力学量用算符表示

第四章：力学量用算符表示

[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[

]

.2)(,2

hipf q f p q =

（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q

[]qf p f qp fq p f qp

f p q 2222

2

,-=-=

f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-=

hipf pf hi pq qp 2)(=+-=

（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=

（证明）同前一论题

)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-=

)()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=

（3）ihfp p q f q 2])(,[2

=

[证明]同前一题论据：

fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2

hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=

（4）i

f p i

h q f p p 22

)](,[=

[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式

i

f i

h q f p =

)](,[ dq df f i ≡)(

)(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=

物83-309蒋

~80~

i

f p i

h f p p 22],[=

= （5）p pf i

h p q pf p i

=

])(,[ （证明）论据同（4）：

p fp pf p pfp fp

p pfp p )(],[22-=-=

p pf i

h i

=

（6）2

2

])(,[p f i

h p q f p i =

（证明）论据同（4）：

2

2222)(],[p f i

h p fp pf fp pfp fp p i =

-=-=

(2)证明以下诸式成立： (1)

(证明)根据坐标分角动量对易式

为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。

以及

看到

由于轮换对称性，得到特征的公式。

~81~

(2)

（证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律

同理可证明其他轮换式，由此得普通式

取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：

根据轮换对称性，证明待证式成立。 (3)

注意 与x 没有共同坐标。 (4)

注意

没有共同坐标，因此可以对易即

，故

)()(22

22z y x x z y l l p p l l A +-+=

z

z x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=

}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=

})(){(x x p l l p hi ρρρ*-*=

(3) l ϖ

为粒子角动量。F 为另一力学量，证明： )(],[p

F p r F r hi F l ϖϖττϖ∂∂*+∂∂*-=

其中r τ∂∂

表示空间坐标的梯度，p

ϖ∂∂表示动量空间的梯度。 [证明]按照题意

z k y j x i

r ∂∂

+∂∂+∂∂=∂∂ϖϖϖτ z

y x p k p j p i r ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ϖϖϖτ 又F 可看作坐标r τ，动量p ϖ

的函数，它一般可以表示成

n i ni

ni p r C p r F F )(),(τϖτ∑==

),,,3,2,1,0(z y x i n ==ΛΛ

为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设)(r ψ为任意波函数

ψ∂∂=ψ∂∂-ψ∂∂=ψx F

i h x F F x i h F p x })({],[

x

F

i h F p x ∂∂=],[

)(],[ψ-ψ=ψ∑∑X p C P XC F X ni

n i ni ni

n i ni

在前式的最后一项中，当I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：

ψ∂∂+ψ=∂ψ∂+∂ψ∂=ψ∂∂=ψ--n

x x

n x n n n n n n n

x

P P i h XP x n x X i h X x i h X P )()()()()(11

当ψ=ψψ=ψ=n

z n z n y n y XP X P XP X P z y i )(;)(:,

因此：

∑∑∑ψ∂∂

-

ψ-ψ=ψni

n i

ni x

ni

n i ni ni

n i ni P XC

P i h P XC P XC F x ],[

ψ∂∂=x

P F hi

x

P F

hi

F X ∂∂=],[ 现在利用前二式来证明题给一式的x 分量的关系成立，该式左方：

x x x x Fl F l F l F l -==],[],[ 3)()(y z y z zp yp F F zp yp ---=

F FyP F yP z z +-=

y

y z z y y y z z z p F z F p Z p F y F p y p Fz zF Fp F p z P Fy yF FP F P y ],[],[],[],[)()()()(--+=-----+-=

86-87

利用（1）和（2）得

同理可得

综合3式得