二轮复习之函数图像及图像性质的应用(基础篇)
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②对称变换： Ⅰ、函数 的图像可以将函数 的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=f(x)
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅲ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于原点对称即可得到； y=f(x)
Ⅳ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于直线
对称得到。
y=f(x)
二轮复习之函数图像及图像性质的应用（基础篇）
适用学
高中数学
科
适用年级 高三
适用区
人教版
域
课时时长（分
60
钟）
知识点
1、 掌握各种图像的及其性质 2、 掌握图形的变换问题
教学目 1、 掌握基本初等函数的图象的画法及性质
标
2、 掌握各种图象变换规则，
教学重
复合图像图像的画法及其性质
点
教学难
复合图像图像的画法及其性质
点
教学过程
一、高考解读
函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函 数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易 的作用
因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化 的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质
二、复习预习
1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比 例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 等；
【总结与思考】该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势 和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变 量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例题3 对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称； (2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有 四个不同实根，求这些实根之和
例题2 设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的值为
【规范解答】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为， 设 ，则 ， 所以
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4； 当x＜0 即 时， ≥0可化为
，
在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4
例题4 如图，点A、B、C都在函数y= 的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2
又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积 为f(a),△A′BC′的面积为g(a)
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式； (2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论
【规范解答】(1)连结AA′、BB′、CC′, 则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
( ).
B x y O 1 1 C x y 1 1 D O
【规范解答】 函数有意义,需使
,其定义域为
,排除C,D,又因为
,所以当
时函数为减函数,故选A . 【总结与思考】 本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本 题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对 其进行考察其余的性质.
= (A′A+C′C)= ( ),
g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B=
∴f(a)<g(a)
【总结与思考】 本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、 图形的组合等
充分借助图像信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题 的突破口
例题5 设 ，函数
． （Ⅰ）若 是函数 的极值点，求 的值； （Ⅱ）若函数 ，在 处取得最大值，求 的取值范围．
Ⅴ、函数
的图像可以将函数
的图像关于直线
对称即可得到； y=f(x)
y=f(2ax)。 ③翻折变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数
的图像的
轴下方部分沿
轴翻折到
轴上方，去掉原
轴下方部分，并保留
的
轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数
x=f(y)
的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到
倍得到； Ⅱ、函数
y=f(x) y=af(x)
的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩（ ）为原来的 倍得到。
f(x) y=f(x) y=f(
) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
③翻折变换： Ⅰ、函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留
y=f(x) x=f(y)
的 轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到
④伸缩变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 或压缩（ ）为原来的
④伸缩变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数
的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
或压缩（
）为原来的Байду номын сангаас
倍得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=af(x)
的图像可以将函数
的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长
或压缩（
）为原来的
倍得到。 f(x)
y=f(x)
y=f(
)
四、例题精析
例题1 函数
的图像大致为
1 x y 1 O A x y O 1 1
(2)解 由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，
若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根， 若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根， ∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8 即f(x)=0的四根之和为8
【总结与思考】把证明图像对称问题转化到点的对称问题 数形结合、等价转化
要把表列在关键处，要把线连在恰当处
这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个 大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段，是一个难点
用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变 换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数
1．函数图象 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描
点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋 势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成 线
的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向右 平移 个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(xh)；
Ⅱ、竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下 平移 个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)h 。
三、知识讲解
考点1
作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和 图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式； ③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋 势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成 线
要把表列在关键处，要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个 大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段，是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变 换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
考点2
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数
【规范解答】（Ⅰ） ． 因为 是函数 的极值点，所以 ，即
，因此
． 经验证，当
时，
是函数
的极值点． （Ⅱ）由题设，
． 当
在区间
上的最大值为
时，
， 即
． 故得
． 反之，当
时，对任意
，
， 而 ，故 在区间 上的最大值为 ． 综上， 的取值范围为 ．
【总结与思考】借助函数图像的变换规则解决实际问题。
课程小结
2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变 换、伸缩变换等；
3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分 布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；
4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
的图像，了解它们的变化情况。
【规范解答】(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),
∵ =a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，
又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0, ∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上， 故y=f(x)的图像关于直线x=a对称
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=f(x)
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅲ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于原点对称即可得到； y=f(x)
Ⅳ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于直线 对称得到。
Ⅴ、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到； y=f(x) y=f(2ax)。
的图像可以把函数
的图像沿
轴方向向左
或向右
平移
个单位即可得到； 1）y=f(x)
y=f(x+h)；2）y=f(x)
y=f(xh)； Ⅱ、竖直平移：函数
的图像可以把函数
的图像沿
轴方向向上
或向下
平移
个单位即可得到； 1）y=f(x)
y=f(x)+h；2）y=f(x)
y=f(x)h
。 ②对称变换： Ⅰ、函数
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=f(x)
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅲ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于原点对称即可得到； y=f(x)
Ⅳ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于直线
对称得到。
y=f(x)
二轮复习之函数图像及图像性质的应用（基础篇）
适用学
高中数学
科
适用年级 高三
适用区
人教版
域
课时时长（分
60
钟）
知识点
1、 掌握各种图像的及其性质 2、 掌握图形的变换问题
教学目 1、 掌握基本初等函数的图象的画法及性质
标
2、 掌握各种图象变换规则，
教学重
复合图像图像的画法及其性质
点
教学难
复合图像图像的画法及其性质
点
教学过程
一、高考解读
函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函 数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易 的作用
因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化 的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质
二、复习预习
1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比 例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 等；
【总结与思考】该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势 和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变 量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例题3 对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称； (2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有 四个不同实根，求这些实根之和
例题2 设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的值为
【规范解答】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为， 设 ，则 ， 所以
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4； 当x＜0 即 时， ≥0可化为
，
在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4
例题4 如图，点A、B、C都在函数y= 的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2
又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积 为f(a),△A′BC′的面积为g(a)
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式； (2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论
【规范解答】(1)连结AA′、BB′、CC′, 则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
( ).
B x y O 1 1 C x y 1 1 D O
【规范解答】 函数有意义,需使
,其定义域为
,排除C,D,又因为
,所以当
时函数为减函数,故选A . 【总结与思考】 本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本 题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对 其进行考察其余的性质.
= (A′A+C′C)= ( ),
g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B=
∴f(a)<g(a)
【总结与思考】 本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、 图形的组合等
充分借助图像信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题 的突破口
例题5 设 ，函数
． （Ⅰ）若 是函数 的极值点，求 的值； （Ⅱ）若函数 ，在 处取得最大值，求 的取值范围．
Ⅴ、函数
的图像可以将函数
的图像关于直线
对称即可得到； y=f(x)
y=f(2ax)。 ③翻折变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数
的图像的
轴下方部分沿
轴翻折到
轴上方，去掉原
轴下方部分，并保留
的
轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数
x=f(y)
的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到
倍得到； Ⅱ、函数
y=f(x) y=af(x)
的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩（ ）为原来的 倍得到。
f(x) y=f(x) y=f(
) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
③翻折变换： Ⅰ、函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留
y=f(x) x=f(y)
的 轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到
④伸缩变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 或压缩（ ）为原来的
④伸缩变换： Ⅰ、函数
的图像可以将函数
的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
或压缩（
）为原来的Байду номын сангаас
倍得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=af(x)
的图像可以将函数
的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长
或压缩（
）为原来的
倍得到。 f(x)
y=f(x)
y=f(
)
四、例题精析
例题1 函数
的图像大致为
1 x y 1 O A x y O 1 1
(2)解 由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，
若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根， 若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根， ∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8 即f(x)=0的四根之和为8
【总结与思考】把证明图像对称问题转化到点的对称问题 数形结合、等价转化
要把表列在关键处，要把线连在恰当处
这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个 大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段，是一个难点
用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变 换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数
1．函数图象 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描
点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋 势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成 线
的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向右 平移 个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(xh)；
Ⅱ、竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下 平移 个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)h 。
三、知识讲解
考点1
作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和 图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式； ③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋 势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成 线
要把表列在关键处，要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个 大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段，是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变 换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
考点2
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数
【规范解答】（Ⅰ） ． 因为 是函数 的极值点，所以 ，即
，因此
． 经验证，当
时，
是函数
的极值点． （Ⅱ）由题设，
． 当
在区间
上的最大值为
时，
， 即
． 故得
． 反之，当
时，对任意
，
， 而 ，故 在区间 上的最大值为 ． 综上， 的取值范围为 ．
【总结与思考】借助函数图像的变换规则解决实际问题。
课程小结
2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变 换、伸缩变换等；
3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分 布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；
4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
的图像，了解它们的变化情况。
【规范解答】(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),
∵ =a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，
又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0, ∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上， 故y=f(x)的图像关于直线x=a对称
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅱ、函数
y=f(x)
的图像可以将函数
的图像关于
轴对称即可得到；
y=f(x)
Ⅲ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于原点对称即可得到； y=f(x)
Ⅳ、函数
y= f(x)
的图像可以将函数
的图像关于直线 对称得到。
Ⅴ、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到； y=f(x) y=f(2ax)。
的图像可以把函数
的图像沿
轴方向向左
或向右
平移
个单位即可得到； 1）y=f(x)
y=f(x+h)；2）y=f(x)
y=f(xh)； Ⅱ、竖直平移：函数
的图像可以把函数
的图像沿
轴方向向上
或向下
平移
个单位即可得到； 1）y=f(x)
y=f(x)+h；2）y=f(x)
y=f(x)h
。 ②对称变换： Ⅰ、函数