航天器b姿态b运动学和动力学

长度 动量矩 长度质量 质量长度 时间 时间
2
1
在 国 际 单 位 制 中 ， 动 量 矩 的 常 用 单 位 1 是 千克 米 2 秒 （ kg m 2 s 1 ) 。
设坐标系Ozyz是固定直角坐标系，以矢径r与牛顿第二定 律的方程作叉乘，有
mo (mv ) r mv
它垂直于质点的矢径 的指向也由右手规则确定。
(3．17)
r和动量 mv所组成的平面，且 m (mv)
o
静力学里曾指出，力对于通过点O的任一轴，例如Oz轴 的矩，等于它对点O的矩在该轴上的投影 ，并且可以写成 m z (F ) = m o ( F )z 该动量矩具有量纲
x cos y sin z 0
sin cos 0
0 0 1
(3.3)
综合以上变换，坐标系OXYZ 与 Oxyz之间的直接转换 关系即为
3.2.1
动量矩定理
首先考察质点，如图3．6所示，力 F 对点 O的矩
mo (F ) r F
(3．16)
其中矢径 r OA ，且 A 在力的作用线上。因此，力矩矢 量 m o (F ) ，垂直于由 和 F作用线组成的平面,并且 m o (F )
r
的指向按右手规则来确定。类似地，质点的动量 mv 对点 0的矩可表示成
X Y Z
(3.1)
(2) O 绕 O (“1”)轴转 角 O ： 如图3．3所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为
0 1 0 cos 0 sin
0 sin cos
(3.2)
(3) O 绕 O(“3”) 轴转 角 Oxyz：如图 3．4所示，这是最后一次旋转，此时已达到了航天器的 本体坐标系Oxyz。两者的变换矩阵可推导为
3.1 航天器的姿态运动学
3.1.1 常用参考坐标系 坐标系形式很多，每种坐标系都有其自己的特点， 因此也就只适用于一定的范围，所以根据具体情况选择 坐标系是必要的。一般来说，讨论航天器姿态运动常用 的坐标系，主要有4种。
1．惯性坐标系 OXYZ 所有的运动都要参照的基本坐标系是惯性坐标系， 2．质心平动坐标系 这是一个与惯性坐标系密切相关的坐标系。原点O位 于航天器质心，OX，OY，OZ轴分别与某一惯性坐标系的 坐标轴保持平行。 3．质心轨道坐标系
x0 x y B y 0 z z0
(3.10)
x0 x y BT y 0 z z0
式中
(3.11)
cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin B cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin os cos cos sin sin (3.12) T B sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos
x , y , z 相应地，利用“l-2-3”姿态角也可以将 ω 的分量 表示出来，得到另一组航天器的姿态运动学方程，即
( x cos y sin ) / cos x sin y cos z ( x cos y sin ) tan
1．“3-1-3”旋转 (1)OXYZ 一 绕 OZ (“3”) 轴 转 角 O ：如 图 3．2所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为
cos sin 0
sin cos 0
0 X 0 Y 1 Z
以坐标系 Oxyz 和 OXYZ 为例，星体轴的位置可通过 3 次旋转达到OXYZ坐标轴的位置。旋转顺序具有多种形式， 但不能绕一个轴连续旋转两次，因为连续两次旋转等同 于绕这个轴的一次旋转。为此可以得出两类 12种可能的 旋转顺序如下： 一类： 1-2-3 ， l-3-2 ， 2-3-1 ， 2-1-3 ， 3-1-2 ， 3-2-1； 二类： 3-1-3 ， 2-l-2 ， 1-2-1 ， 3-2-3 ， 2-3-2 ， 1-3-1。 显然，一类是每轴仅旋转一次，二类是某一轴不连续地 旋转两次。下面详细介绍被称为经典欧拉转动顺序的 “3-1-3”旋转和“1-2-3”旋转。
x sin sin cos sin cos sin y cos z
(3.8)
或者以逆形式表示，即
z ( x sin y cos ) cot x cos y sin ( x sin y cos ) csc
(3.7)
这样，利用经典欧拉转动，通过 , , 3个欧拉 角就将航天器的本体坐标系 Oxyz和质心平动坐标系相互 联系起来了。 基于欧拉转动顺序” 3-1-3”，可以进一步将航天器 的空间转动角速度ω 在本体坐标系中的分量 x , y ,z 用 欧拉角表示，从而推导出航天器的姿态运动学方程。
x X y A Y z Z
(3.4)
若坐标系Ozyz中的分量已知，需要确定坐标系 OXYZ 中的分量，则利用两个坐标系之间正交变换的逆矩阵就 等于它的转置矩阵这一性质，即
A Awenku.baidu.com
得到
1
T
X x Y A T y Z z
x X y α αβ αβγ Y z Z
若令 A ,则通过A可以把质心平动坐标系OXYZ 中表示的矢量分量变换成为本体坐标系 Oxyz中表示的分 量，即
中国新一代通信卫星---东方红三号
如图 3 ． 5 所示。将角速度 沿 O 和 O轴分解， 在正交坐标系 O 中的分量分别为： 则 , 和 O 轴为 ， O轴为 cos 。再将 O 轴为 sin ，
O 轴和
O轴分量按 Ox 和 Oy 轴分解，其结果表示如下：
第三章 天器的姿态运动学和动力学
航天器的姿态运动学是从几何学的观点来研究航天
器的运动，它只讨论航天器运动的几何性质，不涉及产 生运动和改变运动的原因；而航天器的姿态动力学则是 研究航天器绕其质心运动的状态和性质。所以航天器姿 态的运动方程须由两部分组成，一部分为通过坐标变换 关系得出的运动学方程，另一部分则是以牛顿动力学定 律(如动量矩定律)为基础的动力学方程。 本章中将航天器视作刚体。
(3．14)
或者以逆形式表示为
sin x cos cos cos sin cos y sin z
(3．15)
卫星的动画
3.2
航天器的姿态动力学
作为刚体的航天器的姿态动力学是以刚体的动量矩 定理为基础的。因此在确定了描述航天器姿态运动的各 种坐标系和运动学之后，了解刚体的动量矩定理就成为 研究航天器姿态动力学的一个重要条件。
同样可得按照 2-3-1 ， 3-1-2 ， 1-3-2 ， 2-1-3 ， 32-1 等不同转动顺序的变换关系。当 , , 1rad 时， 即在小角度变化情况下， B 可近似为
1 B

1
1
(3．13)
其中欧拉角 , , 分别称为俯仰角、偏航角和滚动角， 而Oz，oy，Oz轴分别称为航天器的滚动轴、俯仰轴和偏 航轴。
d r (mv ) r F dt
（3.6）
cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin AT cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos
（3.9）
式(3．8)或(3．9)即为航天器的一组姿态运动学 方程。
2.“1-2-3”旋转 类似地，也可以通过欧拉“ 1-2-3”旋转将航天器的 不同坐标系相互联系起来。例如从 Ox 0 y0 z 0 出发，进行以 下3次旋转： (1) Ox 0 y 0 z 0 绕 Ox 0 (“l”)转 角 O “2”)转 角 O (2) O 绕O ( (3) O 绕 O (“3”)转 角 Oxyz 于是坐标系Oxyz和 Ox 0 y 0 z 0 之间的坐标变换关系即为 O
（3.5）
其中
cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin A sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos
简称轨道坐标系。这是一个以航天器质心为原点的 正交坐标系，如图3．1所示。
质心轨道坐标系
4．本体坐标系Oxyz 又称为星体坐标系。在此坐标系中，原点0在航天器 质心，Ox，Oy，Oz三轴固定在航天器本体上。若Ox，Oy， Oz三轴为航天器的惯量主轴，则该坐标系称为主轴坐标 系。
3.1.2 航天器的姿态运动学方程 在坐标系确定以后，航天器上任何一点的位置就可 以在固联于星体的本体坐标系 Oxyz中表示；若要描述三 轴稳定航天器的对地定向运动，则要借助于质心轨道坐 标系 Ox0 y0 z0 ；若要讨论自旋卫星的章动运动时，就必 须运用质心平动坐标系 OXYZ。而各种坐标系之间的关系 可以通过一系列旋转角来表示，这些旋转角称为欧拉角。 具体地说可以通过3个欧拉角 , , 来确定本体坐标 系Oxyz相对于其他坐标系的位置。