大学《概率论与数理统计》课后答案与解析(第四章)

20
3 P ( 2) C 4 0.25 3 0.75 0.25 4 0.0508
P{ 1 | 0}
1 q 4 4 pq 3 1 q4
其中 q=1-p 11. ξ 服从参数为 2,p 的二项分布, 已知 P(ξ≥1)=5/9, 那么成功率为 p 的 4 重贝努里试验 中至少有一次成功的概率是多少?
(k 0,1,2,3,4), x0
0 x4 x4
1
2
w
w
0 0.4823 0.8681 F ( x) 0.9838 0.9992 1
w
从分布表可以看出最可能值为 0, 或者 np+p=(4/6)+1/6=5/6 小于 1 且不为整数, 因此最可 能值为[5/6]=0. 7. 事件 A 在每次试验中出现的概率为 0.3, 进行 19 次独立试验, 求(1)出现次数的平均值 和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设 19 次试验中事件 A 出现次数为ξ, 则ξ~B(19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为 Eξ=np=19×0.3=5.7 方差为 Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99 标准差为
P{ 4}
i 0
4
2 i 2 e 0.9473 i!
P{ 4}100 0.004454
19. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命 Eξ=1000 小时, 写出 ξ的概率密度, 并计算 P(1000<ξ≤1200). 解: 因 Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为
5i i C13 C 52 13 (i 0,1,2,3,4,5) 5 C 52
om
1 P{ 1} C 3 0.1 0.9 2 0.2430
P{ 10} P{ 1}
i 0
1
0.8 i 0.8 e 0.8088 i!
4
P{ 8} P{1 4}
因事件 { 2} { 3} , 因此 { 3 2} 2
hd aw
270 } P{ 18} 15

20
i 0.15} P{ 3} C 20 0.1i 0.9 20i =0.867 i 0
3
P{ 3 2} P{ 2}
2
3. 某车间有 20 部同型号机床, 每部机床开动的概率为 0.8, 若假定各机床是否开动彼此 独立, 每部机床开动时所消耗的电能为 15 个单位, 求这个车间消耗电能不少于 270 个单位的 概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η 个 单位, 则η=15ξ, 因此
概率论第 4 章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮, 命中 3 炮的概率, 至少命中 3 炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击 10 炮命中的炮数, 则 ξ~B(10,0.7), 命中 3 炮的概率为
3 P{ 3} C10 0.7 3 0.37 0.0090
则假设η为成功率为 1/3 的 4 重贝努里试验的成功次数, η~B(4,1/3), 则
16 2 P ( 1) 1 P( 0) 1 (1 p) 1 1 0.802 81 3
4
w
12. 一批产品 20 个中有 5 个废品, 任意抽取 4 个, 求废品数不多于 2 个的概率 解: 设ξ为抽取 4 个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有
P{ 270} P{15 270} P{
20
i C 20 0.8 i 0.2 20i 0.2061 i 18
w w
因此
.k
P{ 0.15} P{
4. 从一批废品率为 0.1 的产品中, 重复抽取 20 个进行检查, 求这 20 个产品中废品率不 大于 0.15 的概率. 解: 设这 20 个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B(20,0.1), 假设这 20 个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此
i2
0.8 i 0.8 e 0.1898 i!
18. 一个合订本共 100 页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服 从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过 4 个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则 1 页印刷错误都不超 过 4 个的概率为
.k
P{ 2}
i 0
解: 因ξ~B(2,p), 则必有 P ( 1) 1 P( 0) 1 (1 p ) 5 / 9 , 解得
2
w
w
2
(1 p) 2 1 5 / 9 4 / 9 1 p 2/ 3 p 1 2 / 3 1/ 3
x 1 1000 ( x) 1000 e 0
20. ξ~N(0,1), Φ 0 (x)是它的分布函数, φ 0 (x)是它的概率密度, Φ 0 (0), φ 0 (0), P(ξ=0)各是什么 值?
.c
om
(2)因 np+p=5.7+0.3=6 为整数, 因此最可能值为 5 和 6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, Eξ=12, Dξ=8, 求 p 和 n. (1) 解: 由 Eξ=np=12 (2) 和 Dξ=np(1-p)=8 由(1)得 n=12/p, 代入到(2)得 12(1-p)=8, 解出 p=(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得 n=12/p=12×3=36 9. 某柜台上有 4 个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有 15 分 钟时间使用台秤, 求一天 10 小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一 n=4 的贝努里试验, 且 p=15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用 秤的售货员数, 则ξ~B(4, 0.25), 当ξ>2 时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
.k
P{ 2}
4
16. 一批产品的废品率为 0.001, 用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率, 以及不超过 2 件的概率. 解: 设ξ为 800 件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np=800×0.001=0.8
4 i i C5 C15 0.968 4 C 20
13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布 公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为 0.1, 从 1000 个产品
hd aw
P{ 1} 1 P{ 0} P{ 1} 1 P{ 0} P{ 0}
i P{ 8} C10 0.8 i 0.210i =0.6778 i 8 10
w
w
w
17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有 0.8 个疵点, 若规定疵点 数不超过 1 个为一等品, 价值 10 元, 疵点数大于 1 不多于 4 为二等品, 价值 8 元, 4 个以上为 废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是 ξ的函数. 则产品为废品的概率为
至少命中 3 炮的概率, 为 1 减去命中不到 3 炮的概率, 为
i P{ 3} 1 P{ 3} 1 C10 0.7 i 0.310i 0.9984 i 0 2
i P{ 2} C10 Leabharlann Baidu.01i 0.9910i 0.9999 i 0
.k
x0 0 x 1 1 x 2 2 x3 3 x 4 x4
0.3858
0.1157
D 3.99 1.997
.c
3 4 0.0008 0.0154
0.2852 1 0.5312 0.6083
om
P{ i}
20
1
P{ 2}
P{ i}
.c
因 np+p=10×0.7+0.7=7.7 不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7 炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为 0.01, 求生产 10 件产品中废品数不超过 2 个 的概率. 解: 设ξ为 10 件产品中的废品数, 则ξ~B(10,0.01), 则废品数不超过 2 个的概率为
4
因此 10 个小时内平均有 0.0508×10=0.508 个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为 p, 进行 4 重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验 成功不止一次的概率. 解: 设ξ为 4 次试验中的成功数, 则ξ~B(4,p), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而 事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率 P{ξ>1|ξ>0}, 又因事件 {ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此
0.8 2 0.8 e 0.1438 2 2 0.8 i 0.8 P{ 2} e 0.9526 i! i 0
P{ 4} 1 P{ 4} 1
i 0
hd aw
0.8 i 0.8 e 0.0014 i!
0.0815
.c
3 4 5 0.0107 0.0005
w
5. 生产某种产品的废品率为 0.1, 抽取 20 件产品, 初步检查已发现有 2 件废品, 问这 20 件中, 废品不少于 3 件的概率. 解: 设ξ为这 20 件产品中的废品数, 则ξ~B(20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于 2 件的条件, 则要求的是条件概率
P{ 3 | 2}
中任意抽取 3 个, 求废品数为 1 的概率. 解: 设任抽 3 个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为 0.1×1000=100
P{ 1}
1 2 C100 C 900 0.2435 3 C1000
而如果用二项分布近似计算, n=3, p=0.1, ξ~B(3,0.1)
近似误差为 0.0005, 是非常准确的. 14. 从一副朴克牌(52 张)中发出 5 张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的 5 张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则
k P{ k} C 4
0 k 4k k1 5 F ( x) C 4 k x 6 6 1
ξ
P 0
或者算出具体的值如下所示： 0.4823
hd aw
1 5 6k 6
4 k
6. 抛掷 4 颗骰子, ξ为出现 1 点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现 1 点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为 1/6, 则ξ~B(4,1/6), 因此有
P{ i}
则按上式计算出概率分布如下表所示:
ξ
P
0 0.2215
1 0.4114
2 0.2743
15. 从大批发芽率为 0.8 的种子中, 任取 10 粒, 求发芽粒数不小于 8 粒的概率. 解: 设ξ为 10 粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其 中 p=0.8, n=10, 则
om
P{ 3} P{ 3 | 2} P{ 2}
P{ i} P{ i}
i 2 i 3 20
20

P{ i} P{ 2}
i2
20
i 2
i2
1
P{ 2} 1 P{ i}
i 0 1
2 C 20 0.12 0.918 1 1 0.9 20 20 0.1 0.919