华师大版-数学-八年级上册-拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想
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答：（1）两刀互相垂直，且至少有一刀剪得的线段长是以两个正方形的边为直角三角形的两直角边的斜边的长；
（2）仿照（1）的规律，作法，如图（5）
2）勾股定理的面积证法：“赵爽弦图”如图（a）把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图（a）中左右两个直角三角形△移动，组成如图（b）的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c2
（3）图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3
∴S阴影=S△ABC
例6.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
例3.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得
5.解略
【励志故事】
一只破水桶的启示
一位农夫有两只水桶，他每天就用一根扁担挑着两只水桶去河边汲水。
两只水桶中有一只有一道裂缝，因此每次到家时这只水桶总是会漏得只剩下半桶水，而另一只桶却总是满满的。就这样，两年以来，日复一日，农夫天天只能从河里担回家一桶半水。
完整无缺的桶很为自己的完美无缺得意非凡，而有裂缝的桶自然为自己的缺陷和不能胜任工作而羞愧。经过两年的失败之后，一天在河边，有裂缝的桶终于鼓起勇气向主人开了口：“我觉得很惭愧，因为我这边有裂缝，一路上漏水，只能担半桶水到家。”
三.知识要点：
1.一种证明：拼图验证勾股定理
1）如图（1）一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。
图（2）中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形。
图（3）（4）中，剪了两刀，分成四块，拼成了一个大正方形
（1）你能判断出这两刀是如何剪的吗？
（2）你能否把图（1）剪三刀，把它分开，然后拼成一个大正方形？
所以四边形BEPD是正方形
它的边长可由三角形的面积求得。
设PD=PE=PF=m，得
即
由勾股定理知
所以
故
3.解：（1）若把礼盒的上底面A'B'C'D'竖立起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB'A'）在同一平面内，然后连结AC'，根据“两点间线段最短”知，线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A城受到这次风暴的影响。
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD=1，∠A＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。
5.如图， 长为3厘米， 长为4厘米， 长为13厘米。求正方形 的面积。
分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长 ；要求出 ，先要求出 。在 中， ，所以 ，在 中， ， 为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为 ，何必去求 ，只要求出 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！
因为△ABC的面积
即
所以
数形结合思想
例5.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：
（1）以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
所以
（2）如图，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得
此时
综上所述，BC的长为25或7。
方程思想
例4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
【试题答案】
1.解：在剪拼的过程中面积没有发生变化，设原长方形边长为5a和a，则拼出的正方形面积为5 ，所以正方形边长为
所以须在长方形中分割出长度为 的线段，而线段 ，应是边长为a和2a的直角三角形的斜边，因此构造出边长为a和2a的直角三角形即可。
图（3）中：
∴
2.解：显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
二.重点、难点：
1.理解拼图验证勾股定理的思维方法。
2.体会勾股定理中的数学思想。
（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
解：（1）中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。
所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3
（2）类似于（1）：S1+S2=S3
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
即
又由已知得
所以Hale Waihona Puke Baidu
解得
所以
转换思想
例2.如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？
分析：有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。
解：（1）剪开FG、GC、CB铺平得 。
，BC=4
所以
在△ACD中，因为
所以
可知△ACD也是直角三角形，
∠ACD＝90°
所以
于是
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.你能将边长为5:1的长方形纸片，如图（1），剪几刀分成五块，拼出一个正方形，并用它来证明勾股定理？
2.如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求 。
（2）剪开HG、GC、CD铺平得 。
（3）剪开EF、FG、GH铺平得 。
（4）剪开FB、FG、CG铺平得 。
（5）剪开FG、GH、HE铺平得 。
（6）剪开DH、HG、GC铺平得 。
因此最短路程为 ，这样的路线有两条。
由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且 时，最短路程就是 。
分类思想
如图，设AB=AC=200km
在Rt△ABD中，应用勾股定理，得
所以，A城遭受风暴影响的时间 （小时）。
（补形与分割的思想）
例7.若a，b为正数，且 是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。
分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
农夫回答它说：“你注意到了吗?在你那一侧的路沿上开满了花，而另外的一侧却没有花。我从一开始就知道你有漏，于是在你的那一侧的路沿撒了花籽。我们每天担水回家的路上，你就给它们浇水。两年了，我经常从这路边采摘鲜花来装扮我的餐桌。如果不是因为你的所谓的缺陷，我怎么会有美丽的鲜花装扮我的家呢?”
我们每个人都好比那只有裂缝的桶，各自都具有这样或那样的不足和缺点。倘若我们怀着一颗包容的心，懂得发现对方的长处，并且能够扬长避短，我们的生活一定会变得更加轻松愉快和丰富多彩。
2002年8月20日北京国际数学大会的会标，就是“赵爽弦图”如图（b）
2.几类思想：
①整体思想
②转换思想
③分类思想
④方程思想
⑤数形结合思想（含补形与分割的思想）
【典型例题】
整体思想
例1.如图，已知Rt△ABC的周长为 ，其中斜边 ，求这个三角形的面积。
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由 联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。
3.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C'处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且 。
根据勾股定理，得
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
4.解：延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。
因为∠A=60°
所以∠E=30°
又 ，CD=1
所以AE=2AB=4，CE=2CD=2
由勾股定理得
所以
解：作矩形ABCD，使 E、F分别是AB、AD的中点。
由勾股定理知
从而可知， 就是题目所要求的三角形面积，即
例8.如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90o，则四边形ABCD的面积是_________。
解：连结AC，在△ABC中，
因为∠ABC=90°
（2）仿照（1）的规律，作法，如图（5）
2）勾股定理的面积证法：“赵爽弦图”如图（a）把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图（a）中左右两个直角三角形△移动，组成如图（b）的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c2
（3）图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3
∴S阴影=S△ABC
例6.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
例3.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得
5.解略
【励志故事】
一只破水桶的启示
一位农夫有两只水桶，他每天就用一根扁担挑着两只水桶去河边汲水。
两只水桶中有一只有一道裂缝，因此每次到家时这只水桶总是会漏得只剩下半桶水，而另一只桶却总是满满的。就这样，两年以来，日复一日，农夫天天只能从河里担回家一桶半水。
完整无缺的桶很为自己的完美无缺得意非凡，而有裂缝的桶自然为自己的缺陷和不能胜任工作而羞愧。经过两年的失败之后，一天在河边，有裂缝的桶终于鼓起勇气向主人开了口：“我觉得很惭愧，因为我这边有裂缝，一路上漏水，只能担半桶水到家。”
三.知识要点：
1.一种证明：拼图验证勾股定理
1）如图（1）一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。
图（2）中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形。
图（3）（4）中，剪了两刀，分成四块，拼成了一个大正方形
（1）你能判断出这两刀是如何剪的吗？
（2）你能否把图（1）剪三刀，把它分开，然后拼成一个大正方形？
所以四边形BEPD是正方形
它的边长可由三角形的面积求得。
设PD=PE=PF=m，得
即
由勾股定理知
所以
故
3.解：（1）若把礼盒的上底面A'B'C'D'竖立起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB'A'）在同一平面内，然后连结AC'，根据“两点间线段最短”知，线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A城受到这次风暴的影响。
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD=1，∠A＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。
5.如图， 长为3厘米， 长为4厘米， 长为13厘米。求正方形 的面积。
分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长 ；要求出 ，先要求出 。在 中， ，所以 ，在 中， ， 为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为 ，何必去求 ，只要求出 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！
因为△ABC的面积
即
所以
数形结合思想
例5.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：
（1）以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
所以
（2）如图，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得
此时
综上所述，BC的长为25或7。
方程思想
例4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
【试题答案】
1.解：在剪拼的过程中面积没有发生变化，设原长方形边长为5a和a，则拼出的正方形面积为5 ，所以正方形边长为
所以须在长方形中分割出长度为 的线段，而线段 ，应是边长为a和2a的直角三角形的斜边，因此构造出边长为a和2a的直角三角形即可。
图（3）中：
∴
2.解：显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
二.重点、难点：
1.理解拼图验证勾股定理的思维方法。
2.体会勾股定理中的数学思想。
（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
解：（1）中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。
所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3
（2）类似于（1）：S1+S2=S3
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
即
又由已知得
所以Hale Waihona Puke Baidu
解得
所以
转换思想
例2.如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？
分析：有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。
解：（1）剪开FG、GC、CB铺平得 。
，BC=4
所以
在△ACD中，因为
所以
可知△ACD也是直角三角形，
∠ACD＝90°
所以
于是
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.你能将边长为5:1的长方形纸片，如图（1），剪几刀分成五块，拼出一个正方形，并用它来证明勾股定理？
2.如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求 。
（2）剪开HG、GC、CD铺平得 。
（3）剪开EF、FG、GH铺平得 。
（4）剪开FB、FG、CG铺平得 。
（5）剪开FG、GH、HE铺平得 。
（6）剪开DH、HG、GC铺平得 。
因此最短路程为 ，这样的路线有两条。
由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且 时，最短路程就是 。
分类思想
如图，设AB=AC=200km
在Rt△ABD中，应用勾股定理，得
所以，A城遭受风暴影响的时间 （小时）。
（补形与分割的思想）
例7.若a，b为正数，且 是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。
分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
农夫回答它说：“你注意到了吗?在你那一侧的路沿上开满了花，而另外的一侧却没有花。我从一开始就知道你有漏，于是在你的那一侧的路沿撒了花籽。我们每天担水回家的路上，你就给它们浇水。两年了，我经常从这路边采摘鲜花来装扮我的餐桌。如果不是因为你的所谓的缺陷，我怎么会有美丽的鲜花装扮我的家呢?”
我们每个人都好比那只有裂缝的桶，各自都具有这样或那样的不足和缺点。倘若我们怀着一颗包容的心，懂得发现对方的长处，并且能够扬长避短，我们的生活一定会变得更加轻松愉快和丰富多彩。
2002年8月20日北京国际数学大会的会标，就是“赵爽弦图”如图（b）
2.几类思想：
①整体思想
②转换思想
③分类思想
④方程思想
⑤数形结合思想（含补形与分割的思想）
【典型例题】
整体思想
例1.如图，已知Rt△ABC的周长为 ，其中斜边 ，求这个三角形的面积。
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由 联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。
3.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C'处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且 。
根据勾股定理，得
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
4.解：延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。
因为∠A=60°
所以∠E=30°
又 ，CD=1
所以AE=2AB=4，CE=2CD=2
由勾股定理得
所以
解：作矩形ABCD，使 E、F分别是AB、AD的中点。
由勾股定理知
从而可知， 就是题目所要求的三角形面积，即
例8.如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90o，则四边形ABCD的面积是_________。
解：连结AC，在△ABC中，
因为∠ABC=90°