___；渐近线方程为___3_x_±_y_＝__0_.
解析 ∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3.
解 (1)由题意，得 a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)，
∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0. 化简得x32＋y2＝1，
36，
∴b＝1.∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. a＝ 3，
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知 1|m＋|k2＝ 23，得 m2＝34(k2＋1). 把 y＝kx＋m 代入椭圆方程，
题型二 有关圆锥曲线性质的问题
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中
常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，
大都可以顺利求解.
例2
已知椭圆 x2 3m
2＋5yn22＝1
和双曲线2xm2 2－3yn22＝1
有公共的
焦点，那么双曲线的渐近线方程是
(D )
A.x＝± 215y
B.y＝± 215x
例 1 若点 M(2,1)，点 C 是椭圆1x62 ＋y72＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_8_－____2_6_. 解析 设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2,1) 在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋ |AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
C.x＝±
3 4y
D.y＝±
3 4x
解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，
∴椭圆焦点( 3m2－5n2，0)，双曲线焦点( 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，
又∵双曲线渐近线为 y＝± 26|m·|n| |·x， ∴代入 m2＝8n2，|m|＝2 2|n|，得 y＝±
＝3＋9k4＋126kk22＋1＝3＋9k2＋12k12＋6 (k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当 9k2＝k12，即 k＝± 33时等号成立. 此时 Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，当 k＝0 或不存在时，|AB|＝ 3，
综上所述，|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB 面积取得最大值
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11
＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1