人教版八年级数学上册-专训-常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区
八年级上册幂的运算知识点
八年级上册幂的运算知识点在数学学科中，幂指的是数的乘方运算，即一个数的自乘若干次的结果。
在八年级上册数学课程学习中，幂的运算是一个重要的知识点，本文将全面介绍八年级上册幂的运算知识点。
一、幂的定义幂是指一个数自乘若干次得到的结果，其中，第一个数称为底数，第二个数称为指数。
幂的标准写法为 a^n，其中，a是底数，n是指数。
指数为正整数时，表示底数自乘n次的结果；指数为0时，结果为1；指数为负整数时，表示底数自除n次的结果。
二、幂的简化简化幂是指将幂简化为不含指数的形式。
当指数相同的幂相加或相减时，可以通过运用幂运算转化为同一底数幂的运算。
例如：2^3 + 5^3 = (2+5) ^ 33^4 - 2^4 = (3-2) * (3^3+2^3)三、幂的乘方幂的乘方是指同一个底数的幂相乘的运算。
当同一底数幂相乘时，可以将指数相加得到新的指数，例如：4^3 * 4^2 = 4^(3+2) = 4^5四、幂的除法幂的除法是指同一个底数的幂相除的运算。
当同一底数幂相除时，可以将指数相减得到新的指数，例如：9^4 / 9^2 = 9^(4-2) = 9^2五、幂的分配律幂的分配律指幂乘或幂除时，若底数相同，则可以将幂运算中的括号内指数分别与外部指数相乘或相除。
例如：2^3 * (3^4 * 3^2) = 2^3 * 3^(4+2) = 2^3 * 3^6(4^3 / 4^2) ^ 5 = 4^(3*5 - 2*5) = 4^5六、幂的零指数幂的零指数是指任何底数的0次幂等于1，例如：3^0 = 15^0 = 1七、幂的负指数幂的负指数指底数的倒数的任何次幂等于这个数的负指数幂，例如：2^-3 = 1/2^3 = 1/8总之，八年级上册幂的运算知识点包括幂的定义、简化、乘方、除法、分配律、零指数和负指数。
掌握这些知识点，对于解决数学题目具有重要的意义。
希望学生们认真学习，熟练掌握八年级上册幂的运算知识点，做到理论和实践相结合，灵活应用知识。
人教版八年级数学上册比较幂(含整式)的大小的八种常用技巧
解：∵x63＝(x7)9＝29＝512，y63＝(y9)7＝37＝2 187， 而 512<2 187， ∴x63＜y63. ∴x＜y.
பைடு நூலகம்
5．已知 P＝999999，Q＝191909，比较 P 与 Q 的大小．
【点拨】本题采用的是作商比较法．当 a＞0，b＞0 时，利用“若
ab＞1，则 a＞b；若ab＝1，则 a＝b；若ab＜1，则 a＜b”比较． 解：∵QP＝999999×191909＝（9×91991）9×191909＝999×91919×191909＝1， ∴P＝Q.
6．设 M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，试比较 M 与 N 的大小．
解：M＝(x－3)(x－5)＝x2－8x＋15，N＝(x－2)(x－6) ＝x2－8x＋12. ∵M－N＝(x2－8x＋15)－(x2－8x＋12)＝x2－8x＋15－ x2＋8x－12＝3＞0， ∴M＞N.
解：设 123 456 788＝a，则 x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2， y＝a(a－1)＝a2－a. ∵x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝a2－a－2－a2＋a＝－2＜0， ∴x＜y.
7．若 m 为任意实数，试比较(m－5)(m＋1)与－4m－5 的大小．
解：(m－5)(m＋1)＝m2－4m－5. ∵m2≥0， ∴m2－4m－5≥－4m－5， 即(m－5)(m＋1)≥－4m－5.
8．若 x＝123 456 789×123 456 786，y＝123 456 788×123 456 787， 试比较 x，y 的大小．
人教版 八年级上
第十四章 整式的乘法与因式分解
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版) 25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型4】幂的混合运算.........................................................4;【题型5】幂的运算的应用.......................................................4;【题型6】直通中考.............................................................5;【题型7】拓展与延伸...........................................................5.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab+=【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224n n a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n n x x x x x ．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0。
新人教版八年级上册数学[幂的运算(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】【幂的运算 知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+． 【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-． 2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =． （2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．【答案与解析】 解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值． 【答案】解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=．【396573 幂的运算 例3】【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。
人教版八年级数学上册 第14章 整式的乘除与因式分解专训：常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区(含答案)
专训2 常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区名师点金：1、对于幂，由于它包含底数、指数、幂三种量，因此比较大小的类型有：比较幂的大小，比较指数的大小，比较底数的大小．2．幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混淆，易错易误点较多，主要表现在混淆运算法则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．1．幂的大小比较的技巧比较幂的大小方法1：指数比较法1．已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a方法2：底数比较法2．350，440，530的大小关系是( )A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350方法3：作商比较法3．已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．无法比较比较指数的大小4．已知x a ＝3，x b ＝6，x c ＝12(x ＞0)，那么下列关系正确的是( )A ．a ＋b ＞cB ．2b ＜a ＋cC ．2b ＝a ＋cD ．2b ＞a ＋c比较底数的大小5．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且a 2＝2，b 3＝3，c 4＝4，d 5＝5，那么a ，b ，c ，d 中最大的数是( )A ．aB ．bC ．cD ．d2．幂的运算之误区混淆运算法则6．下列计算正确的是( )A ．a 2＋a 3＝a 5B ．a 2·a 3＝a 5C ．(a 2)3＝a 5D ．a 3÷a 2＝a 57．下列运算中，结果是a 6的是( )A ．a 2·a 3B ．a 12÷a 2C ．(a 3)3D ．(－a )68．计算(2a )3的结果是( )A ．6aB ．8aC ．2a 3D ．8a 39．计算：(1)(a 3)2＋a 5； (2)a 4·a 4＋(a 2)4＋(－4a 4)2、符号辨别不清10．计算⎝⎛⎭⎫－12ab 23的结果是( ) A 、18a 3b 6 B 、18a 3b 5 C ．－18a 3b 5 D ．－18a 3b 6 11．化简(－y )4(－y )3，结果正确的是( )A ．－y 12B ．y 12C ．y 7D ．－y 712．计算：(1)(－a 2)3； (2)(－a 3)2； (3)[(－a )2]3; (4)a ·(－a )2·(－a )7、忽略指数“1”13．下列算式中，正确的是( )A ．3a 3·2a 2＝6a 6B ．2x 3·4x 5＝8x 8C ．3x ·3x 4＝9x 4D ．5y 7·5y 7＝10y 14不能灵活运用整体思想14．化简：(1)(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y)；(2)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3、不能灵活运用转化思想15．(1)若3x＋2y－3＝0，求27x·9y的值；(2)已知3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值．答案1．A点拨：因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以3124>3123>3122，即a>b>c，故选A、本题采用的是指数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．2．B点拨：因为350＝(35)10＝24310，440＝(44)10＝25610，530＝(53)10＝12510，而125<243<256，所以12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B、本题采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．3．B点拨：因为PQ＝999999×990119＝（9×11）9999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P＝Q，故选B、本题采用的是作商比较法．当a>0，b>0时，利用“若ab>1，则a>b；若ab＝1，则a＝b；若ab<1，则a<b”比较．4．C5．B点拨：直接比较四个数的大小较繁琐，可两个两个地比较，确定最大的数．因为(a2)3＝a6＝23＝8，(b3)2＝b6＝32＝9，所以a6<b6，于是a<b、因为(b3)4＝b12＝34＝81，(c4)3＝c12＝43＝64，所以b12>c12，于是b＞c、因为(b3)5＝b15＝35＝243，(d5)3＝d15＝53＝125，所以b15>d15，于是b>d、综上可知，b是最大的数，故选B、6．B7、D8、D9．解：(1)(a3)2＋a5＝a6＋a5、(2)a4·a4＋(a2)4＋(－4a4)2＝a8＋a8＋16a8＝18a8、10．D11、D12．解：(1)(－a2)3＝－a6、(2)(－a3)2＝a6、(3)[(－a)2]3＝a6、(4)a·(－a)2·(－a)7＝a·a2·(－a7)＝－a10、13．B14．解：(1)原式＝(x＋y)5÷(x＋y)2÷(x＋y)＝(x＋y)2、(2)原式＝(a－b)9÷(a－b)4÷(a－b)3＝(a－b)2、15．解：(1)27x·9y＝(33)x·(32)y＝33x·32y＝33x＋2y，∵3x＋2y－3＝0，∴3x＋2y＝3，∴原式＝33＝27、(2)32m－4n＋1＝32m÷34n×31＝(3m)2÷(32n)2×3＝(3m)2÷(9n)2×3＝36÷4×3＝27、。
常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区
＝(3m)2÷(32n)2×3＝(3m)2÷(9n)2×3
＝812÷7292×3
＝3×
1 9
2
＝3×
1 27
＝
1 81
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第14章 整式的乘法与因式分解
双休作业(七) 2 常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
Ⅰ.幂的大小比较的技巧
技巧 1 比较幂的大小
方法1 指数比较法
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的
大小关系是( A )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
A．－x6
B．x6
C．x5
D．－x5
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10．计算：
(1)(－a2)3 ＝－a6 (2)(－a3)2 ＝a6 (3)[(－a)2]3 ＝(a2)3＝a6 (4)a·(－a)2·(－a)7 ＝a·a2·(－a7)＝－a10.
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误区 3·2a2＝6a6
A．a
B．b
C．c
D．d
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Ⅱ.幂的运算之误区 误区 1 混淆运算法则
6．下列四个算式中，正确的有( B )
①2a3－a3＝1；②(－xy2)·(－3x3y)＝3x4y3；
③(x3)3·x＝x10；④2a2b3·2a2b3＝4a2b3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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7．先化简，再求值：x(x＋2)－(x＋1)(x－1)，
其中x＝－
1. 2
解：原式＝x2＋2x－x2＋1＝2x＋1.
当x＝－
1 2
专题15 幂的运算(知识点串讲)(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册(人教版)
专题15 幂的运算重点突破幂的运算性质（基础）： ● a m·a n＝am ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a 可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
● (a m )n＝amn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
● (ab)n＝a n b n（n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． ● a m÷a n＝am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x 8÷x =x 7，计算时候容易遗漏或将x 的指数当做0. 4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
● a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 考查题型考查题型一 同底数幂相乘典例1．（2020·阳泉市期末）下列运算正确的是（ ） A ．23a a a ⋅= B ．623a a a ÷=C ．2222a a -=D ．()22436aa =【答案】A 【提示】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解； 【详解】解：2123•a a a a +==，A 准确；62624a a a a -÷==，B 错误； 2222a a a -=，C 错误；()22439a a =，D 错误；故选：A ． 【名师点拨】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．变式1-1．（2019·石家庄市期末）43()()x y y x -•-可以表示为（ ） A ．7()x y - B ．7()x y --C ．12()x y -D ．12()x y --【答案】B 【提示】根据同底数幂的乘法法则计算即可得出结论． 【详解】（x ﹣y ）4•（y ﹣x ）3=﹣（x ﹣y ）4•（x ﹣y ）3=﹣（x ﹣y ）7． 故选B ． 【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则．掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 变式1-2．（2019·杭州市期中）若2n +2n +2n +2n =2，则n=（ ） A ．﹣1 B ．﹣2C ．0D ．14【答案】A【提示】利用乘法的意义得到4•2n =2，则2•2n =1，根据同底数幂的乘法得到21+n =1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n 的方程即可． 【详解】∵2n +2n +2n +2n =2，∴4×2n =2， ∴2×2n =1， ∴21+n =1， ∴1+n=0， ∴n=﹣1， 故选A ．【名师点拨】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m •a n =a m+n （m ，n 是正整数）． 变式1-3．（2019·苏州市期中）已知x+y ﹣4=0，则2y •2x 的值是( )A．16 B．﹣16 C．18D．8【答案】A【解析】∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.故选A.名师点拨：a m·a n=a m+n.考查题型二同底数幂乘法的逆用典例2．（2020·河池市期末）已知a m=3，a n=4，则a m+n的值为（）A．7 B．12 C．D．【答案】B【提示】根据同底数的幂的乘法法则，代入求值即可.【详解】.故选：.【名师点拨】本题考查了同底数的幂的乘法法则，理解指数之间的变化是关键.变式2-1．（2019·仁寿县期末）若3⨯9m⨯27m=213，则m的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【解析】∵3⨯9m⨯27m=3⨯32m⨯33m=31+2m+3m∴1+2m+3m=21∴m=4故选B变式2-2．（2018·南昌市期中）计算的结果是（）A．2 B．-2 C．20162D．20162-【答案】D【提示】先提取公因式2016(2)-，再进行计算，即可． 【详解】 = = =20162-． 故选D ． 【名师点拨】本题主要考查含乘方的有理数的加法运算，掌握同底数幂的乘法运算的逆运用，是解题的关键． 变式2-3．（2020·成都市期末）已知2,3a b x x ==-，则2a b x +的值为（ ） A ．12 B ．2C ．12-D ．3-【答案】C 【提示】利用同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用将原式变形，然后代入求值即可. 【详解】解：222()a b a b a b x x x x x +==当2,3a b x x ==-时，原式=22(3)12⨯-=- 故选：C 【名师点拨】本题考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟记公式灵活应用是本题的解题关键. 考查题型三 幂的乘方运算典例3．（2020·惠州市期末）计算3()a a •- 的结果是（ ） A ．a 2 B ．-a 2C ．a 4D ．-a 4【答案】D 【提示】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：34()=a a a •--， 故选D ． 【名师点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．变式3-1．（2020·青岛市期中）计算(－a3)2的结果是（）A．－a5B．a5C．a6D．－a6【答案】C【提示】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果【详解】()236a a-=，故选C.【名师点拨】本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.变式3-2．（2019·合肥市期中）如果(a n•b m b)3＝a9b15，那么( )A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝4C．m＝3，n＝4 D．m＝3，n＝3【答案】A【提示】根据（a n b m b）3=a9b15,比较相同字母的指数可知,3n=9,3m+3=15,即可求出m、n.【详解】解:∵（a n b m b）3=a9b15,∴(a n)3（b m）3b3=a3n b3m+3=a9b15,∴3n=9,3m+3=15,,解得:m=4,n=3,∴m、n的值为4,3.所以A选项是正确的.【名师点拨】本题考查了积的乘方的性质和幂的乘方的性质,根据相同字母的次数相同列式是解题的关键. 变式3-3．（2019·南京市期末）若33×9m=311，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m的方程，解方程即可求得答案. 【详解】∵33×9m=311，∴33×(32)m =311， ∴33+2m =311， ∴3+2m=11， ∴2m=8， 解得m=4， 故选C ． 【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 考查题型四 幂的的乘方的逆用典例4．（2020·无锡市期中）计算2015201623()()32⨯的结果是( ) A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】C 【提示】 将原式拆成（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32即可得． 【详解】2015201623()()32⨯ =（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32=32. 故选C. 【名师点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键． 变式4-1．（2019·德州市期中）9m ·27n 可以写为( ) A ．9m+3n B ．27m+nC ．32m+3nD ．33m+2n【答案】C 【解析】原式=2323333m n m n +⋅= ，故选C.变式4-2．（2019·宿迁市期中）计算3n · ( )=—9n+1,则括号内应填入的式子为( ) A ．3n+1B ．3n+2C ．—3n+2D ．—3n+1解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n （-3n+2）， ∴括号内应填入的式子为-3n+2. 故选C.变式4-3．（2018·洛阳市期中）已知23×83＝2n ，则n 的值为( ) A ．18 B ．7C ．8D ．12【答案】D 【提示】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【详解】解：∵23×83＝23×29＝212＝2n ， ∴n ＝12． 故选D ． 【名师点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 考查题型五 积的乘方典例5．（2019·马龙区期中）若3915()m n a b a b =，则,m n 的值分别为( ) A ．9，5 B ．3，5C ．5，3D ．6，12【答案】B 【解析】根据积的乘方法则展开得出a 3m b 3n =a 9b 15，推出3m=9，3n=15，求出m 、n 即可． 解：∵（a m b n ）3=a 9b 15， ∴a 3m b 3n =a 9b 15， ∴3m=9，3n=15， ∴m=3，n=5， 故选B ．变式5-1．（2020·扬州市期中）下列运算错误的是（ ） A ．2363(2)8a b a b -=- B ．243612()x y x y = C ．23282()()x x y x y -⋅=D ．77()ab ab -=-原式各项利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、（-2a2b）3=-8a6b3，本选项正确；B、（x2y4）3=x6y12，本选项正确；C、（-x）2•（x3y）2=x2•x6y2=x8y2，本选项正确；D、（-ab）7=-a7b7，本选项错误．故选D．【名师点拨】此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式5-2．（2020·张家口市期中）下列计算正确的是( )A．a3-a2=a B．a2·a3=a6C．(3a)3=9a3D．(a2)2=a4【答案】D【解析】A.a3与a2不能合并，故A错误；B. a2⋅a3=a5，故B错误；C. (3a)3=27a3，故C错误；D. (a2)2=a4，故D正确.故选D.变式5-3．（2019·邵阳市期中）计算的结果是（）A．81281a b B．C．6712a b12a b D．67【答案】B【提示】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：=故应选B.【名师点拨】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．考查题型六积的乘方的逆用典例6．（2019·大庆市期中）2012201253()(2)135-⨯-=( ) A ．1- B ．1C ．0D ．1997【答案】B 【提示】根据积的乘方公式进行简便运算. 【详解】 解： = = =1. 故选B 【名师点拨】此题主要考查了积的乘方，解题时，先对分数变形，然后根据特点，找到规律，再根据积的乘方的逆用，直接计算即可.变式6-1．（2020·揭阳市期中）2101×0.5100的计算结果正确的是（ ） A ．1 B ．2 C ．0.5 D ．10【答案】B 【解析】试题提示：首先将其化成同指数，然后进行计算得出答案．原式=()100100100220.5220.52⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．变式6-2．（2019·南京市期中）已知32m =8n，则m 、n 满足的关系正确的是（ ） A ．4m=n B ．5m=3nC ．3m=5nD ．m=4n【答案】B 【解析】 ∵32m =8n ，∴（25）m =（23）n ， ∴25m =23n ， ∴5m=3n ． 故选B ．变式6-3．（2018·昆明市期末）已知a m =2，a n =3，则a 3m+2n 的值是（ ） A ．24B ．36C ．72D ．6【答案】C 【解析】试题解析：∵a m =2，a n =3， ∴a 3m+2n =a 3m •a 2n =（a m ）3•（a n ）2 =23×32 =8×9 =72． 故选C.考查题型七 同底数幂的除法典例7．（2019·金华市期末）计算63a a ÷，正确的结果是（ ） A ．2 B ．3aC ．2aD ．3a【答案】D 【提示】根据同底数幂除法法则即可解答． 【详解】根据同底数幂除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）可得，a 6÷a 3＝a 6﹣3＝a 3． 故选D ． 【名师点拨】本题考查了整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则． 变式7-1．（2018·晋江市期中）计算255m m ÷的结果为（ ） A ．5m B ．5C ．20D ．20m【答案】A 【提示】把25m 写成52m ，然后利用同底数幂相除，底数不变指数相减解答． 【详解】解：25m ÷5m ＝52m ÷5m ＝52m-m ＝5m ． 故选A ． 【名师点拨】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记运算性质是解题的关键．变式7-2．（2020·杭州市期末）下列计算正确的是( )A．a6+a6 = a12B．a6·a2 = a8C．a6÷a2 = a3D．(a6)2= a8【答案】B【提示】根据合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】解：A. a6+a6=2a6，故错误；B. a6·a2 = a8，正确；C. a6÷a2 = a4，故错误；D. (a6)2= a12，故错误；故选：B.【名师点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键.变式7-3．（2020·合肥市期中）a11÷（﹣a2）3•a5的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣a10D．a9【答案】C【提示】根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：a11÷（﹣a2）3•a5＝a11÷（﹣a6）•a5＝﹣a11﹣6+5＝﹣a10．故选：C．【名师点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．考查题型八同底数幂除法的逆用典例8．（2019·连云港市期中）若a x＝6，a y＝4，则a2x﹣y的值为()A ．8B ．9C ．32D ．40【答案】B【解析】 因为a 2x-y =a 2x ÷a y =(a x )2÷a y =62÷4=9，故答案为B. 变式8-1．（2020·达州市期末）如果3a ＝5，3b ＝10，那么9a －b 的值为( ) A ．12 B ．14 C ．18D ．不能确定 【答案】B【解析】∵3a ＝5，3b ＝10， ∴2(a-b)2a 2b 19(3)=33=25100=4a b -=÷÷， 故选B.变式8-2．（2019·南阳市期末）已知3,5a b x x ==，则32a b x -=（ ）A ．B ．910C ．35D ．52【答案】A【提示】直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．【详解】∵x a =3，x b =5，∴x 3a-2b =（x a ）3÷（x b ）2=33÷52=.故选A.【名师点拨】考查了同底数幂的乘除运算和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．变式8-3．（2020·常州市期末）已知2a =3，2b =6，2c =12，则a ，b ，c 的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b ④b+c=2a+3，其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【提示】根据整式的运算法则（同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方等）进行提示即可.【详解】因为，2a=3，2b=6，2c=12，所以，2ⅹ2a=2a+1=6= 2b，22×2a=12=2a+2=2c，2a×2c=3×12=2c+a=36=（2b）2，2b×2c=6×12=72=2b+c=9×8=（2a）2×23=22a+3, 所以，①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，故选D【名师点拨】本题考核知识点：整式乘法. 解题关键点：熟记并运用整式乘法法则.。
专题14.1幂的运算-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(人教版)
专题14.1幂的运算-重难点题型【人教版】【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(a m)n=a mn。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=a n b n。
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【题型1幂的基本运算】【例1】（2021•高新区校级三模）下列计算正确的是（）A．x8÷x4＝x2B．x3•x4＝x12C．（x3）2＝x6D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；D，指数是偶次幂结果为正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合幂的乘方运算法则，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故选：C．【变式1-1】（2020秋•南宁期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a6÷a2＝a3D．a﹣1=1（a≠0）【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算即可得出结果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；D、a﹣1=1（a≠0），故D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2021•椒江区一模）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a5÷a3＝a2【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D．【解答】解：A、a2•a4＝a6，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；D、a5÷a3＝a2，正确，故此选项符合题意；故选：D．【变式1-3】（2021•元阳县模拟）下面计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π−3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．x3÷x•x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；B．任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；D．先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B．（π−3）0＝1，计算正确，符合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，计算错误，不符合题意；D．x3÷x•x﹣1＝x，计算错误，不符合题意；故选：B．【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2021春•蚌埠期末）若a＝（−34）﹣2，b＝（−12）0，c＝0.75﹣1，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：a＝（−34）﹣2=169，b＝（−12）0＝1，c＝0.75﹣1=43，故a＞c＞b．故选：D．【变式2-1】（2021春•江都区校级期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=−125，c＝（﹣5）0＝1，∴c＞a＞b．故选：B．【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式2-3】（2021•彭州市校级开学）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，则a、b、c、d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【分析】根据幂的乘方法则计算，比较大小即可．【解答】解：∵a＝266＝（26）11＝6411；b＝355＝（35）11＝24311；c＝444＝（44）11＝25611；d＝533＝（53）11＝12511；∴6411＜12511＜24311＜25611，即a＜d＜b＜c．故选：D．【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春•莱阳市期末）已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为50．【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b﹣1代入计算，即可求出结果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案为：50．【变式3-1】（2021春•青川县期末）已知a m＝2，a n＝3，则（a3m﹣n）2＝649．【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m＝（a m）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷a n）2＝（8÷3）2=649．故答案为：649．【变式3-2】（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(−3)−4=181．【变式3-3】（2021春•宝应县月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n为正整数，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于8．【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x•4y＝23x•22y＝23x+2y＝23＝8．故答案为：8．【变式4-1】（2021春•嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案为：1000．【变式4-2】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x•27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=13．【变式4-3】（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足2+2=54，B=−12，求下列各式的值．①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵2+2=54，B=−12，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=54+2×(−12)=54−1=14；②∵2+2=54，B=−12，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(54)2−2×(−12)2=2516−12=1716．【题型5幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春•渠县期末）计算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．【变式5-1】（2021春•徐州期末）计算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【变式5-2】（2021春•江都区校级期中）计算：（1）(12)−1−(5−p0−|−3|+2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【变式5-3】（2021春•临淄区期末）计算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（−12）﹣3﹣4﹣2×（−14）﹣3．【分析】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8−116×（﹣64）＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【题型6幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春•龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a※b＝m．例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定填空：2※16＝4；3※127=﹣3．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3−3=127，∴3※127=−3．故答案为：4；﹣3；（2）设8※9＝x，8※10＝y，则8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【变式6-1】（2021春•金水区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（4，16）＝2，（3，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵30＝1，∴（3，1）＝0，∵2﹣21，∴（2，0.25）＝﹣2．故答案为：2，0，﹣2；（2）2a+b＝c．理由：∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c，∴3a＝4，3b＝6，3c＝96，∴（3a）2×3b＝3c，∴2a+b＝c．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(，116)=−4，则x＝±2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．【变式6-3】（2021春•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3；（5，1）＝0；（2，14）＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证．【解答】解：（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2−2=14，∴（2，14）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）（16，10000）﹣（64，1000000）＝（24，104）﹣（26，106）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，∴3x÷3y，＝20÷4，＝5，∴3x﹣y＝5，∴（3，5）＝x﹣y，又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，∴（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）。
八年级上册幂的知识点
八年级上册幂的知识点幂是数学中的一个重要概念，也是数学建模的核心之一。
在八年级上学期数学中，幂是重要的知识点之一，掌握好幂的相关知识点能够帮助同学们更好地理解和学习后续的数学知识。
本文将从以下几个方面介绍八年级上册幂的相关知识点。
一、基本概念幂指的是一个数通过乘以自身多次而得到的结果。
例如，2的3次幂（记为2³）等于2×2×2=8，其中2是底数，3是指数。
二、指数的性质在幂的运算中，指数的值会影响幂的结果。
因此，我们需要了解指数在幂运算中的性质，以便更好地理解和应用幂的知识。
1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。
例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。
2. 同底数幂相除时，底数不变，指数相减。
例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。
3. 幂的指数为0时，结果为1。
例如，2⁰ = 1。
4. 幂的指数为负数时，结果是倒数，底数不变，指数取绝对值。
例如，2⁻³ = 1/2³ = 1/8。
三、幂的运算在幂的运算中，当给定底数和指数时，我们需要求得幂的结果。
以下是几种常见的幂的运算方法。
1. 幂的乘方。
当同一底数的幂相乘时，可以通过底数不变，指数相加的规律来得到结果。
例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。
2. 幂的除方。
当同一底数的幂相除时，可以通过底数不变，指数相减的规律来得出结果。
例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。
3. 求幂的平方根。
求一个数的平方根，等价于找到一个数的平方等于这个数。
因此，当给定一个数的幂时，可以通过对指数除以2来得到该数的平方根。
如果指数不是偶数，则无法进行平方根运算。
例如，4¹²的平方根为4⁶，因为4⁶²=4¹²。
四、常见错误在幂的运算中，有一些常见的错误需要避免。
1. 底数和指数错位。
例如，将2³写成3²，就是将底数和指数错位的错误。
“幂的运算”中常见错误与分析
“幂的运算”中常见错误与分析马恒平幂的运算法则是在有理数的基础上讨论的，它既有对数的通性的概括，又有从数到式的抽象，法则中的字母既可以代表具体的数，也可以是代数式，这对同学们来说比较抽象，难以理解，对法则往往会记错、混淆而产生错误.现将常见错误归纳剖析如下，供同学们参考.一、忽视幂指数“1”例1计算：x3·x2·x.错解x3·x2·x=x3+2+0=x5.剖析误认为x的指数为0，实际上，单独一个字母的指数为1，只是省略没有写.正解x3·x2·x=x3+2+1=x6.二、混淆同底数幂的乘法与合并同类项例2计算：①x2·x2；②x2+x2.错解①x2·x2=2x4；②x2+x2=2x4.剖析同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；而合并同类项法则是：字母及字母的指数不变，只把系数相加减.正解①x2·x2=x2+2=x4；②x2+x2=（1+1）x2=2x2.三、幂乘误为指乘例3计算：x4·x5.错解x4·x5=x4×5=x20.剖析把幂x4与x5的乘法运算符号用到指数4与5的运算上而造成错解.正解x4·x5=x4+5=x9.四、底数互异时符号错例4计算：①-x4·（-x）2；②（x-y）2·（y-x）3.错解①-x4·（-x）2=（-x）6=x6；②（x-y）2·（y-x）3=（x-y）2·（x-y）3=（x-y）5.剖析错误原因是把不同底数化为同底数时，漏掉了底数之中的负号或将式子的符号错当成底数符号.正解①-x4·（-x）2=-x4·x2=-x6；②（x-y）2·（y-x）3=（y-x）2·（y-x）3=（y-x）5.五、积的乘方漏因式例5计算：（a2b3）4.错解（a2b3）4=a2b3×4=a2b12.剖析积的乘方应该是将积中每一个因式分别乘方，而不是只将最后一个因式乘方.正解（a2b3）4=（a2）4·（b3）4=a2×4b3×4=a8b12.六、混淆幂的乘方和同底数幂的乘法例6计算：（x3）2.错解（x3）2=x3+2=x5.剖析幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，而不是相加.正解（x3）2=x3×2=x6.七、半途而废，算不彻底例7计算：-■2012×3■2012.错解-■2012×3■2012=-■2012×■2012.剖析由于没有注意到逆向使用公式，运算只好中途停止，因此没有得出最后简捷的结果.正解-■2012×3■2012=-■2012×■2012=-■×■2012=（-1）2012=1.。
八年级上册数学幂的知识点
八年级上册数学幂的知识点幂的概念幂是指以底数为因数的连乘积。
其中，底数为幂的底，指数为幂的指。
幂通常表示为an，表示n个a的乘积。
其中，a为实数，n为自然数。
幂的性质1.同底数幂的乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
例如：4的2次方乘以4的3次方等于4的5次方，即4的2次方乘以4的3次方=4的5次方。
2.同底数幂的除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方（m>n）。
例如：6的5次方除以6的3次方等于6的2次方，即6的5次方除以6的3次方=6的2次方。
3.幂的乘方法则：（a的m次方的n次方）等于a的m×n次方。
例如：3的4次方的2次方等于3的8次方，即（3的4次方的2次方）=3的8次方。
4.幂的0次方等于1，即a的0次方=1。
例如：2的0次方等于1，即2的0次方=1。
5.幂的负次方等于其倒数的幂，即a的-n次方等于1÷a的n次方（a≠0）。
例如：4的-2次方等于1÷4的2次方，即4的-2次方=1÷4的2次方。
幂的应用在实际生活中，幂的应用很广泛。
以下是几个常见的应用场景。
1.计算长方形面积。
长方形的面积可以看作是长和宽的乘积，即s=a×b。
其中a和b都是实数，也可以是整数或分数。
2.计算立方体的体积。
立方体的体积可以看作是长度、宽度和高度的乘积，即V=a×b×h。
其中a、b和h也都是实数，也可以是整数或分数。
3.计算复利。
复利是利滚利的一种形式，也是幂的一种应用场景。
复利的计算公式为A=P×(1+r/n)的nt。
其中，A是最终的本利和，P是本金，r是年利率，n是年复利次数，t是时间（以年为单位）。
总结在学习数学幂的知识点时，需要掌握幂的概念和性质，以及幂的应用场景。
幂是数学中的重要概念，应用非常广泛。
熟练掌握幂的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。
人教版八年级(上)数学幂的乘方-2024鲜版
学生在展开多项式的高 次幂时，没有正确运用 二项式定理，忽略了中 间项。正确答案应为 (x^2 + 2xy + y^2)^3 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6。
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幂的乘方与其他知识点的联系
任何非零数的0次幂都等于1。即a^0 = 1（a≠0）。
负整数指数幂表示的是该数的倒数的正整数次幂。即a^(-n) = 1/a^n（a≠0）。
分数指数幂表示的是开方和乘方的复合运算。即a^(m/n) = √n(a^m)（n为正整数，且a>0）。
在进行幂的运算时，应遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺 序；同级运算从左到右依次进行；有括号时先算括号里面的。
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与代数式的关系
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幂的乘方可以表示为代数式的一种 形式，如(a^m)^n = a^(m*n)， 其中a是底数，m和n是指数。
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幂的乘方在代数式中具有广泛的应 用，如在多项式的展开、因式分解、 化简等方面都会解方程或不等式时，经常需要利用 幂的乘方来化简或变形方程或不等式， 从而更容易地找到解。
人教版八年级(上)数学幂的乘方
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CONTENTS
• 幂的基本概念和性质 • 幂的乘方运算 • 幂的乘方在生活中的应用 • 典型例题解析与练习 • 幂的乘方与其他知识点的联系 • 课堂小结与拓展延伸
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幂的基本概念和性质
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幂的定义与表示方法
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人教版-数学-八年级上册-初学幂的运算性质注意多
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
八年级上册数学幂的运算知识点和典型习题分类汇总附答案
第9讲 幂的运算❖ 基本知识（熟记，会推导，会倒过来写，要提问．） 1、运算顺序，乘方开方，再乘除，最后加减。
nm nma a a +=⋅2、同底数幂相乘【推导】：【推导】n m nmaa a -=÷3、同底数幂相除：【推导】4、0的任何非0次幂等于0)0( 00≠=n n， 5、0的0次幂没有意义6、任何不等于0的数的0次幂都等于1)0( 10≠=a a ， n naa 1=-7、负指数：，其实就是取倒数！【物理上用！】 mnn m a a =)(8、幂的乘方：【推导】mm m b a ab =)(9、积的乘方：【推导】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛10、商的乘方：【推导】❖ 基本计算训练 【同底数幂相乘】 1、计算下列各题 52x x ⋅（1）6a a ⋅（2）34)2()2()2(-⨯-⨯-（3）13+⋅m m x x （4）2、计算下列各题 b b ⋅5（1）32212121⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-（2）62-⋅a a （3）12+⋅n ny y （4）参考答案1、（17x ）；（27a ）；（3）256；（414+m x ）2、（15b ）；（2641）；（34-a ）；（413+n y ）【同底数幂相除】 1、计算下列各题 28x x ÷（1）25)()(ab ab ÷（2）64xx （3）32-nn （4）2、计算下列各题 57-÷x x （1）88m m ÷（2）710)()(a a -÷-（3）35)()(xy xy ÷（4）3、计算下列各题431010-（1）32--yy （2）64nn （3）641010-（4）参考答案1、（16x ）；（233b a ）；（32-x）；（35n ）2、（112x ）；（2）1；（33a -）；（422y x ）3、（1710）；（2y ）；（32-n ）；（41010-）【幂的乘方】 1、计算下列各题53)10(（1）44)(a （2）2)(m a （3）34)(x -（4）2、计算下列各题33)10(（1）23)(x （2）5)(m x -（3）532)(a a ⋅（4）参考答案1、（11510）；（216a ）；（3ma2）；（412x -） 2、（1910）；（26x ）；（3mx 5-）；（411a ）【积的乘方】 1、计算下列各题 3)2(a （1）3)5(b -（2）22)(xy （3）43)2(x -（4）2、计算下列各题 4)(ab （1）321⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）32)103(⨯-（3）32)2(ab （4）参考答案1、（138a ）；（23125b -）；（342y x ）；（41216x ） 2、（144b a ）；（23381y x -）；（37107.2⨯-）；（4）638b a【幂的运算综合】1、判断下面计算的对错，并把错误的改正过来。
专题15 幂的运算(知识点串讲)(解析版)八年级数学上册期中期末考点大串讲(人教版)
专题15 幂的运算重点突破幂的运算性质（基础）：● a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a 可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
● (a m )n ＝a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
● (ab)n ＝a n b n （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．● a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x 8÷x = x 7 ，计算时候容易遗漏或将x 的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
● a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．考查题型考查题型一 同底数幂相乘典例1．（2020·阳泉市期末）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．2222a a -=D ．()22436a a =【答案】A【提示】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【详解】解：2123•a a a a +==，A 准确；62624a a a a -÷==，B 错误；2222a a a -=，C 错误；()22439a a =，D 错误； 故选：A ．【名师点拨】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．变式1-1．（2019·石家庄市期末）43()()x y y x -•-可以表示为（ ）A ．7()x y -B ．7()x y --C ．12()x y -D ．12()x y -- 【答案】B【提示】根据同底数幂的乘法法则计算即可得出结论．【详解】（x ﹣y ）4•（y ﹣x ）3=﹣（x ﹣y ）4•（x ﹣y ）3=﹣（x ﹣y ）7．故选B ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则．掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．变式1-2．（2019·杭州市期中）若2n +2n +2n +2n =2，则n=（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．0D ．14【答案】A【提示】利用乘法的意义得到4•2n =2，则2•2n =1，根据同底数幂的乘法得到21+n =1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n 的方程即可．【详解】∵2n +2n +2n +2n =2，∴4×2n =2， ∴2×2n =1， ∴21+n =1，∴1+n=0，∴n=﹣1，故选A．【名师点拨】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n（m，n是正整数）．变式1-3．（2019·苏州市期中）已知x+y﹣4=0，则2y•2x的值是()A．16 B．﹣16 C．18D．8【答案】A【解析】∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.故选A.名师点拨：a m·a n=a m+n.考查题型二同底数幂乘法的逆用典例2．（2020·河池市期末）已知a m=3，a n=4，则a m+n的值为（）A．7 B．12 C．D．【答案】B【提示】根据同底数的幂的乘法法则，代入求值即可.【详解】.故选：.【名师点拨】本题考查了同底数的幂的乘法法则，理解指数之间的变化是关键.变式2-1．（2019·仁寿县期末）若3⨯9m⨯27m=213，则m的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【解析】∵3⨯9m⨯27m=3⨯32m⨯33m=31+2m+3m∴1+2m+3m=21∴m=4变式2-2．（2018·南昌市期中）计算20162017(2)(2)-+-的结果是（ ）A ．2B ．-2C ．20162D ．20162-【答案】D【提示】先提取公因式2016(2)-，再进行计算，即可．【详解】20162017(2)(2)-+-=[]20161(2)(2)-+-⨯=201612)()(⨯--=20162-．故选D ．【名师点拨】本题主要考查含乘方的有理数的加法运算，掌握同底数幂的乘法运算的逆运用，是解题的关键．变式2-3．（2020·成都市期末）已知2,3a b x x ==-，则2a b x +的值为（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．3-【答案】C【提示】利用同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用将原式变形，然后代入求值即可.【详解】解：222()a b a b a b x x x x x +==当2,3a b x x ==-时，原式=22(3)12⨯-=-故选：C【名师点拨】本题考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟记公式灵活应用是本题的解题关键.考查题型三 幂的乘方运算典例3．（2020·惠州市期末）计算3()a a •- 的结果是（ ）A ．a 2B ．-a 2C ．a 4D ．-a 4【答案】D直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：34()=a a a •--，故选D ．【名师点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．变式3-1．（2020·青岛市期中）计算(－a 3)2的结果是 （ ）A ．－a 5B ．a 5C ．a 6D ．－a 6【答案】C【提示】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果【详解】()236a a -=，故选C.【名师点拨】本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.变式3-2．（2019·合肥市期中）如果(a n •b m b)3＝a 9b 15，那么( )A ．m ＝4，n ＝3B ．m ＝4，n ＝4C ．m ＝3，n ＝4D ．m ＝3，n ＝3【答案】A【提示】根据（a n b m b ）3=a 9b 15,比较相同字母的指数可知,3n=9,3m+3=15,即可求出m 、n.【详解】解:∵（a n b m b ）3=a 9b 15,∴(a n )3（b m ）3b 3=a 3n b 3m+3=a 9b 15,∴3n=9,3m+3=15,,解得:m=4,n=3,∴m 、n 的值为4,3.所以A 选项是正确的.【名师点拨】本题考查了积的乘方的性质和幂的乘方的性质,根据相同字母的次数相同列式是解题的关键.变式3-3．（2019·南京市期末）若33×9m =311 ，则m 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【提示】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】∵33×9m =311 ，∴33×(32)m =311，∴33+2m =311，∴3+2m=11，∴2m=8，解得m=4，故选C ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．考查题型四 幂的的乘方的逆用典例4．（2020·无锡市期中）计算2015201623()()32⨯的结果是( )A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-【答案】C【提示】 将原式拆成（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32即可得．【详解】2015201623()()32⨯=（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32 =32.故选C.【名师点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．变式4-1．（2019·德州市期中）9m ·27n 可以写为( )A ．9m+3nB ．27m+nC ．32m+3nD ．33m+2n【答案】C【解析】原式=2323333m n m n +⋅= ，故选C.变式4-2．（2019·宿迁市期中）计算3n · ( )=—9n+1,则括号内应填入的式子为( )A ．3n+1B ．3n+2C ．—3n+2D ．—3n+1【答案】C【详解】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n （-3n+2），∴括号内应填入的式子为-3n+2.故选C.变式4-3．（2018·洛阳市期中）已知23×83＝2n ，则n 的值为( )A ．18B ．7C ．8D ．12【答案】D【提示】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【详解】解：∵23×83＝23×29＝212＝2n ，∴n ＝12．故选D ．【名师点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．考查题型五 积的乘方典例5．（2019·马龙区期中）若3915()m n a b a b =，则,m n 的值分别为( )A ．9，5B ．3，5C ．5，3D ．6，12【答案】B【解析】根据积的乘方法则展开得出a 3m b 3n =a 9b 15，推出3m=9，3n=15，求出m 、n 即可．解：∵（a m b n ）3=a 9b 15，∴a 3m b 3n =a 9b 15，∴3m=9，3n=15，∴m=3，n=5，故选B ．变式5-1．（2020·扬州市期中）下列运算错误的是（ ）A ．2363(2)8a b a b -=-B ．243612()x y x y =C ．23282()()x x y x y -⋅=D ．77()ab ab -=-【答案】D【提示】原式各项利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】A 、（-2a 2b ）3=-8a 6b 3，本选项正确；B 、（x 2y 4）3=x 6y 12，本选项正确；C 、（-x ）2•（x 3y ）2=x 2•x 6y 2=x 8y 2，本选项正确；D 、（-ab ）7=-a 7b 7，本选项错误．故选D ．【名师点拨】此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式5-2．（2020·张家口市期中）下列计算正确的是( )A ．a 3-a 2=aB ．a 2·a 3=a 6C ．(3a)3=9a 3D ．(a 2)2=a 4【答案】D【解析】A.a 3与a 2不能合并，故A 错误；B. a2⋅a 3=a 5，故B 错误；C. (3a)3=27a 3，故C 错误；D. (a 2)2=a 4，故D 正确.故选D.变式5-3．（2019·邵阳市期中）计算()4233a b --的结果是（ ）A ．81281a bB ．81281a b -C ．6712a bD ．6712a b -【答案】B【提示】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：()4233a b --= 81281a b - 故应选B.【名师点拨】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．考查题型六 积的乘方的逆用典例6．（2019·大庆市期中）2012201253()(2)135-⨯-=( ) A ．1-B ．1C ．0D ．1997【答案】B【提示】根据积的乘方公式进行简便运算.【详解】 解：20122012532135⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =20122012513()()135⨯ =2012513()135⨯ =1.故选B【名师点拨】此题主要考查了积的乘方，解题时，先对分数变形，然后根据特点，找到规律，再根据积的乘方的逆用，直接计算即可.变式6-1．（2020·揭阳市期中）2101×0.5100的计算结果正确的是（ ）A ．1B ．2C ．0.5D ．10 【答案】B【解析】试题提示：首先将其化成同指数，然后进行计算得出答案．原式=()100100100220.5220.52⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．变式6-2．（2019·南京市期中）已知32m =8n ，则m 、n 满足的关系正确的是（ ） A ．4m=n B ．5m=3n C ．3m=5n D ．m=4n【答案】B【解析】∵32m =8n ，∴（25）m =（23）n ，∴25m =23n ，∴5m=3n ．故选B ．变式6-3．（2018·昆明市期末）已知a m =2，a n =3，则a 3m+2n 的值是（ ）A ．24B ．36C ．72D ．6【答案】C【解析】试题解析：∵a m =2，a n =3，∴a 3m+2n=a 3m •a 2n=（a m ）3•（a n ）2=23×32=8×9=72．故选C.考查题型七 同底数幂的除法典例7．（2019·金华市期末）计算63a a ，正确的结果是（ ）A ．2B ．3aC ．2aD ．3a【答案】D【提示】根据同底数幂除法法则即可解答．【详解】根据同底数幂除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）可得，a 6÷a 3＝a 6﹣3＝a 3． 故选D ．【名师点拨】本题考查了整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．变式7-1．（2018·晋江市期中）计算255m m 的结果为（ ）A ．5mB ．5C ．20D ．20m【答案】A【提示】把25m 写成52m ，然后利用同底数幂相除，底数不变指数相减解答．【详解】解：25m ÷5m ＝52m ÷5m ＝52m-m ＝5m ．故选A ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记运算性质是解题的关键．变式7-2．（2020·杭州市期末）下列计算正确的是( )A ．a 6+a 6 = a 12B ．a 6·a 2 = a 8C ．a 6÷a 2 = a 3D ．(a 6)2= a 8【答案】B【提示】根据合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】解：A. a 6+a 6=2a 6，故错误；B. a 6·a 2 = a 8，正确；C. a 6÷a 2 = a 4，故错误；D. (a 6)2= a 12，故错误；故选：B.【名师点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键.变式7-3．（2020·合肥市期中）a 11÷（﹣a 2）3•a 5的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣a 10D ．a 9【答案】C【提示】根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：a 11÷（﹣a 2）3•a 5＝a 11÷（﹣a 6）•a 5＝﹣a 11﹣6+5＝﹣a 10．故选：C ．【名师点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．考查题型八 同底数幂除法的逆用典例8．（2019·连云港市期中）若a x ＝6，a y ＝4，则a 2x ﹣y 的值为( )A ．8B ．9C ．32D ．40【答案】B【解析】因为a 2x-y =a 2x ÷a y =(a x )2÷a y =62÷4=9，故答案为B.变式8-1．（2020·达州市期末）如果3a ＝5，3b ＝10，那么9a －b 的值为( )A ．12 B ．14 C ．18 D ．不能确定【答案】B【解析】∵3a ＝5，3b ＝10， ∴2(a-b)2a 2b 19(3)=33=25100=4a b -=÷÷，故选B.变式8-2．（2019·南阳市期末）已知3,5a b x x ==，则32a b x -=（ ）A ．2725B ．910 C ．35 D ．52【答案】A【提示】直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．【详解】∵x a =3，x b =5，∴x3a-2b=（x a）3÷（x b）2 =33÷52=27 25.故选A.【名师点拨】考查了同底数幂的乘除运算和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．变式8-3．（2020·常州市期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【提示】根据整式的运算法则（同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方等）进行提示即可.【详解】因为，2a=3，2b=6，2c=12，所以，2ⅹ2a=2a+1=6= 2b，22×2a=12=2a+2=2c，2a×2c=3×12=2c+a=36=（2b）2，2b×2c=6×12=72=2b+c=9×8=（2a）2×23=22a+3, 所以，①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，故选D【名师点拨】本题考核知识点：整式乘法. 解题关键点：熟记并运用整式乘法法则.。
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感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷
------------------- 谢谢喜欢 ---------------------
和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
误区 4 不能灵活运用整体思想
14．化简： (1)(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y)； (2)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3.
解：
误区 5 不能灵活运用转化思想
15．(1)若3x＋2y－3＝0，求27x•9y的值； (2)已知3m＝6，9n＝2，求3 2m－4n＋1的值．
(1)27x•9y＝(33)x•(32)y
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
误区
＝33x•3 2y
＝33x＋2y，
∵3x＋2y－3＝0，
∴3x＋2y＝3，
∴原式＝33＝27.
(2)32m－4n＋1＝32m÷3 4n×31
＝(3m)2÷(32n)2×3
＝(3m)2÷(9n)2×3
＝36÷4×3
＝27.
------------------------- 赠予 ------------------------
方法2
2．350，440，530的大小关系是( ) A．350＜440＜530 B．530＜350＜440 C．530＜440＜350 D．440＜530＜350
因为350＝(35)10＝24310，440＝(44)10＝25610，530＝ (53)10＝12510，而125<243<256，所以 12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B.本题 采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指 数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确 定出幂的大小．
解： (1)(－a2)3＝－a6. (2)(－a3)2＝a6. (3)[(－a)2]3＝a6. (4)a•(－a)2•(－a)7＝a•a2•(－a7)＝－a10.
误区 3 忽略指数“1”
13．下列算式中，正确的是( B ) A．3a3•2a2＝6a6 B．2x3•4x5＝8x8 C．3x•3x4＝9x4 D．5y7•5y7＝10y14
8．计算(2a)3的结果是( )
A．6a
B．8a
C．2a3
D．8a3
同类变式
9．计算： (1)(a3)2＋a5； (2)a4•a4＋(a2)4＋(－4a4)2.
解： (1)(a3)2＋a5＝a6＋a5. (2)a4•a4＋(a2)4＋(－4a4)2 ＝a8＋a8＋16a8 ＝18a8.
误区 2 符号辨别不清
1．幂的大小比较的技巧
技巧 1 比较幂的大小
方法1
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的
大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．a＜b＜c
D．b＞c＞a
因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123， c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以 3124>3123>3122，即a>b>c，故选A.本题采用的是指 数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同 的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大 小．
是( B )
A．a
B．b
C．c D．d
2．幂的运算之误区
误区 1 混淆运算法则
6．下列计算正确的是( B )
A．a2＋a3＝a5
B．a2•a3＝a 5
C．(a2)3＝a5
D．a3÷a2＝a 5
同类变式
7．下列运算中，结果是a6的是( )
A．a2•a3
B．a12÷a2
C．(a3)3
D．(－a)6
10．计算(－ 1 ab2)3的结果是( )
A．1
2
a3b6
B. 1 a3b5
8
C．－ 1 a3b5
8
D．－
1
a3b6
8
8
同类变式
11．化简(－y)4(－y)3，结果正确的是( )
A．－y12
B．y12
C．y7
D．－y7
同类变式
12．计算： (1)(－a2)3； (3)[(－a)2]3;
(2)(－a3)2； (4)a•(－a)2•(－a)7.
a ＝1，则a＝b；若
a
b
<1，则a<b”比较．
b
b
技巧 2 比较指数的大小
4．已知xa＝3，xb＝6，xc＝12(x＞0)，那么下列
关系正确的是( )
A．a＋b＞c
B．2b＜a＋c
C．2b＝a＋c
D．2b＞a＋c
技巧 3 比较底数的大小
5．已知a，b，c，d均为正数，且a2＝2，b3＝3，
c4＝4，d5＝5，那么a，b，c，d中最大的数
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2 常见幂的大小比较技巧 及幂的运算之误区
1. 对于幂，由于它包含底数、指数、幂三种量， 因此比较大小的类型有：比较幂的大小，比较 指数的大小，比较底数的大小．
2. 幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混 淆，易错易误点较多，主要表现在混淆运算法 则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．
方法3
3．已知P＝ 关系是(
999 999
，Q＝
119 990
，那么P，Q的大小
)
A．P＞Q
B．P＝Q
C．P＜Q
D．无法比较
因为
P Q
999 999
990 119
(9 11)9 999990 11999 Nhomakorabea19 999
990 119
＝1，所以P＝Q，故选B.本题采用的是作商比较
法．当a>0，b>0时，利用“若 a >1，则a>b；若