7.3线性变换的矩阵

§3 线性变换的矩阵

设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。

空间V 中任一向量ξ可以被基12,,

,n εεε表示出，即有关系式

1122n n x x x ξεεε=++

+， （1）

其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系：

)(2211n n x x x A A εεεξ+++=

)()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2）

上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说

1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相

同，即

n

i B A i i ,,2,1, ==εε，

那么A =B 。

证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得

ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n

n =+++=+++= 22112211

结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说，

2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使

,1,2,

,i i A i n εα== （3）

证明 我们来作出所要的线性变换。设

∑==n

i i

i x 1εξ

是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为

1

n

i i

i A x ξα

==∑ （4）

下面来证明变换A 是线性的。

在V 中任取两个向量， ∑∑====n

i i

i n i i i c b 1

1

,εγεβ。

于是

∑=+=+n

i i

i i c b 1

)(ελβ，

P

k kb k n

i i i ∈=∑=,1εβ。

按所定义的A 的表达式（4），有

γ

βα

ααγβA A c b c b A n

i i

i

n i i

i

n

i i

i i +=++=+∑∑∑===11

1

)()(

β

ααβkA b k kb k A n

i i i n

i i i ===∑∑==11)(

因此，A 是线性变换。再来证明A 满足（3）式。因为

,00100111n i i i εεεεεε++++++=+- n i ,,2,1 = i n i i i i A ααααααε=++++++=+-00100111 ， n i ,,2,1 =

综合以上两点，得

定理1 设12,,

,n εεε是线性空间V 的一组基，12,,

,n ααα是V 中任意n 个向量。

存在唯一的线性变换A 使

n i A i i ,,2,1, ==αε

有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。

定义2 设12,,,n εεε是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换，基向量的象可以被基线性表出：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+++=+++=.

,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε

用矩阵来表示就是

()()n n A A A A εεεεεε,,,,,,2121 =

()A n εεε,,,21 =， 其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

11211 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵。

例 设12,,,n εεε是()n n m >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的

一组基12,,

,n εεε。指定线性变换A 如下：

⎩⎨

⎧==,0,i i i A A εεε 当 .,,1,

,,2,1n m i m i +==

如此确定的线性变换A 称为对子空间W 的一个投影。不难证明 2

A A =。 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵是

}

⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛00111 m 行

这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射。前面的结论1说明这个映射是1-1的，结论2说明这个映射是映上的。换句话说，我们在这二者之间建立了一个1-1对应。这个对应的重要性表现在它保持运算，即有

定理2 设12,,,n εεε是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线形

变换公式（5）对应一个n n ⨯矩阵。这个对应具有以下的性质：

1） 线性变换的和对应矩阵的和；

2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；

3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；

4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证明 设A ，B 是两个线性变换，它们在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A ，B ，即

A （12,,

,n εεε）=（12,,,n εεε）A ，

B （12,,,n εεε）=（12,,,n εεε）B 。 1）由（A+B ）（12,,,n εεε）=A （12,,,n εεε）+B （12,,,n εεε） 121

2(,,,)(,,,)n n A B εεεεεε=+ =（12,,,n εεε）（A+B ）。

可知，在基12,,,n εεε下，线性变换A +B 的矩阵是A +B 。

2） 相仿地，

（AB ）（12,,

,n εεε）=A （B （12,,,n εεε）

） =A （（12,,,n εεε）B ）=（A （12,,,n εεε））B =（12,,,n εεε）AB 。

因此，在基12,,,n εεε下，线性变换AB 的矩阵AB 。

3） 因为1212(,,,)(,,,)n n k k k E εεεεεε=。

所以数乘变换k 在任何一组基下都对应于数量矩阵kE 。由此可知，数量乘积kA 对应于矩阵的数量乘积kA 。

4） 单位变换E 对应于单位矩阵，因之等于 AB =BA =E 与等式

AB =BA =E

相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵对应。

利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的象。

定理3 设线性变换A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，向量ξ在基12,,,n εεε下的坐

标是（12,,

,n εεε）

，则A ξ在基12,,,n εεε下的坐标（12,,,n y y y ）可以按公式