一题多解,培养学生解题能力

一题多解，培养学生解题能力

2007年河北省中小学数学知识应用与创新竞赛的复赛已经结束，初二年级的第10题是一道几何综合题。题目是：在△ABC每一边上分别向形外作正方形AGFC、BCED、ABKH，连FE，CM是AB边上的中线，

求证：EF=2CM

这个问题的结论是证明一条线段是另一条线段的两倍，是线段的倍分问题，解题关键是利用好题目中有正方形所隐含的相等线段、角和三角形的中线。考查的知识点有正方形性质、三角形中位线的判定和性质、全等三角形的判定和性质及转化思想。

证法1：（参考答案中的证法1；作中位线，证全等）

分别作△ABC和△CEF的中位线MN、PQ，

则有PQ＝EF，CQ＝CE＝BC＝CN，

CP＝CF＝AC＝MN，

又∠PCQ＋∠ACN＝180°，∠MNC＋∠ACN＝180°，

∴∠PCQ＝∠MNC，∴△MNC≌△PCQ

∵CM＝PQ＝EF即EF＝2CM

证法2：（参考答案中的证法2；用倍长中线，构造平行四边形，证全等）

延长CM到N，使得MN=CM，连结AN,BN.

∵CM是AB边上的中线，∴AM＝BM，

∴四边形ACBN是平行四边形，

∴BN∥AC且BN=AC＝CF，

∴∠CBN＋∠ACB＝180°，

∵∠ECF＋∠ACB＝180°，

∴∠CBN＝∠ECF，

又BC=CE，∴△CBN≌△ECF，

∴EF = CN＝2CM。

以上两种证明方法，都是利用了学生现有知识来解决的，考察了学生综合运用所学知识解决问题的能力。由于我校初二年级没有几个同学做对此题。我就此题的解题方法进行研究，发现还有许多证法，现将此题的证明方法进行归纳总结如下，仅供老师们参考：

证法3(1)：（配平行线，短线段倍长法）

如图1，过点B作BN∥CM，交AC的延长线于N ，∵M是AB的中点，

∴CM为△ABN的中位线，∴BN=2CM，CN=AC，∵四边形AGFC、BCED、ABKH是正方形，

∴AC=CF，BC=EC，CN=AC，

∵∠BCN+∠BCA=1800 ∠ECF+∠BCA=1800

∴∠BCN= ∠ECF ，

∴△BCN≌△ECF∴BN=EF，∴EF =2CM.

证法3(2)：（配平行线，短线段倍长法）

如图2，过点A作AN∥CM，交BC的延长线于N , 同证法3（1），可证△ACN≌△FCE ,

∴AN=EF ,∴EF =2CM.

证法4(1)：(旋转法)

由于此题是以三角形和正方形为基础，可通过旋转法巧妙构造出三角形的中位线，使待证结论中的线段集于一个三角形内，利用中位线性质即可得证.

如图3，将△CEF绕点C，顺时针旋转900得

△CAN，∴CE=CN，EF=AN ,

∵∠ACB+∠ECF=1800, ∴∠ACB+∠ACN=1800,

∴B、C、N三点在一条直线上,

又∵BC=CE，∴BC=CN

AM=MB ∴CM是△ABN的中位线

BN=2CM，即EF=2CM .

证法4(2)：(旋转法)

如图4，将△CEF绕点C，逆时针旋转900得△CNB，同证法4(1) 可得EF=2CM.

证法4(3)：(旋转法)

如图5，将△CAB连同中线CM一起，绕点C逆时针旋转900得△CPF，PF边上中线为CQ，同证法4（1）类似可得EF=2CQ=2CM..

证法4(4)：(旋转法)

如图6，将△CAB连同中线CM一起，绕点C顺时针旋转900得△CEP，PE边上中线为CQ, 同证法4（3）.

以上将多种证明方法进行了归类，由于此题证明方法很多不可能一一例举，比如：本题可参照证法1中的MN 一条

辅助线，来证明△MNC∽△CEF 也可以证明：EF=2CM。

值得注意的是：在进行几何题的证明时，题目中有相等的线段或有相等的角的情况下，图形较复杂且题设和结论联系较为松散。如果亲自动手操作，画一画、剪一剪，拼一拼，转一转，通过旋转后会产生新的图形，使已知条件相对集中，就可能有新的发现，就会产生灵感，就会在解题思路上有所突破。要鼓励学生大胆地进行尝试。

教学中，老师可精选几道一题多解的例题，供学有余力的学生选做，通过学生的实际练习，去摸索、探究、体验，老师及时进行解题方法指导，相信学生的几何解题能力会有大的提高。