初等模型

初等模型

初等模型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、概率统计、几何等知识建立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。对于机理比较简单的研究对象，一般用初等方法就能够达到建模目的。但衡量一个模型的优劣，主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数学方法。对于用初等方法和高等方法建立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢迎和被采用的一定是初等模型。

2.1 人行走的最佳频率

2.1.1 问题的提出

行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳频率。

2.1.2 模型假设

1.基本假设

（1）不计人在行走时的空气阻力。

（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。

（3）人的行走速度均匀。

2.符号及变量

l ：腿长；d ：步幅；δ：人体重心位移；v ：行走速度；m ：腿的质量；M ：人体质量；g ：重力加速度；u ：两腿运动动能；W ：人行走所做的功；n ：人的行走频率。

2.1.3 模型建立

1.重心位移的计算

人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。

图2.1 人行走时重心位置的变化示意图

由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为

2

l

δ=

由于d l

28d l δ≈. (0.1)

2.两腿运动功率的计算 人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的功率。

补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。

由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为

213

J ml =. 于是两腿的转动动能为 221126u J mv ω==. 而人每行走一步所需时间为/t d v =，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为 3

6u mv p t d ==. (0.2)

补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。此时，两腿的运动功率为

32u mv p t d ==. (0.3)

3.模型建立

相应于上面两个补充假设，可分别建立如下模型：

（1）均匀直杆模型

由于人的行走频率等于单位时间内行走的步数，所以v nd =，从而得到两腿的运动功率为3216mn d 。单位时间内人体重心抬高所需的势能为 22

88d nMgd nMg nMg l l

δ≈=. 最后即得单位时间内人行走所做的功为

223231168234nMgd d Mg W mn d mn n l l ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. (0.4) （2）直线运动模型

类似地，可得单位时间内人行走所做的功为 2232312824nMgd d Mg W mn d mn n l l ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. (0.5)

2.1.4 模型求解与分析

1.模型求解

（1）均匀直杆模型

易得

2

31234d Mg W mn n d l ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭

，

当且仅当334mn Mgn l

=，即n =