2021届四川省绵阳南山中学2018级高三上学期9月月考数学(理)试卷参考答案

n
+
nn-1 2
⋅
2
=
n，
所以数列 Sn 为等差数列，∴ an = 2n - 1.
(
Ⅱ
)
∵
Sn
=
n(1+2n-1) 2
=
n2
，∴
bn
=
2n+1 n2 ⋅ (n + 1)2
=
1 n2
-
1 (n + 1)2
，
设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，
则 Tn=
1 12
-
1 22
+
1 22
-
1 32
+⋯+
=
1 x
-
a
=
0，得
x
=
1 a
，
由 fx > 0，得 x ∈ 0,a1 ，由 fx < 0，得 x ∈ a1 , + ∞ ，
此时，函数 y = f x 的单调递增区间为 0,a1 ，单调减区间为 a1 , + ∞ ．
所以函数 f x max = f x 极大值 = f
1 a
=
lna1
-
1
=
只需 b ≥ x - 2 ex + lnx - x 对任意的 x ∈ 31 ,1 恒成立即可． 8 分
=
2sin(2x
-
π6 )
+
1，
4
分
则函数
y
=
h(x)
的最小正周期
T
=
2π 2
=
π，
6
分
令
-π2
+
2kπ
≤
2x
-
π 6
≤
π 2
+
2kπ(k
∈
Z)，得
-π6
+
kπ
≤
x
≤
π 3
+
kπ(k
∈
Z)，
故函数
y
=
h(x)
的单调增区间是
-
π 6
+
kπ，π3
+
kπ
(k ∈ Z) 8 分
( Ⅱ ) 列表如下：
x
-π2
- 512π
-π6
π 12
π 3
π 2
2x
-
π 6
- 76π
-π
-π2
0
π
5π
2
6
sin(2x - π6 )
1 2
0
-1
0
1
1 2
h(x)
2
1
-1
1
3
2
故 y = h(x) 在区间 [ -π2 ,π2 ] 上的大致图象是：
12 分
20.【解析】
( Ⅰ )0，2 是方程 ax2 + bx + c = 0 的两根，f 0 = c = 0，f 2 = 4a - 2b = 0，
t
≥
2 5
. 12 分
21.【解析】
( Ⅰ ) 由题意，函数 y = f x
的定义域为 0, + ∞
，f x
=
1 x
-
a，
①当 a ≤ 0 时，f x
=
1 x
-
a
>
0，函数
y
=
fxLeabharlann 在区间 0, + ∞
上单调递增，
此时，函数 y = f x 在定义域上无最大值；2 分
②当 a > 0 时，令 f ′x
又 fx
最小值即
-
b2 4a
=
-1
，∴
a
=
1
，b
=
2
，c
=
0
，所以
f
x
= x2 + 2x. 4 分
( Ⅱ )F x = tx2 + 2x - x - 3 = tx2 + 2t - 1 x - 3，t ≥ 0 .
分以下情况讨论 F x ，x ∈ -32 ,2 的最大值 H t .
①当 t = 0 时，F x = -x - 3 在 x ∈ -32 ,2 上是减函数，
1 n2
-
1 (n + 1)2
=
1
-
1 (n + 1)2
=
n2 +2n (n + 1)2
.
19.【解析】
( Ⅰ ) 由题意知 g(x) = 2sin(x + φ)，
根据函数
y
=
g(x)
的图象关于直线
x
=
π 6
对称，
得
π 6
+
φ
=
π 2
+
mπ(m
∈
Z)，即
φ
=
π 3
+
mπ(m
∈
Z)，
又
0
<
φ
<
π 2
，所以
，及
c
=
a
+
2acosB
可得
sinC = sinA + 2sinAcosB，即 sinA + B = sinA + 2sinAcosB，
则 sinB - A = sinA. 3 分
若 B - A < 0，不合题意，则 B - A ∈ 0,π ，
故 B - A + A = π( 舍 ) 或 B - A = A，∴ B = 2A． 6 分
1
⇒
a
=
1 e2
，
即 a = e-2 为所求； 6 分
( Ⅱ ) 由 hx = x - 2 ex + lnx - ax，因为 hx ≤ b 对任意的 x ∈ 31 ,1 恒成立， 即 b ≥ x - 2 ex + lnx - ax，当 a ≥ 1 时，对任意的 x ∈ 31 ,1 恒成立，
∵ a ≥ 1，x > 0，∴ x - 2 ex + lnx - ax ≤ x - 2 ex + lnx - x，
+
c2
-
2ac
cosB
=
16
+
25
-
2
×
4
×
5
×
1 8
=
36
，解得
b
=
6．
12
分
18【. 解析】
(
Ⅰ
) 设等差数列
an的公差为d(d
≥ 0)，
∵
S1
=
1， S2
=
2
+
d
， S3
=
3
+
3d
成等差数列，∴ 2 2 +
d
=
1
+
3
+
3d
，解得
d
=
2，
∴ an = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1，经检验 Sn =
绵阳南山中学 2020 年秋季高 2018 级 9 月月考理科数学
参考答案与参考评分细则
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
选项 D
A
C
C
A
D
D
A
D
B
D
D
二、填空题
13. -1
14. -1,8
13 15. 9
16. e
三、解答题
17.【解析】
(
Ⅰ
)
证明：由正弦定理
a sinA
=
c sinC
φ
=
π 3
，则
g(x)
=
2sin(x
+
π3 )，
2
分
第1页
2021届四川省绵阳南山中学2018级高三上学期9月月考数学（理）试卷
则
h(x)
=
f
(x)
⋅
g(x)
=
4sinx
⋅
sin(x
+
π3 )
=
4sinx(21
sinx
+
3 2
cosx)
=
2sin2x
+
2 3 sin
xcos
x
=
1
-
cos2x
+
3 sin2x
H t = F x max = F -32 = -32 . 6 分
②当 t > 0 时，F x
的图像关于直线
x
=
-2t2-t 1
=
-1
+
1 2t
对称，
∵
-32+2 2
=
1 4
，
故只需比较
-1
+
1 2t
与
1 4
的大小
.
第2页
2021届四川省绵阳南山中学2018级高三上学期9月月考数学（理）试卷
1o.当
(
Ⅱ
)
解：∵
cos
A
=
3 4
，∴
cosB
=
cos2A
=
2cos2A
-
1
=
1 8
，
代 ∵ s入incB==a+12-accooss2BB，可= 得38c7=，S54△aAB①C =．21⋅a⋅c⋅sinB=1547，∴ac=20②．108
分 分
由①②解得 a = 4，c = 5．
由余弦定理得
b2
=
a2
-1
+
1 2t
≤
1 4
时
，即
t
≥
2 5
时，F
2
≥F
-32
，
F x max = H t = F 2 = 8t - 5. 9 分
2o.当
-1
+
1 2t
>
1 4
时
，即
0
<
t
<
5
时
，F
2
<F
-32
，
F x max = H t
=F
-32
=
-34 t
-
3 2
；
-34 t
-
3 2
0
≤
t
<
2 5
综上所得 H t = 8t - 5