(整理)函数逼近
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
第十讲：函数逼近
H3 ( x) 8x 12x H4 ( x) 16x 48x 12 H5 ( x) 32x5 160x3 600x2 120x L L
5.第二类切比雪夫多项式系 /* Second Chebyshev Polynomials */ sin[(n 1) arccos x] un ( x) (1 x 1, n 0,1, 2,L ) 2 1 x
2
h
2
2 f
h f
h
2
正交函数系线性无关的性质： 定理1 函数系 {0 ( x),L ,n ( x),L } 中函数{0 ( x),1 ( x),L ,n ( x)} 线性无关的充要条件为Gram矩阵
(0 , 0 ) (0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 Gn 1 1 0 L L (n , 0 ) ( n , 1 ) 非奇异，即 det Gn1 0 。 L L L L (0 , n ) (1 , n ) L ( n , n )
n
i j i j
i, j 0,1,L
则正交；若 Ai 1 ,则称 {0 ( x),1 ( x),L L } 为标准正交系。
连续情形：函数系{0 ( x), 1 ( x),L L }，若有
则正交；若 Ai 1 ,则称 {0 ( x),1 ( x),L L } 为标准正交系。
第五章 函数逼近
/* Approximation */
用函数集合 V(x)中的简单函数g(x) 来近 似代替一个复杂的已知函数或一个仅知道有 限个函数值的函数f(x)，这就是函数逼近。 g(x) 称为逼近函数，f(x)称为被逼近函数。近 f ( x) g ( x) 均 似一般有两种衡量标准:(a) xmax [ a ,b ] b 匀逼近或一致逼近;(b) a ( x)[ f ( x) g ( x)]2 dx 平方逼近或均方逼近. 一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项 式（代数多项式或三角多项式）或有理分式 函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
函数逼近基本概念
如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用目录引言 0第一章函数逼近 (1)§1.1 函数逼近的产生背景及研究意义 (1)§1.2 基础知识 (2)§1.2.1 函数逼近与函数空间 (2)§1.2.2 范数与赋范空间 (3)§1.3 最佳平方逼近 (4)§1.3.1 最佳平方逼近及其计算 (4)§1.3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 (5)§1.4 有理逼近 (7)§1.4.1 有理逼近的定义及构造 (7)§1.4.2 有理插值函数的存在性 (8)§1.4.3 有理插值函数的唯一性 (9)§1.4.4 几种常见的有理逼近 (10)§1.5 三角多项式逼近与多项式逼近 (11)§1.5.1 三角多项式逼近 (11)§1.5.2 傅里叶级数的一致收敛性 (11)§1.5.3 以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 (12)§1.5.4 [0,π]上连续函数的三角多项式逼近 (13)§1.5.5 闭区间上连续函数的三角多项式逼近 (13)§1.5.6 闭区间上连续函数的多项式逼近 (14)§1.6 其他函数逼近 (14)§1.6.1 曲线拟合的最小二乘法 (14)§1.6.2 泰勒级数 (15)第二章函数逼近应用 (17)§2.1 有理逼近在数值优化中的应用 (17)§2.1.1 直线搜索方法 (17)§2.1.2 计算方法 (18)§2.1.3 计算实例 (18)§2.2 各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度 (19)§2.3 各种函数逼近的计算实例 (20)§2.3.1 最佳平方逼近多项式计算实例 (20)§2.3.2 曲线拟合的最小二乘法计算实例 (21)§2.3.3 帕德逼近的计算实例 (22)参考文献 (24)引言函数逼近是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题．在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差．这就是函数逼近问题．在函数逼近问题中,用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了,在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义．所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富．给定函数)(xf的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种f，用来逼近)(x函数类叫做逼近函数类．逼近函数类可以有多种选择．第一章 函数逼近§1.1 函数逼近的产生背景及研究意义从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V ．彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题．这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的．在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法．切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n 次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理．他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果．1885年德国数学家K ．（T.W ．）魏尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示．虽然没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好，但仍可以说切比雪夫和魏尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者． 在自然科学与科学技术领域中存在着大量的需要解决的非线性问题．近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．我们举一个例子，如()x +1ln 有如（1-1）式的分式展开．⋅⋅⋅+++++=+524221211)1(2222x x x x x x In （1-1） 取第n 级渐近分式，即可得到()x +1ln 的有理逼近式()x R n ．一般地，()x R n 是()x +1ln 的[n/n]帕徳逼近,它的展开式将含有()x +1ln 的Taylor 展开式前2n 项的和()x T n 2，并且()x R n 与()x T n 2的独立参数个数相同．记R ε与T ε分别表示()x R n 与()x T n2的逼近误差，并取x=1．两种逼近的计算结果与误差对比如表1．n R 2n T 10.667 0.26⨯10-1 0．5 0．19 20．69231 0．84⨯10-3 0．58 0．11 30．693122 0．25⨯10-4 0．617 0．76⨯10-1 40．69314642 0．76⨯10-6 0．634 0．58⨯10--2由表1-1可知，R4(1) 比T8(1)的精确度高几乎105倍．这就说明开展某些函数的有理逼近或一般非线性逼近问题的研究是十分必要的．随着科学技术的不断发展，函数逼近方法已在实际应用中显示出巨大的优势和开发潜力．§1.2 基础知识§1.2.1 函数逼近与函数空间在数值计算中经常要计算函数值，如计算机上计算基本初等函数及其他特殊函数．这些都涉及到用多项式、有理分式或分段多项式等便于在计算机上计算的简单函数逼近已给函数，使它达到精度要求而且计算量尽量小．数值逼近是数值计算中最基本的问题．为了在数学上描述更精确，下面先介绍一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间．例如，在“线性代数”中将所有实n 组成的，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间记作n R ，称为n 维向量空间．类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上的一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间．又如所有定义在区间],[b a 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作],[b a C 称为函数空间．定义1.1 设集合S 是数域P 上的线性空间，S x x n ∈,...,1，如果存在不全为零的数P a a n ∈,...,1使得0...2211=+++n n x a x a x a （1-2）则称n x x ,,1⋅⋅⋅是线性相关的；否则，若等式（1-2）只对021==⋅⋅⋅==n a a a 成立，则称n x x ,,1⋅⋅⋅是线性无关的．若S 是由n 个线性无关元素 n x x ,,1⋅⋅⋅生成的，即S x ∈∀都n n x a x a x +⋅⋅⋅+=11，则称 n x x ,,1⋅⋅⋅是S 的一组基，记作}{1n x x span S ⋅⋅⋅=，并称S 是n 维的．下面考察次数不超过n 的多项式集合n H ，其元素n n n x a x a a x p ⋅⋅⋅++=10)(是由1+n 个系数（n a a a ⋅⋅⋅10,）唯一确定的，n x x ⋅⋅⋅,1， 线性无关，n H =span {n x x ,,,1⋅⋅⋅}，（n a a a ,,,10⋅⋅⋅）是)(x p n 的坐标向量，故n H 是1+n 维的．对连续函数],[)(b a C x f ∈不能用有限个线性无关的函数表示，故],[b a C 是无限维的，但)(x f 可用有限维的多项式空间n H 的元素)(x p 逼近，使误差ε≤-≤≤)()(max x p x f bx a （任何给定的正数），这就是著名的维尔斯特拉斯定理．定理1.1 设],[)(b a C x f ∈，则对∈∃>∀)(,0x p n εn H 使得ε<-)()(x p x f 在],[b a 上一致成立．1912年伯恩斯坦构造了一个多项式0(,)()(1)nn k n k n k k k B f x f C x x n -==-∑ 其中(1)(1)!n k n n n k C k -⋅⋅⋅-+=为二项式展开系数，并证明了lim (,)n x B f x →∞在[0,1]上一致 成立，若()f x 在[0,1]上m 阶可导则还有()()lim (,)()m m n x B f x f x →∞=．这也从理论上给出了定理1．1的证明．§1.2.2 范数与赋范空间为了在线性空间中衡量元素的大小，可将在n R 空间的范数定义推广到一般线性空间S ．定义1.2 设S f ∈,若存在唯一实数∙，满足条件1．0≥f 当且仅当0=f 时0≡f ；2．R a f a af ∈=,;3．S g f g f g f ∈∀+≤+,,; 则称∙为线性空间S 上的范数．在线性空间S 上定义了范数∙，称为赋范线性空间，记为X ．例如，在n R 上的向量T n x x x )(,1⋅⋅⋅=的三种常用范数为 i n i x x≤≤∞=1max ，称∞-范数或最大范数； ∑==n i i x x 11，称为1-范数； 21122)(∑==n i i x x ，称为2-范数． 类似地对连续函数空间],[b a C 的)(x f 也可以定义以下三种范数：)(max x f f bx a ≤≤∞=，称为∞-范数；dx x f fb a ⎰=)(1，称为1-范数；2122))((dx x f f b a⎰=，称为2-范数．可以验证，这样定义的范数∞∙，1∙，2∙满足定义1．2中的3个条件．定义1.3 设X 为赋范线性空间，其范数为∙，若序列X ⊂∞0n }{ϕ，X f ∈,使0lim =-∞→f n n ϕ则称序列∞0}{n ϕ依范数∙收敛于f ，记作f n n =∞→ϕlim ．对],[)(b a C x f ∈及∞∙，上述 收敛定义就是∞0}{n ϕ在区间[b a ,]上一致收敛于)(x f ．若范数为2-范数，则称上述收敛定义为平方收敛或均方收敛．§1.3 最佳平方逼近§1.3.1 最佳平方逼近及其计算现在我们研究在区间[]b a ,上一般的最佳平方逼近问题．定义1．4 对[]b a C x f ,)(∈中的一个子集{)}(),...(),(10x x x span n ψψψψ=,求ψ∈)(*x S ，使：⎰-=-=-∈∈ba x S x S dx x S x f x x S x f x S x f 2)(22)(22*)]()()[()()()()(min min ρψψ，称)(*x S 是)(x f 在子集ψ中的最佳平方逼近函数．若令)()()(*x S x f x -=δ,则平方误差为∑=-=--=--=n k k x f x a x f x f x S x f x f x S x f x S x f x 022***22))(),(()( ))(),(())()(( ))()(),()(()(ψδ （1-3）若取[]1,0)(,1)(,)(C x f x x x k k ∈≡=ρψ，在n P 中求n 次最佳平方逼近多项式：n n x a x a a x S **1*0*...)(++=此时 11))(),((1++==⎰+j k dx x x x j k k j ψψ k k k d dx x x f x x f ==⎰10)())(),((ψ若用H 表示),....,1(n n x x G G =对应的矩阵，即：121...2111............21...312111...211+++++n n n n n 称为希尔伯特(Hilbert)矩阵,记T n a a a a ),...,,(10=T n d d d d ),...,,(10=,则: d Ha =的解*kk a a =),...,2,1,0(n k =即为所求． §1.3.2 用正交函数组作最佳平方逼近用},....,1{n x x 做基，求最佳平方逼近多项式,当n 较大时,系数矩阵是高度病态的,因此直接求解法方程是相当困难的,通常是采用正交多项式做基．下面介绍如何用正 交函数组作最佳平方逼近．设[]b a C x f ,)(∈{})(),...(),(10x x x span n ψψψψ=， 若)(),...(),(10x x x n ψψψ是正交函数族，则：0))(),((=x x j i ψψj i ≠．而0))(),((>x x j i ψψ, 故法方程的系数矩阵))(),...(),((10x x x G n n ψψψ=为非奇异对角阵, 且法方程的解为:())(),())(),((*x x x x f a k k k k ψψψ= ),...,2,1,0(n k = （1-4）于是[]b a C x f ,)(∈在ψ中的最佳平方逼近函数为：)()())(),(()(022*x x x x f x S k nk k k ψψψ∑== （1-5）由（1-3）可得均方误差为21202222*2)])())(),(([)(( )()()(∑=-=-=nk k k n n x x x f x f x S x f x ψψδ （1-6）由此可得贝赛尔不等式:22122*)())((x f x ank k k≤∑=ψ若[]b a C x f ,)(∈按正交函数族)}({x k ψ展开，系数*ka ),...,2,1,0(n k =按（1-4）计算，得级数∑∞=0*)(k k k x a ψ，称为)(x f 的广义傅立叶级数，系数*ka 称为广义傅立叶系数． 它是傅立叶级数的直接推广．设{})(),...(),(10x x x n ψψψ是正交多项式，{})(),...(),(10x x x span n ψψψψ=，)(x k ψ，),...,2,1,0(n k =可由n x x ,...,1, 正交化得到，则有下面的收敛定理．定理 1.2 设[]b a C x f ,)(∈,)(*x S 是由（1-5）给出的)(x f 的最佳平方逼近多项式，其中{})(),...(),(10x x x n ψψψ是正交多项式族，则有0)()(lim 2*=-∞→x S x f nn ． 下面考虑函数[]1,1)(-∈C x f ,按勒让德多项式{})(),...(),(10x P x P x P n 展开，由（1-4）, （1-5）可得)(...)()()(*1*10*0*x P a x P a x P a x S n n n ++= （1-7）其中()()()()()()()()⎰-+==11*212,,dx x P x f k x P x P x P x f ak k k k k（1-8） 根据（1-6）,平方误差为： ()()∑⎰=-+-=nk k k a k dx x fx 02*11222121δ 由定理1可得： 0)()(lim 2*=-∞→x S x f nn 如果)(x f 满足光滑性条件还可得到)(*x S n 一致收敛于)(x f 的结论．定理 1.3 设[]1,1)(2-∈C x f f(x)∈C 2[-1,1],)(*x S n 由(1-7)给出,则对任意[]1,1-∈x 任意0>ε当n 充分大时有：()()nx S x f n ε≤-*．对于首项系数为1的勒让德多项式n P 有以下性质：定理1.4 在所有最高次项系数为1的n 次多项式中,勒让德多项式()x P n 在[]1,1-上与零的平方误差最小．§1.4 有理逼近§1.4.1 有理逼近的定义及构造有理逼近作为非线性逼近的一个重要特殊情形，其实就是用一个易于计算的有理函数来有效地近似较复杂的已知函数．下面引进有理逼近方法，先介绍有理函数插值的概念．设已给定m+n+1个不同的点n m x x x +,...,,10和相应地函数值()()()n m x f x f x f +,...,,10,所谓的有理函数插值问题，乃是求有理分式函数1110111,)()()(b x b x b x b a x a x a x a x D x N x R n n n n m m m m n m n m ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==---- 使之满足插值条件如下)()(,j j n m x f x R =，n m j +⋅⋅⋅=,,1,0其中()x N m ,()x D n 分别为x 的m 与n 次多项式，m 与n 是给定的非负整数．有理函数的逼近方法是用有理函数()()()x D x N x R n m n m =,来近似函数()x f ．即令()()()x D x N x f n m ≈,()()()x D x f x N n m ≈比较两边的系数，可得∑∞=++=-01)()()(k kk n m n m xr xx D x f x N用()x R n m ,近似()x f 时，其截断误差的主要部分是()x D x r E n n m 10++=（这里设()∑∞==0k k k x c x f ),大量计算例子表明，采用m,n 相等或接近相等时为最佳．对于有理逼近中有理函数的构造存在着许多种构造方法（如多项式、有理分式等）．但在通常情况下一般利用连分式来构造有理函数()x R n m ,．首先按递推的方法给出如下式倒差商的定义．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--==----n m k x a x a x x x a x a x a x x x a x f x a k k k k k ,,2,1,)()()()()()()()(1111000010设连分函数如下nm n m a x x x x a x x a x x a x R +++-+-+-+-+=1221100)(一般写成nm n m a x x a x x a x x a x R +++-+⋅⋅⋅+-+-+=121100)( 其中()x a a 00=,()x a a 11=,．．．,()x a a n m n m ++=为倒差商．将右式整理，即完成了有理函数()x R mn 的构造．例如函数x f +=1，可以利用逐次迭代算法的到如下式形式的连分式展开．因为x f +=1，即为x f =-12．⇒++=11f xf )))1(11(11(1f xx x f ++++++=用)1(1f xf ++=无限迭代下去就可以得到x f +=1的连分式展开如下 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=+22211xx x xm,n 相等或接近相等时为最佳．§1.4.2 有理插值函数的存在性关于有理函数插值的定义在本文第二章中已经详细给出．在其基础上定义两个有理函数如下)()()(111x q x p x r =， )()()(222x q x p x r = 如果存在一个非零常数a ，使得)()()()(1212x aq x q x ap x p ==， （1-9）则称二者恒等，并记为)()(21x r x r ≡．如果满足式（1-10），则称两个有理函数r 1(x)与r 2(x)等价，记为()()x r x r 21~．)()()()(1221x q x p x q x p ≡ （1-10）一般来说，插值问题（1-9）、（1-10）所形成的问题是一个非线性问题．但是当有理分式函数r(x) = p(x)/q(x)是插值问题的解时，当然也有。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总
一、函数逼近的几种算法
1、最小二乘法
最小二乘法是一种基于线性模型的函数逼近算法，它的基本假设是拟合函数的形状可以用线性模型表示，且被拟合数据存在一定的噪声存在，最小二乘法的核心思想就是最小化残差（拟合数据与模型之间的偏差）的平方和来寻找最佳拟合参数。
2、Kriging
Kriging（克里金插值）是一种基于空间相关数据的空间插值算法，它会根据空间相关性分析，通过构建模型，拟合、估计和预测空间数据之间的关系，从而实现函数逼近。
3、K近邻算法
K近邻（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种基于实例学习的分类算法，它通过计算测试实例与训练实例之间的距离，来决定其所属的类别。
K近邻算法也可以用于函数逼近，这种方法无需训练阶段，可以快速的拟合不同的函数，而且拟合函数的过程中也不需要优化参数。
4、神经网络
神经网络是一类用于函数逼近的算法，它通过模拟人脑神经网络的连接模式，在一系列训练数据的基础上，得到一些函数的参数，从而实现函数的拟合和预测。
二、函数逼近算法的应用
1、多元线性回归
多元线性回归利用最小二乘法，可以对多元关系进行拟合。
函数逼近方法
函数逼近方法函数逼近方法是一种数学工具，其作用是逼近出一个较为接近于真实情况的函数。
本文将探讨函数逼近方法的定义、原理、应用及优缺点等相关内容。
一、定义函数逼近方法是指用一组建立在确定的样本点上的函数，去逼近一个函数，使得从逼近函数到被逼近函数的误差最小，以达到精确求解的目的。
二、原理函数逼近方法的原理是通过选取一组基函数，利用线性组合的方式来逼近目标函数或函数离散点数据。
其中，基函数的选择对于逼近结果至关重要。
在实际应用中，可以根据问题的性质、数据的分布等因素来选择基函数。
三、应用函数逼近方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用，如图像处理、信号处理、数值计算等领域。
其中，最常见的方法是多项式逼近方法和小波函数逼近方法。
多项式逼近方法是指用高次多项式去近似目标函数的方法，其优点是简单易用、计算速度快，但是缺点是容易产生过拟合现象，且对于一些非线性的函数逼近效果不佳。
小波函数逼近方法是目前应用最广泛的函数逼近方法，其优点是适用于不规则数据、能够有效地处理噪声数据等，并且容易实现。
但是，小波函数逼近方法对于数据的选取和基函数的选择要求较高，且相关算法较为复杂，需要一定的数学基础和算法实现能力。
四、优缺点函数逼近方法的优点是能够处理各种类型的数据，如连续、离散、噪音等，适用性强。
同时，函数逼近方法对于数据分布的要求较低，可以处理不规则数据。
此外，函数逼近方法可以建立模型，进而进行模拟和预测。
函数逼近方法的缺点是容易产生过拟合现象，即模型过于复杂，对训练数据可以完美拟合，但是对测试数据的适应性不强。
此外，函数逼近方法的算法较为复杂，需要一定的数学基础和计算机实现能力。
总之，函数逼近方法在科学研究和工程实践中发挥着重要的作用，对于数据处理和模型建立具有不可或缺的作用。
在应用时，需要根据问题需要选择合适的函数逼近方法，以达到最佳的逼近效果。
第3讲-函数逼近
5
函数插值是插值函数 p(x) 与被插函数 f(x) 在节点处函数 值相同，即 P ( x i )
f ( x i )， ( i 0 ,1, , n ) ；而曲线拟合函数 ( x ) 不
要求严格地通过所有数据点 ( x i , y i ) 。 即，拟合函数 (x) 在xi处的偏差(亦称残差）
5
4
实 验 数 据
3
y
2 1
0
1
2
3
4
5
x
17
例 设某实验数据如下： i xi yi 1 0 5 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 4 2 6 5 3
6 6 6 2 a0m a1 xi a2 xi yi i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 2 3 a0 xi a1 xi a2 xi xi yi i 1 i 1 i 1 i1 6 6 6 6 2 3 4 2 a0 xi a1 xi a2 xi xi yi i 1 i 1 i 1 i1
13.8434
70.376
i
i 1 4
2 i
i
a0 3.9374 a1 7.4626
4 a 0 7 .32 a1 70 .376 7 .32 a 0 13 .8434 a1 132 .12985
x y
i
132.12985
y 3.9374 7.4626 x
2
2
即
e
1 2
i0
n
2 i
( x
i0
n
i
) f ( x i )
2
最小。
这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的 最小二乘法。
函数逼近方法
函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。
它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。
通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。
二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。
插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。
给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。
拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。
2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。
牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。
牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。
三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。
最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。
3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。
给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。
函数的逼近
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M
函数逼近基本概念
加权内积
(x, y)
n
i xi yi；
加 权 范 数 || x ||2
n
1/2
i xi2
i1
i1
n
若x, y C n， 则 定 义 加 权 内 积 ( x, y) i xi yi .
i 1
定 义 4 设 ( x)是 区 间[a, b（] 有 限 的 或 无 限 的 ） 上的 非 负 函 数,
(2) (u,v) (u,v), R;
(3) (u v, w) (u,w) (v,w), u,v,w X ; (4) (u, u) 0,当且仅当u 0时，(u, u) 0. 则称(u,v)为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间称 为内积空间. (v,u)为(u,v)的共轭，当K R时 (v,u) (u,v).
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y的内积定义为 : ( x, y) x1 y1 L , xn yn.
将其推广有如下定义 .
定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件： (1) (u,v) (v, u), u,v X ;
1，||
f ( x) ||2
b a
1/2
f 2( x)dx .
设0, ,n C[a,b],则Gram矩阵为
G G(0 , ,n )
(0 ,0 ) (0 ,1 )
(1
,0
)
(1,1 )
(n ,0 ) (n ,1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
(n ,n )
根据定理3，0, ,n线性无关 det(G) 0.
(u1, un ) (u2, un )
函数逼近论方法
函数逼近论方法函数逼近论方法是数学分析中一种重要的方法，其主要应用于函数逼近和函数逼近的误差分析。
它是一种通过一组已知的函数来逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性的方法。
函数逼近论方法可以分为两种基本类型：插值法和最小二乘法。
插值法是通过已知的数据点去推导出未知函数，而最小二乘法则是通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题。
在插值法中，通过已知的数据点去推导出未知函数的形式，通常可以使用拉格朗日插值法或牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过一个多项式去逼近未知函数，这个多项式的系数可以通过已知的数据点来确定；牛顿插值法则是通过多个插值点的差商来构造一个插值多项式。
这两种方法的优缺点不同，适用于不同的情况。
例如，拉格朗日插值法的计算量较小，但插值多项式次数较高；而牛顿插值法的计算量较大，但插值多项式次数较低。
在最小二乘法中，通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题，通常可以使用最小二乘多项式逼近法或最小二乘样条逼近法。
最小二乘多项式逼近法是通过一个多项式去逼近未知函数，并使其在已知数据点处的误差平方和最小化；最小二乘样条逼近法则是通过构造一个分段多项式的组合，使其在已知数据点处的误差平方和最小化。
这两种方法的优缺点也各不相同，适用于不同的情况。
例如，最小二乘多项式逼近法适合于数据点较少的情况，而最小二乘样条逼近法则适合于数据点较多的情况。
除了插值法和最小二乘法之外，还有其他的函数逼近方法，例如曲线拟合法和逆问题法等。
曲线拟合法是通过已知的数据点去拟合一个曲线，可以使用多项式拟合、指数拟合、对数拟合等方法；逆问题法则是通过已知的数据点和一个模型，去求解一个逆问题，例如反演地震波形、恢复图像等。
函数逼近论方法在数学分析中是一种非常重要的方法，它可以通过已知的数据点去逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择适当的函数逼近方法，以达到最优的逼近效果。
第十讲：函数逼近讲解
性质4 正交多项式系{0 (x),1(x), 有如下关系
}中任何相邻三项之间
n1(x) (x n )n (x) n n1(x)
其中
n
an bn
n
bn bn1
(n 1)
an (xn ,n )
f
2
(
xi
)
2
i1
连续情形：
1
1
f f (x) ( f , f )2 ( f (x), f (x))2
1
b f 2 (x)dx 2
a
范数具有如下性质：
(1) 当 f (x) 0 时， f 0 ， f 0 f (x) 0 (2) 对任意实数 有 f ； f
(3) f h f h ；
匀逼近或一致逼近;(b)
b
a
(
x)[
f
(
x)
g
(
x)]2
dx
平方逼近或均方逼近.
一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项
式（代数多项式或三角多项式）或有理分式
函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。
§5.1 内积与正交多项式 / Inner Product & Orthogonal Polynomial /
n (n ,n )
§5.2 常见正交多项式系 / Famous Orthogonal Polynomial /
1.勒让德多项式系 /* Legendre Polynomials */
pn
(x)
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n
p0 (x) 1 p1(x) x
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用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差
称为逼近的误差或余项
在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f(x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
例1验证多项式： 在 上带权(x) = 1两两正交。
解容易验证
而
由定义7.4，结论成立。
有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。
二、常用的正交多项式
1．切比雪夫(чебыщев)多项式
切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。
定义7.5称多项式
(7.3)
为n次的切比雪夫多项式(第一类)。
令
有
所以在区间0≤≤上有n个值
使
即 在[0,]中有n个不同的零点，且由于Tn(x)是n次多项式，所以至多有n个零点，现已找到n个不同的零点，则每一个xk都是Tn(x)的单重零点。
(2)积分 存在，(n= 0, 1, 2,…)，
(3)对非负的连续函数g(x)若 。
则在(a,b)上g(x)0，我们就称(x)为[a,b]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有：
；
等等。
2．内积的概念
定义7.2设f(x)，g(x)C[a,b]，(x)是[a,b]上的权函数，则称
(一)一致逼近
以函数f(x)和p(x)的最大误差
作为度量误差f(x) -p(x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数>0，如果存在函数p(x)，使不等式
成立，则称该函数p(x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。
为f(x)与g(x)在[a,b]上以(x)为权函数的内积。
内积有如下性质：
(1) (f,f)≥0，且(f,f)=0f= 0；
(2) (f,g) = (g,f)；
(3) (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2,g)；
(4)对任意实数k，(kf,g) =k(f,g)。
这些性质，由内积的定义不难得到证明。
(二)平方逼近：
如果我们采用
作为度量误差 的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。
本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p(x)去逼近区间[a, b]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。
由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。
§1正交多项式
一、正交函数系的概念
高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…(7.1)
中任何两个函数的乘积在区间[-,]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[-,]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：
（7.2)
那么这个函数系在[-,]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-,]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念
定义7.1设(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：
(1)(x)≥0，对任意x[a,b]，
由三角恒等式
即得
移项就得上述递推关系(7.5)。
由三项递推关系式可依次写出如下常用的前面几个切比雪夫多项式的表达式：
可见Tn(x)也是普通的n次多项式。
(3)奇偶性：
切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。这是因为
(4)Tn(x)在区间[-1, 1]上有n个不同的零点
。
证由于
3．正交性的概念
定义7.3设f(x)，g(x)C[a,b]若
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交。
定义7.4设在[a,b]上给定函数系 ，若满足条件
则称函数系{k(x)}是[a,b]上带权(x)的正交函数系，特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系 ，则称 为以(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权(x)的n次正交多项式。
对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B(A)中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。
一般，最常见的函数A是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]。
最常用的函数类B有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。
最常用的度量标Βιβλιοθήκη 有两种：第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p(x)与f(x)在节点处具有相同的函数值(甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p(x)虽然有可能很好地逼f(x)，但也可能使逼近f(x)的误差很大，如果实际问题要求p(x)在区间[a,b]上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p(x)去逼近f(x)有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
切比雪夫多项式Tn(x)具有以下性质：
(1)正交性：
由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1, 1]上带权
的正交多项式序列。
且
(7.4)
证因为 ，
令 ，则 ，
于是
(2)递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
(7.5)
证显然，n= 0时， 时，
当n≥1时，令x= cos，则
大家知道，用f(x)的泰勒(Taylor)展开式
的部分和去逼近函数f(x)，也是常用的方法。这种方法的特点是：x越接近于x0，误差就越小，x越偏离x0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：