初中数学分类讨论方法篇
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１）
上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得
以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、 Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ 的坐标。
Ａ Ｃ Ｏ Ｂ Ｘ
Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
PD (2) 当 △ PDB ∽ △ BOC时， BO = m 1 有Ｐ（ｍ， 2 － 2 ） BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时，
注意
分类的原则是既不重复，也不遗漏！
一张矩形纸片有四个角，剪掉一个 角后，还剩几个角？
（1）
（2）
（3）
分类讨论是一种重要的数学思想，当研究对象的元素或其 关系不明确时，常需要对研究对象元素或各元素之间关系 的各种可能进行分类讨论。
1、如图，线段OD的一个端点O在直线OM上，∠DOM=30°,以OD为 一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线OM上，这样的等 Ｄ 腰三角形能画多少个? 首先要找到合适的分 类标准！
P
有P（m, 2m－2）；
Ａ
Ｏ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｘ
分类讨论思想解决问题的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
讲师：李#
1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B， 则点B所表示的实数为（ D ） A、2 B、2 C、-4 D、2或-4
2、在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0） （3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能 在（ C ） A 、第一象限 C 、第三象限 B 、第二象限 D 、第四象限
30°
⌒
P2
分类：
Ｏ
⑴以OD为底边 ⑵以OD为腰
P1
P3
P4 M
P是OD的中垂线与OM的交点。 P是分别以O,D为圆心,OD为半径的圆 与直线OM的交点。
思考：当∠DOM=60 °,符合条件的 点P有几个，当∠ DOM=90 °呢? Ｄ
30° P1 Ｄ P3
⌒
P2
Ｏ
P4
M
60° ⌒ P1 Ｏ Ｄ P2 M
90° P1 Ｏ P2 M
2、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
C
110° 20° 50°
A
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论 A C
20° 20°
110°
20° 50°
B
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
∴
C
AD AE AC AB
,
又∵AB=12，AC=15，AD=8，∴AE=6.4. 由①、②得： AE长为10或6.4.
已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点 Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １） ｙ 与ｘ轴交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ
4、已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值 为１≤ｙ≤９.则ｋ· ｂ的值（ ） （Ａ）１４ （Ｂ）－６ （Ｃ） －６或２１ （Ｄ） －６或１４
1 3k b k 2 解：k＞0时， k b 14 9 k b b 7 1 k b k 2 k＜0时, k b 6 9 3k b b 3 选D
讲师：李#
数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
分析法、综合法、 归纳法、反证法等 函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分类讨论思想（方法）介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无 法用统一的方法或结论不能给出统一的表述，对这类问题依情况加以 分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法叫分类讨论法. 分类讨论涉及初中数学的所有知识点，其关键是弄清引起分类 的原因，明确分类讨论的对象和标准，分情况加以讨论求解，再将不 同结论综合归纳，得出正确答案。
A C
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
3、已知 x 3, y 2, 且x y 0，则x y ?
解： x 3 x 3 y 2 y 2 xy 0 x 3 x 3 或 y 2 y 2 x y 1或x y 1
Biblioteka Baidu
y
(-1,2)
(3,2)
(7,2)
o
(0,0) (1,-2)
(4,0)
x
3、如图，在 △ABC中，AB=12， AC=15，点 D在AB上，且AD=8，在 AC上取一点E,使得以A、 D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长. A A D
B (1)
E
E
D
C B (2) C
△ADE∽△ABC 或 △ADE∽△ACB AD AE AD AE AB AC AC AB
解：①如图（1），过D作DE∥BC交AC于E， 则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC.
A
∴
D B (1) E C
AD AE AB AC
,
A E D B (2)
又∵AB=12，AC=15，AD=8， ∴AE=10. ②如图（2），作∠ADE=∠C交AC于 E， 又∵∠A=∠A, ∴△ADE ∽△ACB.
１）
上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得
以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、 Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ 的坐标。
Ａ Ｃ Ｏ Ｂ Ｘ
Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
PD (2) 当 △ PDB ∽ △ BOC时， BO = m 1 有Ｐ（ｍ， 2 － 2 ） BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时，
注意
分类的原则是既不重复，也不遗漏！
一张矩形纸片有四个角，剪掉一个 角后，还剩几个角？
（1）
（2）
（3）
分类讨论是一种重要的数学思想，当研究对象的元素或其 关系不明确时，常需要对研究对象元素或各元素之间关系 的各种可能进行分类讨论。
1、如图，线段OD的一个端点O在直线OM上，∠DOM=30°,以OD为 一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线OM上，这样的等 Ｄ 腰三角形能画多少个? 首先要找到合适的分 类标准！
P
有P（m, 2m－2）；
Ａ
Ｏ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｘ
分类讨论思想解决问题的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
讲师：李#
1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B， 则点B所表示的实数为（ D ） A、2 B、2 C、-4 D、2或-4
2、在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0） （3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能 在（ C ） A 、第一象限 C 、第三象限 B 、第二象限 D 、第四象限
30°
⌒
P2
分类：
Ｏ
⑴以OD为底边 ⑵以OD为腰
P1
P3
P4 M
P是OD的中垂线与OM的交点。 P是分别以O,D为圆心,OD为半径的圆 与直线OM的交点。
思考：当∠DOM=60 °,符合条件的 点P有几个，当∠ DOM=90 °呢? Ｄ
30° P1 Ｄ P3
⌒
P2
Ｏ
P4
M
60° ⌒ P1 Ｏ Ｄ P2 M
90° P1 Ｏ P2 M
2、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
C
110° 20° 50°
A
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论 A C
20° 20°
110°
20° 50°
B
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
∴
C
AD AE AC AB
,
又∵AB=12，AC=15，AD=8，∴AE=6.4. 由①、②得： AE长为10或6.4.
已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点 Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １） ｙ 与ｘ轴交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ
4、已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值 为１≤ｙ≤９.则ｋ· ｂ的值（ ） （Ａ）１４ （Ｂ）－６ （Ｃ） －６或２１ （Ｄ） －６或１４
1 3k b k 2 解：k＞0时， k b 14 9 k b b 7 1 k b k 2 k＜0时, k b 6 9 3k b b 3 选D
讲师：李#
数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
分析法、综合法、 归纳法、反证法等 函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分类讨论思想（方法）介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无 法用统一的方法或结论不能给出统一的表述，对这类问题依情况加以 分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法叫分类讨论法. 分类讨论涉及初中数学的所有知识点，其关键是弄清引起分类 的原因，明确分类讨论的对象和标准，分情况加以讨论求解，再将不 同结论综合归纳，得出正确答案。
A C
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
3、已知 x 3, y 2, 且x y 0，则x y ?
解： x 3 x 3 y 2 y 2 xy 0 x 3 x 3 或 y 2 y 2 x y 1或x y 1
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y
(-1,2)
(3,2)
(7,2)
o
(0,0) (1,-2)
(4,0)
x
3、如图，在 △ABC中，AB=12， AC=15，点 D在AB上，且AD=8，在 AC上取一点E,使得以A、 D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长. A A D
B (1)
E
E
D
C B (2) C
△ADE∽△ABC 或 △ADE∽△ACB AD AE AD AE AB AC AC AB
解：①如图（1），过D作DE∥BC交AC于E， 则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC.
A
∴
D B (1) E C
AD AE AB AC
,
A E D B (2)
又∵AB=12，AC=15，AD=8， ∴AE=10. ②如图（2），作∠ADE=∠C交AC于 E， 又∵∠A=∠A, ∴△ADE ∽△ACB.