大学物理微积分基础

附录IV 微积分基础
由于在大学物理学习中，经常需要借助微积分工具解决问题，如速度、加速度、变力冲量、变力做功、高斯定理等物理问题，为了更好的理解和学习相关物理知识，需要对微积分有一定的认识，学会求简单函数的导数、微分、积分的方法.
一、函数
1 定义
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是因变量，则可称y 是x 的函数。

函数的三要素为（1）定义域A ；（2）值域(){}
A x x f U ∈=；（3）对应法则f . 注意：
（1）函数符号()x f 表示y 是x 的函数，()x f 不是表示f 与x 的乘积； （2）f 表示对应法则，不同函数中f 的具体含义不一样； （3）相同函数必须满足：定义域、值域、对应法则三者相同。

2 基本初等函数
（1）幂函数()R a x y a
∈=；
（2）指数函数x
a y =(0>a 且1≠a )； （3）对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )； （4）三角函数与反三角函数.
①正弦函数：x y sin = ； ②余弦函数：x y cos =；③正切函数：x y tan = ； ④余切函数：
x y cot =；⑤正割函数：x y sec = ； ⑥余割函数：x y csc =以及它们所对应的反三角函数.
3、复合函数
（1）定义：设()u f y =的定义域为A ，()x g u =的值域为B ，若A B ⊆，则y 关于x 函数的
()[]x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 举例如下：
①函数(
)
14sin 2
-=x y 是由u y sin =和142
-=x u 两个函数复合而成；
②函数x
e x y -=2
tan 2是由μ-=2
2u y 、x u tan =和x
e =μ三个函数复合而成.
二、函数的导数
1 定义
设函数在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处有增量x ∆（x x ∆+0也在该邻域内）时，相应地函数有增量()()x f x x f y -+=∆∆，若y ∆与x ∆之比当0→x ∆时极限存在，则称这个极限值为()x f y =在0x 处的导数. 记为：0x x y ='，还可记为：
x x dx
dy
=或()0x f '。

2 可导性
（1）函数()x f 在点0x 处存在导数，则称函数分()x f 在点0x 处可导，否则不可导.
（2）若函数()x f y =在区间()b ,a 内每一点都可导，就称函数()x f y =在区间()b ,a 内可导，这时函数()x f y =对于区间()b ,a 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数()x f y =的导函数。

求导举例：
①求函数()C x f =的导数（C 为常数）
()()()000
=-=-+='→→x C
C lim x
x f x x f lim
x f x x ∆∆∆∆∆ ②求函数()()x sin x f =的导数
()()()()()x x x x x x x x x x
x x x x x f x x f x f x x x x cos 2
2sin
2cos lim 2sin 2cos 2lim sin sin lim
lim
0000=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+='→→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ③求函数()n
x x f =（n 为正整数）
()()()()122211000lim lim
lim ---→→→=+++=-+=-+='n n n n n n n n x n
n
x x nx x
x C x x C x x C x x x x x x f x x f x f ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
3、常用导数公式
表1 常用函数的导数
()0='C
()x
x
e e ='
()1
-='n n
nx
x
()a a a x
x ln ='
()
x x cos sin ='
()a
x x a ln 1
log =
'
()x x sin cos -=' ()x
x 1ln ='
()
x x 2
sec tan ='
()2
11arcsin x x -='
()x x 2csc cot -=' ()2
11
arccos x
x --
='
()x x x tan sec sec =' ()211arctan x
x +='
()x x x cot csc csc -='
()211cot x
nx arc -='
3 导数的四则运算法则
（1）函数和、差的求导法则：如果函数()x u u =和函数()x μμ=在x 处都可导，则函数
()()()x x u x f μ+=在点x 处可导，则有()()()x x u x f μ'±'='（证明从略），简记为()μμ'±'='
+u u .
即两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）.
（2）函数积的求导法则：如果函数()x u u =和函数()x μμ=在x 处都可导，则函数
()()()x x u x f μ⋅=在点x 处可导，则有()()()()()x x u x x u x f μμ'+'='（证明从略），简记为
()μμμ'+'='u u u . 即两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.
（3）函数商的求导法则：如果函数()x u u =在点x 处可导且()0≠x μ，则函数()()()
x x u x f μ=
在
点x 处可导，则有()()()()()()x x x u x x u x f 2μμμ'-'='（证明从略），简记为2μμμμ'-'='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛u u u . 即两个可导函数商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方.
4、函数的高阶导数
一般地，函数()x f y =的导数()x f y '='仍是自变量x 的函数，若()x f y '='的导数存在，此
导数就被称为函数()x f y =的二阶导数，记为：y ''、22dx
y
d 或()x f ''，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 2
2. 推广则为：若函数()x f y =的1-n 阶导函数()
()()x f y
n n 11--=的导数存在，此导数就称为函数()
x f y =的n 阶导数，记为：()
n y 、n n dx y d 或()
()x f n ，即：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--11n n n n dx dy dx d dx y d . （1）两个函数的和（差）的n 阶导数等于这两个函数的n 阶导数的和（差）
()()[]()()[]()()[]()n n n x x u x x u μμ±=±
（2）两个函数的积的n 阶导数的公式（莱布尼兹公式）
()()[]
()
()[]()
()[]()k n k n
k k
n n x x u C x x u -=∑=μμ0
（3）常用几个函数的n 阶导数 ()()x
n
x e e =； ()()()n
x
n
x a a a ln ⋅=；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin sin πn x x n
；()()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2
cos cos πn x x n
；
()()()n
u n
u
x
n u u u x
-+--=11 ；()
()
()
()n
n n x n x !11ln 1
-⋅
-=-.
5、复合函数的导数
函数()[]x g f y =由()u f y =和()x g u =两个函数复合而成，则y 对x 的导数可采用公式
()()()()x g u f x g f y ''='='求得. 举例如下：
求函数x y sin
=的函数，该函数可以看做由函数u y sin =，x u =复合而成，由复合函数
求导法则得()
()x
x
x u x u y 2cos 21cos sin =⋅=''
='. 三、函数的微分
1 定义
设函数在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在这区间内，若函数的增量可表示为
()x o x A y ∆∆∆+=，其中A 是不依赖于x ∆的常数，()x o ∆是x ∆的高阶无穷小，则称函数()
x f y =在点0x 可微的. x A ∆叫做函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即：x A dy ∆=. 微分是自变量改变量x ∆的线性函数，dy 与y ∆的差是关于x ∆的高阶无穷小量，我们把dy 称作y ∆的线性主部. 当0→x ∆时，dy y ≈∆, 导数的记号为：
()x f dx
dy
'=. 把x ∆看成dx （即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，此式还可表示为：()dx x f dy '=. 若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立. 2 常用微分公式
表2 常用函数的微分
()0=C d ()dx e e d x x =
()
dx nx x d n n 1-=
()adx a
a d x
x
ln =
()xdx x d cos sin =
()dx a x x d a ln 1
log =
()xdx x d sin cos -= ()dx x x d 1
ln =
()xdx x d 2sec tan = ()dx x x d 2
11
arcsin -=
()xdx x d 2csc cot -=
()dx x x d 2
11
arccos --=
()xdx x x d tan sec sec = ()dx x x d 2
11
arctan += ()xdx x x d cot csc csc -=
()dx x nx arc d 2
11
cot -=
3 微分运算法则
表3 函数的微分法则
()μμd du u d ±=± ()Cdu Cu d =
()μμμud du u d +=
()02≠-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛μμμ
μμud du u d 四、函数的不定积分
1 原函数
设()x f 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()x F ，使得对于任意I x ∈，都有
()()x f x F =' 或 ()()dx x f x dF =
那么函数()x F 就称为()x f 在区间I 上的一个原函数.
例如 ，因为对任意的()+∞∞-∈,x 均有()x x cos sin ='
，所以x sin 是x cos 在区间()+∞∞-,内的一个原函数.
提问： ①满足什么条件的函数具有原函数？②一个函数如果存在原函数，那么它的原函数有多少个？③一个函数如果存在若干个原函数，这些原函数之间有什么关系？
原函数存在定理：
如果函数()x f 在区间I 上连续， 那么在区间I 上存在可导函数()x F ， 使对任一I x ∈ 都有 ()()x f x F ='，即 连续函数一定有原函数.
这里需要简单的说明两点： ①如果函数()x f 在区间I 上有原函数()x F ， 那么()x f 就有无限多个原函数，()C x F +都是()x f 的原函数，其中C 是任意常数；②()x f 的任意两个原函数之间只
差一个常数，即如果()x Φ和()x F 都是()x f 的原函数，则()()C x F x +=Φ (C 为某个常数). 2 不定积分
1 定义
如果函数()x F 使函数()x f 在区间I 上的一个原函数，则称()x f 的全体原函数()C x F +（C 为任意常数）为()x f 在区间I 上的不定积分，记为：
()()C x F dx x f +=⎰.
其中，记号
⎰
称为积分号，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式，x 称为积分变量.
通过上述定义可知，求已知函数()x f 的不定积分，只需要求出()x f 的一个原函数，然再加上任意常数即可. 举例如下：
我们已经知道x sin 是x cos 的原函数，而x arcsin 是
2
11x
-的原函数，所以它们的不定积分
C x xdx +=⎰sin cos
C x dx x
+=+⎰
arcsin 11
2
从不定积分的定义， 即可知下述关系： 由于
()dx x f ⎰是函数()x f 的原函数，所以
()[]()x f dx x f dx
d
=⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰
又由于()x F 是()x F '的原函数，所以
()()C x F dx x F +='⎰或()()C x F x dF +=⎰
由此可见，微分运算和不定积分的运算是互逆的.
3 不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以推到出如下两个性质（证明从略）： ①设函数()x f 与()x g 的原函数存在，则
()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±. ②设函数的原函数存在，k 为非零常数，则()()dx x f k dx x kf ⎰
⎰
=（k 为常数，且0≠k ）.
举例如下：求dx x x x x ⎰-+-22313；求dx x
a x x
⎰-+)cos 2(cos 2 C x x x dx x dx x dx xdx dx x x x x ++-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-ln 32
1131322
223
C
x a a
x xdx a a
x dx x dx a xdx dx x a x x
x x x
+-+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰
tan 2ln 1sin sec 2ln 1sin cos 12cos )cos 2(cos 2
22
4 不定积分公式
由于积分是微分的逆运算，所以很自然地可以由导数的公式对应的得到如表4所示的积分公式（C k ,为常数）.
表4 积分的基本公式
⎰+=C kx kdx
⎰+-=C x xdx x csc cot csc
()111
-≠++=+⎰n C n x dx x n n
C e
dx e x
x +=⎰
C x dx x +=ln 1
C a a dx a x
x
+=⎰ln
C x dx x +=+⎰arctan 11
2
C x xdx +-=⎰cos ln tan
C x dx x +=-⎰arcsin 11
2
C x xdx +=⎰sin ln cot ⎰+=C x xdx sin cos
⎰++=C x x xdx tan sec ln sec ⎰+-=C x xdx cos sin
C x x dx +-=⎰cot csc ln csc
C x dx x +=⎰tan cos 1
2
C a
x
a dx x a +=+⎰arctan 112
2
C x dx x +-=⎰cot cos 1
2
C a x a
x a dx a x ++-=-⎰ln 21122 ⎰+=C
x xdx x sec tan sec
C b ax a dx b ax ++=+⎰ln 11
五 函数的定积分
1 定义
一般地，设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x a n <<<<<= 210将区间[]b a ,等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（即Δb a
x n
-=
），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点(1,2,...,)i i n =ξ作和式：
11
()Δ()n
n
n i i i i b a
S f x f n ==-==∑∑
ξξ 如果x 无限接近于0（亦即∞→n ）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分. 记为：()b a
S f x dx =⎰.
其中，()x f 成为被积函数，x 叫做积分变量，[]b a ,为积分区间，b 积分上限，a 积分下限. 2 定积分的几何意义 定积分
()dx x f ⎰等于以()x f 为曲边的[]b a ,上的曲边梯形的面积A ，即
()b a
f x dx A =⎰
①如果在[]b a ,上()0≤x f ，因()0≤i f ξ，从而
()()0,01
≤≤⎰∑
=dx x f x f b
a
i n
i i ∆ξ. 此时
()dx x f b
a
⎰表示由直线0,,===y b x a x 以及曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积A 的负值
（如下图所示），即
()A dx x f b
a
-=⎰
②如果在[]b a ,上的()x f 有正有负，则()dx x f b
a
⎰等于[]b a ,上位于x 轴上方的图形面积减去x
轴下方的图形面积（如下图所示），即
()()()()32
1
2
2
1
1A A
A dx x f dx x f dx x f dx x f b
x x x x a
b
a
-+-=++=⎰⎰⎰⎰
3 定积分的性质
b
a dx
b a =-⎰
()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰（其中0k ≠）
[]()()()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰
⎰
()()b
a
a b
f x dx f x dx =-⎰
⎰
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰
4 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）
设函数()x f 在[]b a ,上连续，且存在原函数()x F ，则
()()()a F b F dx x f b
a
-=⎰. 这就是著名的
牛顿-莱布尼茨公式，常记作：
()()
()()a F b F x F dx x f a
b
b
a
-==⎰. 举例如下：
求定积分
dx x ⎰
1
2；dx x x 2
2
1
1⎰
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+；dx x ⎰-112
.
3
13
1
3
1
02
==⎰x dx x 6
5
41231211
2
32122
2
2
1
=-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰
x x x dx x x dx x x
()122
1
2
1
2
1
00
11
1
2
=+-
=+-=---⎰⎰⎰
x x dx x dx x dx x。