平面与平面垂直的性质定理
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直线与平面面,平面与平面垂直的性质
A.1
B.2
C.3 D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.
P
提示：连接AF.
A
D
B
FC
2.3.4 平面与平面垂直的性质
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交， 如果它们所成的二面 角是直二面角，就说 这两个平面互相垂直。
垂直于同一个平面的两条直线平行
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移：a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义：a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）
n
a
a n
a
同理b
bl aα
β
n γm
b // a
a b
b //
b
l
b // l b
lb
线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
2、已知a、b是两条不重合的直线，
P
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
O
若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （D）
D C
A. B. C. D.
面 具有什么位置关系?
α
平面与平面垂直的判定和性质
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
两个平面垂直的判定和性质
C A D B
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
面面垂直的性质
解： 在内作垂直于 与 交线的直线b
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
面面垂直的判定定理及性质定理
面面垂直的判定定理及性质定理
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
定义：
若两个平面的二面角为的直二面角(平面角就是直角的二面角)，则这两个平面互相横向。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的.直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互横向，那么经过第一个平面内的一点并作旋转轴第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
(认定定理推断1的逆定理)。
面面垂直的性质定理
足 a⊥β，a ⊥ ， α 的位置关系。 的位置关系。
⊄α 判断直线a与 ，判断直线 与平面
分析: 交线的直线b。 分析:在 α 内作垂直于 α与β交线的直线 。 α ∵ α ⊥β
b
a
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理) ( ∵ α ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理) ( 又∵a ⊄ α ∴a// α (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 α 平行。 即直线 与平面 平行。
该命题正确吗？ 该命题正确吗？
β
α
b
b ⊥ β ⇒α ⊥ β b ⊂α
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直, 两个平面垂直,则一个平 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直. 与另一个平面垂直.
一个平面的有哪些位 符号表示： 符号表示： 置关系?
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 、平面与平面垂直的性质定理： 垂直， 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直 面面垂直→线面垂直 线面垂直； 线线垂直 线面垂直；面面垂直 线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 、线线、线面、 决空间图形问题的重要思想方法。 决空间图形问题的重要思想方法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB ⊂ ， 如图, α 如图 AB⊥l， BC ⊂ ，DE β，BC⊥DE. β ⊂ 求证： 求证：AC⊥DE. α A
B D C E
当堂达标
l
β
β
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 如图，AB是 的直径， 的任意一点，平面PAC⊥平面ABC PAC⊥平面ABC， 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系 并证明。 判断BC与平面PAC的位置关系， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系 判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
⊄α 判断直线a与 ，判断直线 与平面
分析: 交线的直线b。 分析:在 α 内作垂直于 α与β交线的直线 。 α ∵ α ⊥β
b
a
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理) ( ∵ α ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理) ( 又∵a ⊄ α ∴a// α (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 α 平行。 即直线 与平面 平行。
该命题正确吗？ 该命题正确吗？
β
α
b
b ⊥ β ⇒α ⊥ β b ⊂α
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直, 两个平面垂直,则一个平 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直. 与另一个平面垂直.
一个平面的有哪些位 符号表示： 符号表示： 置关系?
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 、平面与平面垂直的性质定理： 垂直， 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直 面面垂直→线面垂直 线面垂直； 线线垂直 线面垂直；面面垂直 线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 、线线、线面、 决空间图形问题的重要思想方法。 决空间图形问题的重要思想方法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB ⊂ ， 如图, α 如图 AB⊥l， BC ⊂ ，DE β，BC⊥DE. β ⊂ 求证： 求证：AC⊥DE. α A
B D C E
当堂达标
l
β
β
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 如图，AB是 的直径， 的任意一点，平面PAC⊥平面ABC PAC⊥平面ABC， 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系 并证明。 判断BC与平面PAC的位置关系， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系 判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
平面与平面垂直的性质
b
B1
a
D C
b
A B
b //α或b在α内
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
面面垂直的性质
面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直。
β
a l α A
l a a al
a //
画图
面面相交
a
画图
面面垂直 α
β
l
画图
一个平面和两个平行平面相交
a b
画图
三个平面两两垂直
α β l
γ
面面相交
画图
a
面面垂直
α
β 一个平面和两个平行平面相交
l
三个平面两两垂直
α
a b
β l
γ
面面垂直性质
解：设 n m 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m n a a
面面垂直线面垂直
例5. , a , a , 判断a与 位置关系 解：设 l
α
b
l β A
a
在α内作直线b ⊥l l b b 又a bl
a // b b a
2.3.4 平面与平面垂直的性质
线面垂直的性质
• 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的 两条直线平行。
平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
平面与平面垂直的性质定理课件
利用平面与平面垂直的性质定理，可以证明抛物线上的任意一点到 焦点和到准线的距离相等。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
平面和平面垂直的判定定理
平面和平面垂直的判定定理
平面和平面垂直的判定定理是几何学中一个重要的定理，它描述了两个平面是否垂直
的方法。
定理指出，如果两个平面中的任意一个法线与另一个平面中的法线成垂直，则这
两个平面垂直。
这个定理是由正视图学家威尔海姆所建立的，他是17世纪的著名几何学家，对对角
线性质有许多研究和推导，其中最著名的可以说是他提出的“平面和平面垂直判定定理”。
它是一个抽象几何学中重要的な定理之一，而且被许多数学家和几何学家用于求解各种数
学问题。
定理的公式明确指出，如果在两个平面中的任意一个法线都垂直地与另一个平面的法
线上，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理可以应用于求解各种数学问题，比如求解平
面的夹角，平面的平行性，折线平面与特定平面的相交情况等等。
此外，这个定理还有许多应用场景，比如工程、机械制造和机械设计就要求精确知晓
平面和平面的夹角，或者剖分几何中对平面的夹角也经常用到它。
最后，实际制图中也用
平面和平面垂直判定定理，比如航空航天和地球物理实验中用到的三维坐标系，就有用到它。
总而言之，平面和平面垂直的判定定理是一个重要的数学定理，它的主要作用在于用
于判断两个平面是否垂直，同时也有许多数学实际应用场景，比如机械设计、航空航天以
及地球物理实验等。
2.3.4平面与平面垂直的性质定理 p
一、知识回顾 如果一条直线和一个平面相交,并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点 叫做垂足. l
1. 直线和平面垂直的定义如何？
注 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a m nO a m a m , a n O n
又∵a ， ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a ）.
例2.已知平面，， 满足 ， ， 求证：l .
分析：作出图形. （法一） （法二）
l,
l β
m b
aα β n m b
l
α
γ
γ
a n A
证法1：设 n, m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α
（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是 互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
思考2
如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
D1
与AD垂直
C1
F
A1
α
B1
E
A
D
β
B
C
思考3
,
CD， AB , AB CD,
线线垂直
线面垂直
关键：线不在多，相交则行
异面直线的夹角
A
1. 直线和平面垂直的定义如何？
注 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a m nO a m a m , a n O n
又∵a ， ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a ）.
例2.已知平面，， 满足 ， ， 求证：l .
分析：作出图形. （法一） （法二）
l,
l β
m b
aα β n m b
l
α
γ
γ
a n A
证法1：设 n, m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α
（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是 互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
思考2
如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
D1
与AD垂直
C1
F
A1
α
B1
E
A
D
β
B
C
思考3
,
CD， AB , AB CD,
线线垂直
线面垂直
关键：线不在多，相交则行
异面直线的夹角
A
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AB⊥β
AB CD
AB CD B
③我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几 何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂 直与面面垂直相互转化的桥梁，
而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的 平面角也离不开它. 两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线， 因此它是立体几何中最重要的定理. ④应用面面垂直的性质定理口诀是：
• (2)直线必须在其中一个平面内；
• (3)直线必须垂直于它们的交线．
[反思]
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方 法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这 样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判 定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要 注意：
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
因为 ABC 600 , AB BC, 所以 ABC 为正三角形，
因为 PA AB BC则 PA AC, 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE PC
由（1）知
平面PAC 平面PCD, 平面PAC 平面PCD PC,
所以 SO AB ，因为 SO CD O
所以 AB 平面 SCD 又因为 AB 平面 SAB ， 所以平面 SOC 平面 SAB
面面垂直性质的应用
[例 2] 如图，四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形， ∠BCD＝120°，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD＝ 2a， E 为 PA 的中点，求证：平面 EDB⊥平面 ABCD. [分析] 找AC中点O，证PC∥OE与PC⊥面ABCD可得
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 AB 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解 决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为 线线垂直．
谢谢,再见!
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
【教学过程】
复习:
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平
面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：AB 两个平面垂直的判定定理图形表述为：AB
文字语言
图形语言
符号语言
判 一个平面过另一 定 个平面的_垂__线___, 定 则这两个平面互
ll⊂⊥αβ⇒α⊥β
理 相垂直
两个平面互相垂 性
直，则一个平面 质
内垂直于_交__线__的 定
直线垂直于另一 理
个平面
α⊥β l⊂β
αl⊥∩βa＝a⇒l⊥α
[规律方法] 判定线面垂直的四种方法： (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个 平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两 个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图
两个平面垂直的性质定理用 符号语言描述为：
AB CD
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂 直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑 利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直， 立即在一个平面内作交线的垂线”.
• 本题已知面面垂直，可考虑利用面面垂直 的性质定理将其转化为线面垂直．应用面 面垂直的性质定理，注意以下三点：
• (1)两个平面垂直是前提条件；
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
(1)两个平面垂直；
(2)直线在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面 的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化 为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂 线”.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
【证明】（1）因为 PA 底面 ABCD 所以平面 PAC 平面 ABCD 又因为 AC CD, 所以 CD 面 PAC,
AE 平面 PAC, 所以 CD AE;
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD，
AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE;
(2)PD 平面ABE;
(3)平面PCD 平面ABE.
【证明】由（1）知平面 PAD 平面 ABCD
α⊥β.
导入新课
如图示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面 ABCD垂直, 直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面 ABCD垂直吗？
推进新课、新知探究、提出问题：
①如图示,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系. ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的 难点. ④ 总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
a
E
如图，已知α⊥β,α∩β=a, AB α，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B, 则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相 交直线, ∴AB⊥β.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时