允许卖空的基于MINIMAX规则的证券组合选择

n
G=
x = ( x1 , x2 , …, x n ) ;
j=1
∑x
j
= M 0 , j = 1 , …, n .
λ ) 最优化问题可以表述为 : 于是 ,此时的 PO (
n
) min F y + (1 - λ λ ( x , y) = λ
j =1
∑r x
j
j
,
( 311)
s. t . | xj | qj ≤ y , j = 1 , …, n ,
n n n
r ( x1 , …, x n ) = E
j=1
∑
Rj x j
=
j=1
∑
E ( Rj ) x j =
j=1
∑r x
j
j
,ห้องสมุดไป่ตู้
) 问题 . 令 x ∈F ,定义 l ∞风险函数为 Cai ( 2000) 利用 l ∞测度度量风险 ,并提出不允许卖空时的 PO (λ
w ∞ = max1 ≤j ≤n E ( | Rj xj - rj xj | ) = max1 ≤j ≤n qj xj .
我们总是认为投资者希望在最大化期望收益的同时 ,最小化风险 ,而显然这两个目标是冲突的 . 我们 采用 Y oung ( 1998) 关于证券组合选择的 Minimax 规则 , 即在确定最小可接受平均收益的前提下 , 最小化过 去时期的最大损失 . 这样在 l ∞风险测度下 ,我们可以将投资组合最优化问题表述为如下的双目标线性规 划问题 :
注 我们可以将参数 λ看作投资者对风险的承受能力 . λ→ 1 时 ,便可以忽略收益项 ,此时只求风险最 λ λ 小 ; 同样 → 0 时 ,可以忽略风险项 ,只求收益最大 . 因此 , 越大时 ,投资者对风险承受能力越小 .
3 允许卖空时的证券组合选择及有效前沿
在允许卖空时 ,我们首先定义证券组合可行域为 :
3 0 ,如果 j | G . ( 其实这只是一个猜想 ,但接下来我们将证明这样的猜想满足 K 2T 条件 ,因而是正确的 . ) 这 样 ,由式 ( 316) 和 ( 317) 我们得到
第4期
允许卖空的基于 MINIMAX 规则的证券组合选择
15 (3110)
y = M0
j ∈G
∑q
3
1
j
-
(λ )
The short2selling permitted portfolio optimization under a minimax rule
ZHANGJing2feng , ZHAO Lei , CHEN Wan2yi
a a b
( a. School of Mathematical Science ; b. College of Information Technical Science ,Nankai University , Tianjin 300071 ,China) Abstract : This paper provides the solution of portfolio selection theory when short2selling is permitted. Via the use of min2max rule as a new risk measurement , the related optimal portfolio model is proposed. After it is transformed ) problem , its analytical solution is derived by the K into the PO (λ 2T condition. Furthermore , some properties of the efficient frontier are discussed. ) problem ; K Key words : short2selling ; minimax rule ; PO (λ 2T condition ; efficient frontier
n
) min F y + (1 - λ λ ( x , y) = λ
j =1
∑r x
j
j
, ( 214)
s. t . qj xj ≤ y , j = 1 , …, n ,
x ∈ F.
) 问题 . 问题 ( 213) 和问题 ( 214) 的等价性证明可参见 Cai ( 2000) . 我们把问题 ( 214) 称为 PO (λ
我们知道 ,问题 ( 312) 是一个凸规划问题 ,因此 K 2T 条件是最优解的充要条件 ,即我们只要找到一个解 ( x , y ) 满足上述条件 ,那么 ( x , y ) 便是问题 ( 312) 的最优解 . 定义 G3 = { j :μ ν 0 ,ν j ≥ j = 0}. 我们令 μ j = 0 , j ≥
n j=1
( 313) ( 314) ( 315) ( 316) ( 317) ( 318) ( 319)
∑x
j
= M0 ,
μ j ( y - xj qj ) = 0 , j = 1 , …, n , ν j ( y + x j qj ) = 0 , j = 1 , …, n , μ j ≥0 , j = 1 , …, n , ν j ≥0 , j = 1 , …, n .
n
F =
x = ( x 1 , …, x n ) :
j=1
∑x
j
= M0 , xj ≥0 , j = 1 , …, n .
( 211)
定义
rj = E ( Rj ) , qj = E ( | Rj - rj | ) ,
即 rj 表示证券 S j 的期望收益率 , qj 表示 Rj 与其期望值的绝对离差 , rj 和 qj 可以由历史数据估算得到 . 而 投资组合 x = ( x1 , x2 , …, x n ) 的期望收益为
j| G
∑
3
1
qj
-1
(λ )
- y
xj =
3 ) ,由式 ( 314) , 对于 j ∈G (λ
qj
3 ) , j ∈ G (λ 3
y , j | qj
x ∈ G.
问题 ( 311) 等价于 :
14
系统工程理论与实践
n
2008 年 4 月
) min F y + (1 - λ λ ( x , y) = λ s. t . y - xj qj ≥0 ,
j =1
∑r x
j
j
,
y + xj qj ≥0 j = 1 , …, n , x ∈ G.
对于问题 ( 312) 我们利用 Lagrange 乘子法和 K 2T 条件求解 ,得到如下主要结果 : 定理 311 令整数 n l 1 1 0 ≤ l ≤ n - 1 且 ∑ - ∑ > 0 , k = max l ∶ q q
2008 年 4 月
系统工程理论与实践
第4期
文章编号 :100026788 ( 2008) 0420012207
允许卖空的基于 MINIMAX 规则的证券组合选择
张晶锋 ,赵 磊 ,陈万义
a a b
( 南开大学 a. 数学科学学院 ; b. 信息技术科学学院 , 天津 300071)
摘要 : 在不允许卖空证券组合选择理论基础上 ,探讨了基于 minimax 规则允许卖空的情形 . 首先介绍了 一种新的组合风险度量规则2minimax 规则 ,然后基于此建立起最优选择模型 ,将此模型转化成可求解的 ) 问题 ,并利用 K PO (λ 2T 条件得到解析解 . 此外 ,鉴于证券组合有效前沿的重要性 ,我们还着重讨论了本 问题的有效前沿 ,给出了具体形式并举例以实证之 . ) 问题 ; K 关键词 : 卖空 ;minimax 规则 ;PO (λ 2T 条件 ; 有效前沿 中图分类号 : F830 ;O221 文献标志码 : A
n
min max1 ≤j ≤n qj xj , s. t . x ∈ F.
j=1
∑r x
j
j
,
( 212)
通过简单的变换 ,问题 ( 212) 可转化为 :
n
min y , -
j=1
∑r x
j
j
,
( 213)
s. t . qj xj ≤ y , j = 1 , …, n ,
x ∈ F.
事实上问题 ( 213) 又可以转化成带参数的单目标线性规划问题 . 给定λ,0 <λ< 1 ,问题 ( 213) 可化为 :
) 模型 ,对此利用 K 题的 PO (λ 2T 条件得到解析解 ,并进一步得到了证券组合有效前沿的具体形式 ,有效前
沿在具体的金融实务中有着重要而广泛的意义 ,所以我们对此详加讨论并与不允许卖空情形加以比较 ,得 到了一些有益的结果 .
2 minimax 规则及 PO( λ ) 问题
收稿日期 :2006201216 作者简介 : 张晶锋 (1980 - ) ; 赵磊 (1982 - ) ,男 ,应用数学专业硕士 , 主要研究方向为金融数学 、 金融工程 ; 陈万义 ( 1963
- ) ,男 ,山东平原县人 ,教授 ,博士 ,主要从事控制理论 、 金融数学等方面的研究 .
第4期
允许卖空的基于 MINIMAX 规则的证券组合选择
13
假设投资者的初始财富为 M0 ,投资于 n 种证券 S j , j = 1 , …, n . 令证券 S j 的收益率为随机变量 Rj , xj ≥ 0 为投资在 S j 上的资金 . 不允许卖空时我们定义最优化问题的可行域为 :
j = l +1 j j=1 j
则 0 ≤k ≤n - 1. 我们有 ,当
rj - r1 λ ≥∑ 1 - λ qj j=2
n
时 ,问题 ( 312) 的有最优解
y = M0
n j=1
∑q
1
j
, xj =
y ,1 ≤ j ≤ n . qj
当
n j = l +1
∑
rj - rl + qj
l
j=1
∑
rj - rl - 1 rl - rj λ ≤ ≤ + qj 1 - λ qj j= l
n
-
j =1
∑
rj xj + λ 0
n
j=1
∑x
j
- M0
-
j =1
μ j ( y - x j qj ) ∑
j=1
ν( y + ∑
j
xj qj ) .
于是 ,最优解 ( x , y ) 必须满足的 K 2T 条件为 : n n 9L λ μ ν = - ∑ j j = 0 , ∑ 9y j=1 j=1 9L ) rj + λ = - (1 - λ 0 + μ j qj - ν j qj = 0 , j = 1 , …, n , 9 xj
n
l
∑
j=1
∑
rl - 1 - rj qj
2 ≤l ≤k + 1
时 ,有最优解
n
y = M0
j = l +1
∑q
1
j
l- 1
-
j=1
∑q
1
j
-1
, xj =
y , 1 ≤j ≤l , qj
y , l + 1 ≤ j ≤ n. qj
n n
证明 引入问题 ( 312) 的 Lagrange 函数 ν ) =λ ) L ( x , y ,λ y + (1 - λ 0 ,μ ,
1 引言
Markowitz ( 1952) 提出了证券组合选择理论 ,其基本问题 ,就是对固定的期望收益 ,使其方差最小 . 该问
题是一个带线性等式约束的二次凸规划问题 ,可以用 Lagrange 乘子法来求解 . 但是如果证券数量 n 很大 , 那么要求出问题的分析解就很困难 . 而 Sharpe ( 1971) 提出了用分段线性近似的方法来表示二次规划问题 中的二次项 ,使问题能够用线性规划的方法来求解 ,极大的增强了证券投资组合的实际应用前景 . 但他们 都以投资组合的标准差作为风险度量标准 , K onno ( 1990 ) , Yamazaki ( 1991 ) 以及 Y oung ( 1998 ) 则分别提出了 对风险的新的度量方法 : 绝对离差法 (MAD ,Mean2Absolute Deviation) 和 minimax 规则 ,然后在线性规划的框 架下求解 ,在实证检验中都取得了不错的效果 . Cai ( 2000) 在 minimax 规则的基础上 ,结合 MAD 模型 , 在参数规划框架之下讨论了不允许卖空时的证 券组合问题 . Cai ( 2000) 提出不允许卖空的原因是为了简化计算 , 得到一个解析解 ,但这不符合主流市场 的现状 ,市场中的做空机制的存在是可以有效规避下跌风险的 ,所以我们将问题扩展到允许卖空情形 . 我 们利用 Cai ( 2000) 提出的 l ∞风险测度 ,在允许卖空的条件下 ,运用 minimax 风险度量规则 ,提出证券组合问