2014版高中数学复习方略课时提升作业：4.3平面向量的数量积(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(二十七)

一、选择题

1.有下列四个命题:

①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )

(A)a∥b (B)a⊥b

(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b

3.(2013·渭南模拟)设向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值是( )

(A) (B)1 (C) (D)

4.(2013·南昌模拟)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角的正切值等于-,则x的值为( )

(A) (B)2

(C)-2 (D)-2,

5.在△ABC中,=1,=2,则AB边的长度为( )

(A)1 (B)3 (C)5 (D)9

6.(2013·重庆模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2, a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为( )

(A)1 (B)(C)(D)2

7.(2013·营口模拟)设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则( )

(A)| a|<|b|,且θ是钝角

(B)| a|<|b|,且θ是锐角

(C)| a|>|b|,且θ是钝角

(D)| a|>|b|,且θ是锐角

8.已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2,且∠BAC=30°,则△AOB的面积为( )

(A)2 (B)1 (C) (D)

9.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n= (cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( ) (A),(B),

(C),(D),

10.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且⊥,则向量的坐标为( )

(A)(-,) (B)(-,) (C)(-,) (D)(-,)

二、填空题

11.(2013·黄山模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .

12.如图,半圆的直径|AB|=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P

为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是.

13.(2013·杭州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真命题的序号是. 14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则xy的范围是.

三、解答题

15.(2013·晋中模拟)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,2

AD=10.

(1)求D点的坐标.

(2)若D点在第二象限,用,表示.

(3)设=(t,2),若3+与垂直,求的坐标.

答案解析

1.【解析】选A.设a,b夹角为θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2;

②|a+b|与|a-b|大小不确定;

③正确;

④a∥b,当a,b同向时有a·b=|a|·|b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|.故不正确.

2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.

【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.

【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是( )

(A)a=b (B)|a|=|b|

(C)a⊥b (D)a∥b

【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.

3.【解析】选C.≧|u|2=(a+t b)2=a2+2t a·b+t2b2

=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2

=t2+t+1=(t+)2+≥,

≨|u|≥,故选C.

4.【解析】选C.≧a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角等于θ,

≨a·b=3x-6=cosθ,

≨cosθ=.

≧tanθ=-,≨cosθ=-.

≨=-,

整理得3x2-20x-52=0.

解得x1=-2,x2=.

经检验x2=是增根,x1=-2满足要求.

≨x=-2.

5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果. 【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D.

由条件得==||cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.

故|AB|=|AD|+|DB|=3.

6.【解析】选B.由a·b=0知a⊥b,又|a|=|b|=2,所以a与a - b所成角为.若| a +c|最小,则c与a - b共线反向,从而a与c的夹角为.

≧(a + c)2= a 2+ c 2+2|a||c|·cos= c 2-2| c |+4=(| c |-)2+2≥2,≨|a+c|≥,

即| a +c|的最小值为.

7.【解析】选D.f(x)=- a·b x2+(a2-b 2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+≦)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图像的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即

所以a, b的夹角为锐角,且|a|>| b |.

8.【解析】选D.由++=0得O为△ABC的重心,≨S△AOB=S△ABC.

又·=||||cos30°=2,

得||||=4,≨S△ABC=||||sin30°=1.

≨S△AOB=.