线性代数习题选讲__ 伴随矩阵_
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因为B是4阶矩阵, 所以由命题4.2可知, | B|3 | B | 8.
又因为B是实矩阵, 所以| B| 2. 由此可得
B1 1 B 1B .
| B|
2
在等式BYB1 YB1 3I两边左乘B1, 右乘B, 得到
1
于是
1 B 2
因此,
6 0 0
Y 3 I
1B
1
0
6
0
2 6 0 6
0
2n 3
n 2nn 3n
题14.4 设n 2是正整数, A是n阶矩阵. 如果
r(A) n1, 证明r(A ) 1.
证明 因为r(A) n1, 所以detA 0. 于是 AA det A I 0.
设 A的n个列为β1, β2, , βn. 因为 (A1, A2, , An) A(1, 2, , n) AA 0, 所以β1, β2, , βn都是齐次方程组AX 0的解, 即
2
=
2
2
1
2 2
2 2
2 2
1/ 4 1/ 4
0
题14.2 设4阶实矩阵B的伴随矩阵为
如果 BYB 1
B YB 1
1 00 0 0 10 0. 1 01 0
0 30 8
3I, 求矩阵Y.
解 因为| B | 8, 所以B 是可逆矩阵. 于是B也是可逆
矩阵, 并且 B1 1 B. | B|
0 . ▌
0
0 3 0 1
题14.3 设A是n阶矩阵, | A|
求|(3A) 1 nA |.
1 , A 是 A的伴随矩阵, n
解 令B 于是,
(3A) 1 nA . 1 n A | A| A 1 1 A1. n
B (3A) 1 nA 1 A 1 n 1
3
n
2A 1 A1 . 3
因此,
| B| 2 A 1 3
(1) 如果r(A) n, 那么| A| 0. 于是 A 矩阵. 因此, r(A ) n.
| A| A 1是可逆
(2) 如果r(A) n 1, 那么A的所有n 1阶子式都等于零. 于是 A 0. 因此, r(A ) 0.
第 14 讲 伴随矩阵
题14.1 设 A
11 1 1 1 1 是3阶矩阵, X是满足
1 11
等式 XA A1 2X的3阶矩阵, 求X.
解 在等式 XA A1 2X 两边右乘矩阵 A, 得到
XA A I 2XA. (1)
因此,
4X 2XA I, 即 X(4I 2A) I.
X (4I 2A)1
β1, β2, , βn N( A).
于是
r(A) r{ β, β2, , βn} dimN(A) nr(A) n(n1) 1.
因为r(A) n 1, 所以根据定理4.5, A中存在n 1阶 非零子式. 于是 A 0. 由此可得
r(A) 1.
因此,
r(A ) 1. ▌
说明
设n 2是正整数, A是n阶矩阵.
又因为B是实矩阵, 所以| B| 2. 由此可得
B1 1 B 1B .
| B|
2
在等式BYB1 YB1 3I两边左乘B1, 右乘B, 得到
1
于是
1 B 2
因此,
6 0 0
Y 3 I
1B
1
0
6
0
2 6 0 6
0
2n 3
n 2nn 3n
题14.4 设n 2是正整数, A是n阶矩阵. 如果
r(A) n1, 证明r(A ) 1.
证明 因为r(A) n1, 所以detA 0. 于是 AA det A I 0.
设 A的n个列为β1, β2, , βn. 因为 (A1, A2, , An) A(1, 2, , n) AA 0, 所以β1, β2, , βn都是齐次方程组AX 0的解, 即
2
=
2
2
1
2 2
2 2
2 2
1/ 4 1/ 4
0
题14.2 设4阶实矩阵B的伴随矩阵为
如果 BYB 1
B YB 1
1 00 0 0 10 0. 1 01 0
0 30 8
3I, 求矩阵Y.
解 因为| B | 8, 所以B 是可逆矩阵. 于是B也是可逆
矩阵, 并且 B1 1 B. | B|
0 . ▌
0
0 3 0 1
题14.3 设A是n阶矩阵, | A|
求|(3A) 1 nA |.
1 , A 是 A的伴随矩阵, n
解 令B 于是,
(3A) 1 nA . 1 n A | A| A 1 1 A1. n
B (3A) 1 nA 1 A 1 n 1
3
n
2A 1 A1 . 3
因此,
| B| 2 A 1 3
(1) 如果r(A) n, 那么| A| 0. 于是 A 矩阵. 因此, r(A ) n.
| A| A 1是可逆
(2) 如果r(A) n 1, 那么A的所有n 1阶子式都等于零. 于是 A 0. 因此, r(A ) 0.
第 14 讲 伴随矩阵
题14.1 设 A
11 1 1 1 1 是3阶矩阵, X是满足
1 11
等式 XA A1 2X的3阶矩阵, 求X.
解 在等式 XA A1 2X 两边右乘矩阵 A, 得到
XA A I 2XA. (1)
因此,
4X 2XA I, 即 X(4I 2A) I.
X (4I 2A)1
β1, β2, , βn N( A).
于是
r(A) r{ β, β2, , βn} dimN(A) nr(A) n(n1) 1.
因为r(A) n 1, 所以根据定理4.5, A中存在n 1阶 非零子式. 于是 A 0. 由此可得
r(A) 1.
因此,
r(A ) 1. ▌
说明
设n 2是正整数, A是n阶矩阵.