(完整版)证明不等式的基本方法——比较法
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第二讲证明不等式的基本方法
课题：第01 课时不等式的证明方法之一：比较法一．教学目标
（一）知识目标
（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；
（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；
（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。
（二）能力目标
（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；
（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；
（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标
（1）激发学习的内在动机；
（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重难点及教学设计
（一）教学重点
不等式证明比较法的基本思想, 用作差、作商达到比较大小的目的
（二）教学难点
借助与0 或1 比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途
（三）教学设计要点
1. 情境设计用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。
2. 教学内容的处理
（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。
（2）补充一组证明不等式的变式练习。
（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。
3. 教学方法
独立探究，合作交流与教师引导相结合。
三．教具准备
水杯、水、白糖、调羹、粉笔等
四．教学过程
（一）、新课学习：
1. 作差比较法的依据：
ab ab0
ab ab0
ab ab0
作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论
2. 作商比较法的原理和步骤：
a,b R
a b - 1
b
a b - 1
b
a b - 1
b
作商比较法的步骤：作商一变形(化简)一判断(商值与实数1的关系)一得出结论
(二)、典型例题：
例1、已知a,b都是正数，且a b，求证：a3 b3 a2b ab2.
证明：采用差值比较法：
(a3 b3) (a'b atf)
(a3 a2b) (b3 ab)
a2 (a b) b2(b a)
(a2 b2)(a b)
2
(a b) (a b)
(因式分解)
Q a b, a,b 0
2
(a b) 0,a b 0
2
(a b) (a b) 0
a3b3a2b ab2
假如没有已知a,b都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？
例2、若实数x 1，求证：3(1 x2 x4) (1 x x2)2.
证明：采用差值比较法：
3(1 x2x4) (1 x x2)2
=3 3x23x4 1 x2x4 2x 2x22x3
= 2(x4 x3 x 1)
=2(x 1)2(x2 x 1)
例4、已知a,b R ,求证:
证明：注意到要证的不等式关于a,b 对称，不妨设
a b 0
差值比较法失效采用商值比较法: a 1, a b 0, b
a”b ab a b (a b) a
a b 乔
a b (b)
= 2(x 1)2[(x 2)2 2]. 2 4
(配方法) x 1,从而(x 1)2
0,且(x 2(x 2
1 2
3 1)2[(x 2)2 4]
0, 3(1 x 2 x 4)
(1 x x 2)2. 若题设中去掉x 1这一限制条件, 要求证的结论如何变换?
例3如果用akg 白糖制出bkg 糖溶液，则糖的质量分数为
若在上述溶液中再添加 mkg 白糖，此时糖的质量分数增加到
将这个事实抽象为数学问题，并给出证明 解：
可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a, b, m 都是正数，并且a
a m(
b a)(通分)
将不等式两边相减，得冷
a 0;又 Qa,b,m 都是正数，所 以 m(
b a) 0, b(b m) 0 b b(b m) Q a b, b m(b a) b(b m) a m a b m b
当a 也寸(a )a b 1 b
当a b 0时,a 1,a b 0,(旦)a b 1 b b