4.3 三角函数的图象与性质-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§4.3 三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π

2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π

2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

⎧⎫

π

概念方法微思考

1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？

提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )；

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )

(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π

3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编

2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

4的最小正周期是________． 答案 π

3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦

⎤－3

2，3

解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π

6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－1

2，1， 故3sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3

2，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦

⎤－3

2，3. 4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π

4的单调递减区间为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫

π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )

解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π

2＋k π(k ∈Z )，

得π8＋k π2

2

(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π

2(k ∈Z )．

题组三 易错自纠

5．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|cos x | C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π

4 答案 ABC

解析 A 项，y ＝cos |2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； B 项，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； C 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π

2

＝π；

D 项，y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2

. 6．(多选)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π

2(x ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数 答案 ABC

解析 由题意，可得f (x )＝－cos x ， 对于选项A ，T ＝2π

1

＝2π，所以选项A 正确；

对于选项B ，y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上是增函数，所以选项B 正确； 对于选项C ，f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x ＝0对称，所以选项C 正确；选项D 错误．故选ABC.

7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π

4的对称轴为__________________，对称中心为________． 答案 x ＝3π4

＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 解析 由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π

4

＋k π，k ∈Z .

故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的对称轴为x ＝3π4

＋k π，k ∈Z ；对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z .

三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )

A ．2－ 3

B ．0

C ．－1

D ．－1－3 答案 A

解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π

6

，

所以－

3

2

≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2. 所以y max ＋y min ＝2－ 3.

(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 答案 ⎣

⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π

4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π

4

，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π

4，k ∈Z .

(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2

x 的值域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤78，2

解析 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤－1

2，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝

⎛⎭⎫sin x －142＋7

8， 所以当sin x ＝14时，y min ＝7

8

，当sin x ＝

－12或sin x ＝1时，y max ＝2.即函数的值域为⎣⎡⎦⎤78，2.