排队系统的优化

§6 排队系统的优化

一、排队系统的优化问题有两类

最优设计=静态问题: 系统设计的最优化;(运行前) 最优控制=动态问题: 系统控制的最优化;(运行中) 只讨论静态问题; 一般, 顾客满意, 服务成本高; 服务简单, 顾客等待多. 最优化的目标之一是 兼顾两者, 使之合理.

方法：数学中的极值原理, 或经济中的边际法.

费用

极小

服务水平

等待费用

服务费用合并费用

二、M/M/1模型中最优服务率μ 1. M/M/1/∞ 模型优化

设s c 为单位时间服务成本,w c 为在系统中逗留费用, 则目标函数取为

s w z c c L μ=+

将/()L λμλ=-代入, 得/()s w z c c μλμλ=+-, 令

2

d 0d ()s w z c c λμμλ=-=-, 得服务率应订在 w

s

c c μλλ*=+

(μλ>).

2. M /M /1/K 模型优化

顾客被拒概率为K p , 接受概率1K p -, 有效进入概率(1)e K p λλ=-, 即有效到达率. 设每服务一个顾客服务机构获G 元, 则单位时间收入期望值为

(1)K p G λ-

利润 1

1(1)1K

K s s K z p G c G c ρλμλμρ+-=--=--

11

K K

s K K G c μλλμμμλ++-=--

(注1

001

111,1

11K K K K

n n p p p K ρρρρ+=-⎧⎪-⎪===⎨⎪+⎪⎩+∑) 令d /d 0z μ=, 得

11

12

(1)(1)K K s

K c K K G ρρρ

ρ+++-++=- 由此确定出ρ, 进而确定出使服务系统最优的μ*

. 一般用数值计算方 法求解, 或图解法.

设,,,s G K c λ为已知. 由具体的/s G c , 找出对应的

(/),μμλλ*=.

实际做法是:

令1/,/s y x G c ρ==, 则上述方程化为12

1(1)0(1)1

K K K y x Ky K y ++--=-++

clear;clf %%%%%k=1;

ezplot('(y^2-1)^2/(y^2-2*y+1)-x',[0, 16])

O

/μλ

/s

G c 1

K =2

K =3

K =/s

G c /μλ

axis([0 16 0 3])

hold on;pause;

%%%%%k=2

ezplot('(y^3-1)^2/(2*y^3-3*y^2+1)-x',[0, 16]) axis([0 16 0 3])

%%%k=3

ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0, 16]) axis([0 16 0 3])

例1对某服务台进行实测, 得到如下数据:

系统中的顾客数(n): 0 1 2 3

记录到的次数(m n ): 161 97 53 34

平均服务时间为10min, 服务一个顾客的收益2元, 服务机构运行单位时间成本为1元, 问服务率为多少时可使单位时间平均收益最大? 解 这是M/M/1/3模型, G =2, 1s c =, 下面从现在运行的数据中, 估计出顾客的λ. 因为

11

n n n n p m

p m ρ--==, 所以 31111ˆ(0.600.550.64)0.633

n n n m m ρ=-==++=∑

由1/(10/60)6μ==(人/h), 得

ˆˆ0.66 3.6λ

ρμ==⨯=(人/h).

下面进行优化分析: 作当3K =时, s

G x c =

与1

y ρ=的关系图,

ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0, 16]) axis([0 16 0 3])

0246

810121416

0.511.522.53x

y

(y 4-1)2/(3 y 4-4 y 3+1)-x = 0

由

2s

G c =, 由图得1

0.82ρ*=

ˆ/ 3.60.823μλ

ρ**==⨯≈(人/h)

但然也可作

s c G 与ρ的关系图,同样可由值12

s c G = 去求出 1.21ρ*=, 及

ˆ/ 3.6/1.213μλ

ρ**===. 收益分析:

当6μ=(人/h)时, 总收益为

3

4

10.62 3.6160.48510.6

z -=⨯-⨯=-(元/h) 当3μ=(人/h)时, 总收益为

3

4

1 1.21

2 3.616 1.8581 1.21z -=⨯-⨯=-(元/h)

单位时间内平均增加收益1.858-0.485=1.373(元/h). 相当不错.

例2 考虑一个M/M/1/K 系统, 具有10λ=(人/h),

30μ=(人/h), K=2 管理者想改进服务, 方案有二

个: 方案A 是增加一个等待空间, 即使K=3; 方案B 是提高平均服务率到40μ=(人/h). 设每服务一个顾客的平均收入不变, 问哪个方案将获得更大的收入或利润? 当λ增加到30人/h 时, 又将得到什么结