向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算
一、向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：
（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为
3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。记作：
4、零向量：长度为0的向量。记作：
5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度
二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或
规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或
零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作
的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若与是两个单位向量，则与相等；
（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；
（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；
（9）共线的向量一定相等；
（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确
（2）正确
（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线
（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：
[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。如下图：
[3]对零向量的规定。
三、向量的线性运算
1、向量的加法：求两个向量和的运算。
设：，，则
加法法则：
（1）三角形法则：即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线
段所表示的向量。有：
推广：n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的
向量。（多边形法则）
（2）平行四边形法则：如图
加法交换律：；
加法结合律：
2、向量的减法：求两个向量差的运算。（可看作加法的逆运算）
设：，则；
减法运算法则：从同一点出发的向量（起点移到一点），差向量只需连结两向量终点，并指向被减向量。
3、实数与向量的积
（1）是一个向量，也有长度和方向。其长度，即等于的绝对值与的长度的乘
积。其方向与的符号有关，当时，的方向与的方向相同；当时，的方向
与的方向相反；当时，。
设：，则
（2）实数与向量的积的运算律
结合律：；
分配律：；
。其中：，为任意实数。
（3）向量共线的等价条件
共线向量的基本定理：已知向量与非零向量它们共线的充要条件是有且只有一个实数，
使得。
设，，其中，
则存在一个实数，使得。
即：
2、如图在△ABC中，E、F分别是边CA、AB上的点，CF与BE交于点0，化简下列各式。
（1）；（2）
解：（1）
（2）
3、三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半。已知：如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点。
求证：DE∥BC且DE=BC。
证明：因为D、E分别是边AB、AC的中点，
所以，。
所以，
再由D、B不共点，故DE∥BC且。
4、化简：
（1）；
（2）
解：（1）原式
（2）原式
5、在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，
，试用，表示，。
解：设，，
因为M，N分别为DC，BC的中点，
∴，，
∴，由两方程解得：，
6、如图所示，已知平面上三点坐标分别为，，，求点D的坐标，使得这四个点构成平行四边形的四个顶点。
解：（1）以AC为对角线作平行四边形ABCD1，设顶点D1的坐标为（，），因为，
，
∴
∴即
∴顶点D1的坐标为（2，2）
（2）以BC为对角线作平行四边形ACD2B，设顶点D2的坐标为，因为，，
∴
∴即
∴顶点D2的坐标为（4，6）
（3）以AB为对角线作平行四边形D2ACB，
设顶点D2的坐标为，
因为，，
∴
∴即
∴顶点D3的坐标为（-6，0）。
注意：平行四边形只定了三个顶点，而且字母顺序未指定，第四个顶点的确定需考虑三种情况。
周末练习：
1．平行四边形ABCD中，________________．
2．，下列关系式中正确的有（）
A．若，则；B．若，则
C．D．
3．，，则________；________；
_________。
4．已知，，当k为何值时与平行？平行时它们是同向还是反向？
5．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若，试求满足什么条件时，点P在第三象限内？
6．（1）已知向量与相等，其中M（-1，3），N（1，3），求。
（2）向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线。
第一节参考答案
1．
2．B
3．（0，0），（-5，10），
4．
5．
6．（1）（2）或
第二节参考答案：
DCADBD
7．
8．
9．
10．
第二节向量运算与数量积
1、平面向量基本定理（向量坐标化的理论基础）
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数，使得．
注：作为平面内所有向量的一组基底，不共线．
2、向量的正交分解
两个向量互相垂直：两个向量的基线互相垂直.
正交基底：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底.
正交分解：在正交基底下分解向量.
注：平面上任意向量都可以分解为两个正交向量的和.
向量在基底{}下的坐标（向量的坐标表示）：在直角坐标系O中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，正交基底{}就叫做直角坐标系O的基底．在直角坐标平面O内任意作一向量（用有线线段表示），则由平面向量基本定理知存在唯一一对有序实数对，使得，则就是向量在基底{}下的坐标，即=，其中叫做向量在轴上的坐标分量，叫做向量在轴上的坐标分量．
特别：设O（0，0）、A（，），则，所以符号
在直角坐标系O中有了双重含义：既可以表示一个固定的点A，又可以表示一个
向量．
3、向量的直角坐标运算：
设，则
注：向量的直角坐标运算将向量运算数量化、代数化，将数与形紧密联系在一起．
4、用坐标表示平面向量共线的条件：
设，其中，则
5、数量积的背景
（1）物理背景：力做功的计算
，功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，其中就是在物体位移方向上的分量的数量．
（2）两个向量的夹角
已知两个非零向量，作，则称作向量的夹角，记作，并规定：
说明：
（1）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．对不是同起点的两个向量，要先将它们平
移到同一起点．
（2）当时，与同向
（3）当时，与反向
（4）当时，与垂直，记作规定：零向量与任意向量垂直
（5）
（3）向量在轴上的正射影
已知向量和轴L，做，过点A、O分别做轴L的垂线，垂足分别为M、N，则叫做向量在轴上L的正射影．
6、数量积（内积）的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，
也叫内积，记作，即有=，其中为向量与的夹角，
（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．
的几何意义：等于与在方向上的投影的乘积．规定：零向量与任意向量的数量积为零
注意1：向量的数量积为实数，其大小与两个向量的长度及其夹角有关，可以是正数、负数和零．
注意2：符号“·”在向量运算中不是实数运算中的乘号，因此既不能省略，也不能用“”代替.
注意3：设是非零向量，由不能推出是零向量.（不满足消去律）7、数量积（内积）的性质
设与都是非零向量, 是单位向量，是与夹角，是与夹角.
①
②（证明垂直的等价条件）
③当与同向时，；当与反向时，
特别地，或（求向量的长度）
④（求向量的夹角，体现内积与三角的关系）
⑤
8、向量数量积（内积）的运算律：
已知向量和实数，则向量的数量积满足：
①交换律
②数乘结合律
③分配律
注意1：在实数运算中，我们有即约分性质（消去律）．这
一性质在数量积中一般不成立．反例：与夹角是，与
夹角是，显然，但．
注意2：一般地，结合律不满足，即，这是因为，左边是一个与共线的向量，右边是一个与共线的向量，一般情况下，左右不相等．注意3：与代数中类似的结论（可以直接应用）
9、向量数量积的坐标运算与度量（长度、距离、夹角）公式
（1）向量内积的坐标运算：
设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，
则：i·i = 1，j·j = 1，i·j = j·i = 0，推导坐标公式
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j，
∴a·b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i·j + x2y1i·j + y1y2j2= x1x2 + y1y2
从而获得公式：a·b = x1x2 + y1y2
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
x1x2 + y1y2 = 0
（3）向量的长度、距离、夹角公式
向量的长度：设a = (x, y)，则|a|2 = a·a= x2 + y2 ，所以|a| =
两点间距离：设，则
向量的夹角的余弦：设，
本周典型例题：
1．如图，中，分别是的中点，为交点，若=，
=，试以，为基底表示、、．
解析：
是△的重心，
2. 已知△ABC的三个顶点坐标A（0，0），B（-1，2），C（1，1），试求△ABC的面积．
解析：法一：向量法，=（-1，2），=（1，1），再利用数量积求夹角，
解得，于是
法二：三角法，求出三边长，用余弦定理求角．
同样可求得
3．已知向量的夹角为，,求向量的模．
解析：
4．已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影．
解析：设，，得，即
得，，．
5．平面向量，若存在不同时为的实数和，
使且，试求函数关系式．解析：由得
6．如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值．
解析：
7．的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．
解析：夹角为钝角，则，即，解得
8. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足()·=0，求t的值．
解析：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积．
（1）（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、．
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，．
由()·=0，得：，
从而所以．
或者：，
本周课堂练习：
1．下列命题中正确的是（）
A．B．
C．D．
2．设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（）
A．B．
C．或D．无数多个
3．若平面向量与向量的夹角是，且，则( )
A．B．C．D．
4．向量，，若与平行，则等于（）
A．B．C．D．
5．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．
6．设，，且，则锐角为（）
A．B．C．D．
7．若，且，则向量与的夹角为____________．
8．已知向量，，，若用和表示，则
=________．
9．若,，与的夹角为，若，则的值为____________．
10．若菱形的边长为，则__________．
第三节平面向量综合
1．在△ABC中，设向量，．
求证：△ABC的面积
证：记
∴
∴
小结：在此题中应用必修5正余弦定理中推导的面积公式，并结合向量法求夹角的公式作答．两个向量间的夹角的取值范围是．因此其正弦值是非负的．
2．证明三角形的三条高线交于一点．
已知：△ABC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于H，连结CH并延长交AB于F．
求证：CF⊥AB．
证：设，，，，
，
由可知∴①
由可知∴②
由①②联立即即
∴CF⊥AB．
小结：（1）证明三线共点问题可先作两线的交点，再证明第三条线过该点．（2）垂直的等价条件是数量积为0，这种形位数的转化十分实用．
3．证明三角形的三条中线交于一点，且此点到顶点的距离等于该点到对边中点距离的2倍．
已知：△ABC，D、E分别为BC、AC上的中点，AD、BE交于点G，连结CG 交AB于F．
求证：F是AB的中点．
证：设，，，
由G是AD的分点
由G是BE的分点
∴∴
即
∴
设
向量知识点大全
向量的各个知识点及对应分析 向量的基本概念与运算 一、基本理论 1、向量概念 （1）向 量：既有方向，又有大小的量叫做向量 （2）向量的模：向量的大小称为向量的模，向量的大小即，记作|AB |或｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，记为0 。 （4）单位向量：长度等于单位1的向量叫单位向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 2、共线向量 （1）基 线：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线 （2）共线向量第一定义：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。 共线向量第二定义：方向相同或相反的向量 （3）零向量与任何向量共线。 （4）共线向量可以分为以下四种： ()A 方向相同，模相等 ()B 方向相同，模不等 ()C 方向相反，模相等 ()D 方向相反，模不等 注意：向量的共线与平行是等价的，要注意与直线的平行与共线相区别。 3、向量的表示 （1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB 。 （2）整体法：用一个小写的英文字母来表示，如a 。 （3）坐标法：用坐标来表示向量。 4、向量的向量加法 （1）平行四边形法则：使两个已知向量始点重合，和向量就是两向量所夹的对角线，而差 向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则：其特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和；当两个向量的起点公共时，用平行 四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量知识点与公式总结
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r 按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r ，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r 共线 的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫 做平行向量，记作：a r ∥b r ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r . 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r r . （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r . （5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r . （6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后；
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的表示： （1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。 （2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。 （3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。 A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为 3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。记作： 4、零向量：长度为0的向量。记作： 5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。 关注重点：（1）方向（2）长度 二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 记作：，或 规定：零向量与任一向量平行。 2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。 记作：，或 零向量与零向量相等。 3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作 的相反向量是。 注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。 1、判断下列命题的正误： （1）零向量与非零向量平行； （2）长度相等方向相反的向量共线； （3）若与是两个单位向量，则与相等； （4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量； （5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量； （7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”； （9）共线的向量一定相等； （10）相等的向量一定共线。 解：（1）正确 （2）正确 （3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。 （4）正确因为零向量与任意向量共线 （5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。 （6）错误方向不定。 （7）错误线段AB可与线段CD平行。 （8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 小结： [1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。 [2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。如下图： [3]对零向量的规定。 三、向量的线性运算 1、向量的加法：求两个向量和的运算。 设：，，则 加法法则： （1）三角形法则：即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线 段所表示的向量。有： 推广：n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的 向量。（多边形法则） （2）平行四边形法则：如图 加法交换律：； 加法结合律： 2、向量的减法：求两个向量差的运算。（可看作加法的逆运算）
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全 向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。 本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线 段表示。向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。 2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。 3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。 4. 单位向量：单位向量是模长为 1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。 二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。 2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法 是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。若k为实数，向量AB→的数 量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。 3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个 向量的对应分量相乘后相加。向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。 4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2- x2y1)。 三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、 多边形等几何图形的性质和关系。 2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形 学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。 4. 数 据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。 通过以上的介绍，相信读者对数学向量有了更清晰的认识。数学向量作为数学 的基础概念之一，在数学及其应用领域都有着重要作用。希望本文对读者理解和掌握数学向量有所帮助。
向量基础知识点总结
向量基础知识点总结 一、向量的概念与表示方法 向量是指有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。向量用a 或者AB来表示，其中a表示单个向量，而AB表示由点A指向点B的向量。 二、向量的加法与减法 向量的加法可以用三角形法则或者平行四边形法则进行计算。具体地，对于三角形法则，我们在向量A的末端画出向量B的起点，在连接向量A的起点和向量B的末端，得到向量C。而平行四边形法则则是在向量A和B所在的平面内，以向量A和向量B 为邻边，连接两条对角线求出向量C。 向量的减法可以通过加上相反向量的方式进行计算。即A- B=A+(-B)。 三、向量的数量积与点积
向量的数量积（也称为内积）是指两个向量的数量乘积再乘以 它们夹角的余弦值。具体地，设向量A和向量B的夹角为θ，则A·B=|A||B|cosθ。这个值可以表示向量A在向量B方向上的投影长度。如果两个向量垂直，则它们的数量积为0；如果两个向量平行，则它们的数量积为它们长度的积。 向量的点积（也称为外积）是指两个向量中一个向量在另一个 向量的方向上的大小。记向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，则A×B=|A|×|B|×sinθ×n，其中n为单位向量，表示A、B的法向量 方向。具体而言，我们可以用右手法则来确定A、B乘积的方向。 四、向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的数乘、向量的加法以及向量的减法。具体而言，向量的数乘是指对向量的每个分量进行相同的数乘， 即kA=(ka1,ka2,ka3,...,kan)；向量的加法和减法则是对向量的对应 分量进行加和或减和的运算。 五、向量的模长和单位向量
向量的模长是指向量的大小，用|A|表示。如果一个向量的模长为1，则它是一个单位向量。具体而言，我们可以使用向量的数量积来计算向量的模长。设向量A的数量积为A·A，则 |A|=sqrt(A·A)。 六、向量的投影和分解 向量的投影是指向量在另一个向量方向上的长度。具体地，设向量A在向量B上的投影长度为P，则有P=|A|cosθ。在计算中，我们可以先求出向量B的单位向量n，然后计算向量A在向量B 上的投影长度P。 向量的分解是指将一个向量投影到另一个向量方向上得到的两个向量。对于一个向量A和一个单位向量n，则可以表示为 A=(A∙n)n+(A×n)，即将向量A在n方向上的投影作为一个向量，将和n垂直的部分作为一个向量。 七、向量的角度与方向
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结 一、向量的定义和表示 向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为 a=
若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得 k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。其中，n表示向量的个数。 四、向量的投影和正交分解 1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。公式为projba=(a·b/|b|^2)b。 2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba， a⊥=a−projba。 五、平面几何中的应用 1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。 2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。 3. 平面内角度：两个非零平面内角度为θ的向量a和b， cosθ=a·b/|a||b|。 4. 平面内点到直线距离：设P为平面内一点，L为平面内一条直线，则P到L的距离为|projL P⃗ |。 5. 平面内两直线夹角：设L1和L2为平面内两条直线，它们的夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a、b分别为L1和L2的方向向量。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点总结 1. 概述 向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。 2. 定义 向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。向量有大小和方向两个重要属性。 3. 向量的表示 向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。 - 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。 - 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。 4. 向量的性质 向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。 - 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。 - 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。 - 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。 - 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+ (b⃗⃗+c⃗)。 5. 向量的运算 向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。 - 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。 - 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性 向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 - 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。 7. 内积 向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。内积有以下性质： - 结合律： (a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗ 内积的计算公式为：a ⃗⋅b ⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长 向量的模长（长度）是指向量的大小。对于一个 n 维向量 a ⃗，其模长的计算公式 为：|a ⃗|=√a 12+a 22+⋯+a n 2 9. 单位向量和方向向量 单位向量是模长为 1 的向量，方向向量是指向特定方向的向量。单位向量可以通过将向量除以其模长得到。 10. 向量的投影 向量的投影可以将一个向量投影到另一个向量上，得到的投影向量与目标向量垂直。投影的计算公式为：proj b ⃗⃗a ⃗=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| 11. 向量的夹角 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。夹角的计算公式为：cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点 数学必背向量知识点 在日常的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺收集整理的数学必背向量知识点，欢迎阅读与收藏。 数学必背向量知识点1 1、向量的基本概念 （1）向量 既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中又叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。 向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点） （5）平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共线向量。 若向量a、b平行，记作a∥b。 规定：0与任一向量平行。 （6）相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可。 ②向量a，b相等记作a=b。 ③零向量都相等。 ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关。 2、对于向量概念需注意
（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小。 （2）向量共线与表示它们的有向线段共线不同。向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上。 （3）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 3、向量的运算律 （1）交换律：α+β=β+α （2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ） （3）数量加法的分配律：（λ+μ）α=λα+μα （4）向量加法的分配律：γ（α+β）=γα+γβ 高中数学学习方法 掌握数学学习实践阶段：在高中数学学习过程中，我们需要使用正确的学习方法，以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法，曾经说过，尤其是高阶段的数学学习数学，必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始，一周后的头几天，在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步，最好不要去追求所谓的“困难”除了（感兴趣），不利于解决问题方法掌握连续性。同时，根据时间和课程安排的长度适当的审查，只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识，不要忘记前面的学习。 高中数学学习技巧 不乱买辅导书。 关于数学，我一本辅导书都没买（高三），从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的因为高三复习的时候都
向量知识点整理
1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法： （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行. （2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理： （1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）. （2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2. （1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉. A （2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积， 记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. （3）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.数量积的性质：设e 是单位向量，〈a ，e 〉=θ. （1）e ·a =a ·e =|a |cos θ. （2）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |，特别地，a ·a =|a |2，或|a |=2a . （3）a ⊥b ⇔a ·b =0. （4）cos θ=| b ||a |b a ⋅. （5）|a ·b |≤|a ||b |. 3.运算律：（1）a ·b =b ·a ；（2）（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）；（3）（a +b ）· c =a ·c +b ·c . 4.向量数量积的坐标运算： 设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则 （1）a ·b =x 1x 2+y 1y 2； （2）|a |=2121y x +；
数学向量知识点总结
数学向量知识点总结 一、定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有 OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式） x=（x1+λx2）/（1+λ）， y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。 二、三点共线定理 若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。 三、三角形重心判断式 在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。 四、向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是xy—xy=0。 零向量0平行于任何向量。 五、向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是ab=0。
a⊥b的充要条件是xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量。 设a=（x，y），b=（x，y）。 六、向量的运算 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=（x+x，y+y）。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0 AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减” a=（x，y）b=（x，y）则a—b=（x—x，y—y）。 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。
向量知识点总结
向量知识点总结 向量是在数学中非常重要的概念，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。本文将总结向量的基本概念、性质以及相关的运算法则。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示，常表示为字母加上一个箭头，例如a →。向量可以位于空间中的任何位置，也可以表示为起点和终点之间的有向线段。 2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，在二维平面上用(x, y) 表示，在三维空间中用(x, y, z)表示。也可以用点表示，表示 为起点和终点的坐标差。 二、向量的性质 1. 向量的长度：向量的长度又称为模，在二维平面上可以用勾股定理计算，即向量a的长度是√(x^2 + y^2)。在三维空间中，向量a的长度是√(x^2 + y^2 + z^2)。 2. 零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0 → 或者O →。零向量的方向是任意的，但是没有特定的起点和终点。 3. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过除以向量的长度得到。常用的单位向量有i →、j →和k →，它们分 别沿着x轴、y轴和z轴的正方向。 4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们称为平行向量。平行向量可以用数乘表示，即一个向量乘以一个实数，结果是一个平行于原向量且长度变化的新向量。 5. 直角向量：如果两个向量的内积为0，那么它们称为直角向量。直角向量垂直于彼此，可以用点乘表示。
三、向量的运算法则 1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即a → + b → = b → + a →，(a → + b →) + c → = a → + (b → + c →)。 2. 向量减法：向量减法可以通过向量加法和反向量来实现，即 a → - b → = a → + (-b →)。 3. 数乘：向量与实数相乘，即将每个分量都乘以实数，得到一个新的向量。 4. 内积：内积也叫点积，表示为a → · b →。内积满足交换律 和分配律，即a → · b → = b → · a →，(a → + b →) · c → = a → · c → + b → · c →。 5. 外积：外积也叫叉积，表示为a → × b →。外积满足反交换 律和结合律，即a → × b → = -b → × a →。 四、应用领域 1. 物理学：向量在物理学中广泛应用，用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 2. 几何学：向量在几何学中用于描述平行、垂直、共线等关系，还用于计算向量的模和夹角。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形学中用于描述物体的位置和旋转，也用于计算光照和颜色。 4. 金融学：向量在金融学中用于风险分析、投资组合管理等方面的模型构建和分析。 综上所述，向量是一种有大小和方向的量，它具有长度、零向量、单位向量、平行向量和直角向量等性质。向量的运算法则包括加法、减法、数乘、内积和外积。向量在物理学、几何学、
向量知识点汇总
向量知识点汇总 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量， ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：+=+ 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 13．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb 14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 15．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 16．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 17．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结 向量知识点与公式总结（精选6篇） 在现实学习生活中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。那么，都有哪些知识点呢？以下是小编精心整理的向量知识点与公式总结，仅供参考，大家一起来看看吧。 向量知识点与公式总结篇1 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析
几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的.交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。 高二数学向量公式 1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a| 2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j |向量OP|=根号（x平方+y平方） 3.P1(x1,y1)P2(x2,y2) 那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝ |向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方] 4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝
数学向量知识点(10篇)
数学向量知识点(10篇) 数学向量学问点1 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．加法与减法的代数运算： (1)若a=〔x1,y1 〕,b=〔x2,y2 〕则a b=〔x1+x2,y1+y2 〕． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c 〔结合律〕; 3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)｜｜=｜｜｜｜; (2) 当 a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当 a=0时，a=0． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= ． (2) 若 =〔〕,b=〔〕则‖b ． 平面对量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使 = ，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0； 分点坐标公式：若 = ；的坐标分别为〔〕,〔〕,〔〕；则〔－1〕，中点坐标公式：． 5．向量的数量积： 〔1〕．向量的夹角： 已知两个非零向量与b，作 = , =b,则AOB= 〔〕叫做向量与b的夹角。 〔2〕．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则 b=｜｜｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 称为向量b在方向上的投影． 〔3〕．向量的数量积的性质： 若 =〔〕,b=〔〕则e = e=｜｜cos (e为单位向量); b b=0 〔，b为非零向量〕;｜｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律： b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，
向量知识点大全
平面向量知识要点 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a； (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量：零向量的方向是任意的。但我们规定：零向量的方向与任一向量平行。零向量的方向不确定，但模的大小确定。a＝O⇔｜a｜＝O. 单位向量：单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。a O为单位向量⇔｜a O｜＝1. (5) 相等向量：大小相等，方向相同 (6) 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量。a=-b⇔b=-a⇔a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 2.两个向量的关系 ⑴平行（共线）：平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 ⑵重合、相交 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 3.向量的运算：三角形法则、平行四边形法则 4.向量的线性组合： 5.分向量
E M N C A B D G E A B 向量训练 1.下列命题中是假命题的是( ) (A) 若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r . (B) () 222a b a b -=-r r r r (C) 若12 a b =-r r ，则a b r r ∥. (D) 若a b =r r ，则a b =r r 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） （A ）12 a e =r r ； （B ）2a e =r r ； （C ）12 a e =-r r ； （D ）2a e =-r r ． 3.下列命题正确是（ ） A ．长度相等的两个非零向量相等 B ．平行向量一定在同一直线上 C ．与零向量相等的向量必定是零向量 D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 4.已知2=a ρ，4=b ρ，且b ρ与a ρ反向，如果用向量b ρ表示向量a ρ，那么a ρ= ． 5.如图，正方形ABCD 中，M 是边BC 上一点，且BM= 4 1 BC ，若a AB =，b AD =，则=DM _______（用a 和b 表示） 6.已知：平行四边形ABCD ，点M ，N 分别是边DC,BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E 。 设：AB =a ，AD =b ，分别求向量AM ，AN ，AE 关于a ，b 的分解式。 7.在三角形ABC 中，已知AB =a ，BC =b ，G 是重心，请写出AG 关于a ，b 的分解式。
向量知识点总结(最新)
最新向量知识点总结 一、向量的概念、向量的基本定理 了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 二、向量的运算 向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的'坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 三、定比分点 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 四、向量与三角函数的综合问题 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 五、平面向量与函数问题的交汇 平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
数学所需向量知识点大全
数学所需向量知识点大全 数学必背向量知识点 1.向量的基本概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点) (5)平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量. 若向量a、b平行，记作a∥b. 规定：0与任一向量平行. (6)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可. ②向量a，b相等记作a=b.
③零向量都相等. ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小. (2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上. (3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律：α+β=β+α (2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα (4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ 高中数学学习方法 掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须
数学向量知识点(5篇)
数学向量知识点(5篇) 数学向量知识点1 1．有向线段的定义 线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：. 2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度. 3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向. (2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示. 4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||. 5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=. 6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-. 7．向量*行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量*行，向量*行也称向量共线.向量*行于向量，记作//.规
定：//. 8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量. 9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量. 10．向量的加法运算： (1)向量加法的三角形法则 1１．向量的减法运算 12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系 对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||. 13．数乘向量的定义： 实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作. 向量的长度与方向规定为：(1)||=| (2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反. (3)当=0时，当=时，=. 14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律) (2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律) 15．*行向量基本定理 如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.