平面与平面垂直的性质定理
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• (2)直线必须在其中一个平面内；
• (3)直线必须垂直于它们的交线．
[反思]
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方 法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这 样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判 定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要 注意：
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
Βιβλιοθήκη Baidu
α⊥β.
导入新课
如图示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面 ABCD垂直, 直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面 ABCD垂直吗？
推进新课、新知探究、提出问题：
①如图示,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系. ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂 线”.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
【证明】（1）因为 PA 底面 ABCD 所以平面 PAC 平面 ABCD 又因为 AC CD, 所以 CD 面 PAC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
因为 ABC 600 , AB BC, 所以 ABC 为正三角形，
因为 PA AB BC则 PA AC, 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE PC
由（1）知
平面PAC 平面PCD, 平面PAC 平面PCD PC,
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解 决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为 线线垂直．
谢谢,再见!
AE 平面 PAC, 所以 CD AE;
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD，
AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE;
(2)PD 平面ABE;
(3)平面PCD 平面ABE.
【证明】由（1）知平面 PAD 平面 ABCD
(1)两个平面垂直；
(2)直线在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面 的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化 为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
AB⊥β
AB CD
AB CD B
③我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几 何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂 直与面面垂直相互转化的桥梁，
而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的 平面角也离不开它. 两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线， 因此它是立体几何中最重要的定理. ④应用面面垂直的性质定理口诀是：
文字语言
图形语言
符号语言
判 一个平面过另一 定 个平面的_垂__线___, 定 则这两个平面互
ll⊂⊥αβ⇒α⊥β
理 相垂直
两个平面互相垂 性
直，则一个平面 质
内垂直于_交__线__的 定
直线垂直于另一 理
个平面
α⊥β l⊂β
αl⊥∩βa＝a⇒l⊥α
[规律方法] 判定线面垂直的四种方法： (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个 平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．
③分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的 难点. ④ 总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
a
E
如图，已知α⊥β,α∩β=a, AB α，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B, 则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相 交直线, ∴AB⊥β.
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂 直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑 利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直， 立即在一个平面内作交线的垂线”.
• 本题已知面面垂直，可考虑利用面面垂直 的性质定理将其转化为线面垂直．应用面 面垂直的性质定理，注意以下三点：
• (1)两个平面垂直是前提条件；
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两 个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图
两个平面垂直的性质定理用 符号语言描述为：
AB CD
【教学过程】
复习:
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平
面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：AB 两个平面垂直的判定定理图形表述为：AB
所以 SO AB ，因为 SO CD O
所以 AB 平面 SCD 又因为 AB 平面 SAB ， 所以平面 SOC 平面 SAB
面面垂直性质的应用
[例 2] 如图，四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形， ∠BCD＝120°，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD＝ 2a， E 为 PA 的中点，求证：平面 EDB⊥平面 ABCD. [分析] 找AC中点O，证PC∥OE与PC⊥面ABCD可得
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
• (3)直线必须垂直于它们的交线．
[反思]
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方 法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这 样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判 定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要 注意：
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
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α⊥β.
导入新课
如图示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面 ABCD垂直, 直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面 ABCD垂直吗？
推进新课、新知探究、提出问题：
①如图示,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系. ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂 线”.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
【证明】（1）因为 PA 底面 ABCD 所以平面 PAC 平面 ABCD 又因为 AC CD, 所以 CD 面 PAC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
因为 ABC 600 , AB BC, 所以 ABC 为正三角形，
因为 PA AB BC则 PA AC, 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE PC
由（1）知
平面PAC 平面PCD, 平面PAC 平面PCD PC,
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解 决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为 线线垂直．
谢谢,再见!
AE 平面 PAC, 所以 CD AE;
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD，
AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE;
(2)PD 平面ABE;
(3)平面PCD 平面ABE.
【证明】由（1）知平面 PAD 平面 ABCD
(1)两个平面垂直；
(2)直线在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面 的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化 为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
AB⊥β
AB CD
AB CD B
③我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几 何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂 直与面面垂直相互转化的桥梁，
而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的 平面角也离不开它. 两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线， 因此它是立体几何中最重要的定理. ④应用面面垂直的性质定理口诀是：
文字语言
图形语言
符号语言
判 一个平面过另一 定 个平面的_垂__线___, 定 则这两个平面互
ll⊂⊥αβ⇒α⊥β
理 相垂直
两个平面互相垂 性
直，则一个平面 质
内垂直于_交__线__的 定
直线垂直于另一 理
个平面
α⊥β l⊂β
αl⊥∩βa＝a⇒l⊥α
[规律方法] 判定线面垂直的四种方法： (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个 平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．
③分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的 难点. ④ 总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
a
E
如图，已知α⊥β,α∩β=a, AB α，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B, 则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相 交直线, ∴AB⊥β.
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂 直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑 利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直， 立即在一个平面内作交线的垂线”.
• 本题已知面面垂直，可考虑利用面面垂直 的性质定理将其转化为线面垂直．应用面 面垂直的性质定理，注意以下三点：
• (1)两个平面垂直是前提条件；
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两 个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图
两个平面垂直的性质定理用 符号语言描述为：
AB CD
【教学过程】
复习:
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平
面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：AB 两个平面垂直的判定定理图形表述为：AB
所以 SO AB ，因为 SO CD O
所以 AB 平面 SCD 又因为 AB 平面 SAB ， 所以平面 SOC 平面 SAB
面面垂直性质的应用
[例 2] 如图，四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形， ∠BCD＝120°，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD＝ 2a， E 为 PA 的中点，求证：平面 EDB⊥平面 ABCD. [分析] 找AC中点O，证PC∥OE与PC⊥面ABCD可得
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.