函数的连续性连续性与间断点

增量：变量"从初值 1变到终值巴，则“卫一"称为变量I的增量或
改变量，记为，即'■-二
对于函数「，当自变量从 6变到二时I称为自变量工
的增量；
对应的函数值从/（心）变到/K1，如叮0）-/© 7E十㈤-/（心）称为函数°的增量。

注：增量可正可负。

图3-1
定义设函数」-■■在点门的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量-一 --趋于零时，对应函数的增量
I 一」「:匚:也趋于零
lim ]/国 +&) -/E)]・Q
那么就称函数」■■在点 r连续，i 称为函数J \的连续
点。

如“㉛=lim[/(x0十㈤-/(r0)] = 0 r「寺血I/W - /(勺)]=0 丄」- -■- 可与^成:_极限
所以此定义也可改写为
如果！］丁—定义设函数」在点"的某一邻域内有定义,
那么就称函数•- L在点'连续。

由定义可知，函数在点连续，必满足三个条件
(1) '在点&有定义
Im; /(A)
(2)-」存在(左、右极限存在且相等)
to/W=/(x0)
如果三条中有一条不满足，则■■' '■'■■■在厂点就不连续。

(3)
1< 2
解 在
〔处
图 3-2
SF ~* 0—
Hrn /W ir-rti-t-
WO-
/w
例1设
尹十4
解丿「丿是一分段函数,
所以'；L '''不存在，故在 「「=〔处不连续。

例2讨论函数
在卞=：，二=［及=-处的连续性。

liin =lim (x-t =-l T TT (T 4旷
:亠二二、」讨论-‘ ‘在工=〔的连续性。

x >
lim
/(A )
片
不存在，所以不连续。

在K =］处:
= lim_2x = 2, lun / (x) = lim (f +1) = 2,
jf-^r
r-j-l"
x-4r
FT ■广
在
x = 2处:
bm 丁(£ = bm.C?十 1) = 5, Inn /迂)=lim +(lx 十 4) = 5r JCT ST r ->2 KT Z*
富
—^2，2
/⑵7所以连续。

左连续、右连续:
在可点左连续;
在仓点右连续。

Inn /«=/(!) =2 «->i
所以连续。

Inn /㈤
若心町 存在且等于
朗怒g),则称临
lim j (x)
若宀血+ …存在且等于
f ，则称八工)
图 3-3
如：上两例中的函数均在
-=点左连续。

显然」••在 J 点连续，则 」1「在％点左连续且右连续。

函数」；二在区间连续:
如果函数-在区间-'' 内每一点都连续，则称函数 「在区间
（血五）内连续；
如果-’；「；在区间』二内连续，在 二点右连续，在 J 点左连续，
则称函数-'■'■■■在闭区间-」--上连续。

图 3-4
例3当时「j 二且「一在"〔连续，则「）
解 在止-连续，
:寸⑼=lim /(x) = lun (1 +
=
X T D
M 0
fl
—gin x
rt 7 A = 0
sill — + 1, x > 0 兀
在x = 0处连续，求疋。

第-节倔］ 苗醱的诃斷盍
女口果函数」在％的去心邻域内有定义，但在
让不连续，称 &为」■■■'1的
间断点。

与连续的条件相对应，有下列三种情形之一时，则
•一•在门点就不连续，二 点
就为间断点。

⑴
在点…. '■没有定义
⑵
在点丁=;
5有定义，但
lmi f(x)
宀険
不存在
⑶
在点-;
5有定义，且 lmi g
存在，但 ■■-
解因为 —在 応：处连续，所以 '.-I.
7一
,
lam f(x) = lim 而'
'■ 1-..
Isin 工=1 lin^yO) = lun +(xsin 1 + 1) = 1
例4设函数
/W =
1 1 1 - 1
= sm —am sin —= sm —如：X在点兀0无定义，且用不存在，所以兀0是兀的
间断点。

但二：•不存在（条件2）
且〔y ，但」—「、。

间断点的分类
（1 ）跳跃间断占
八、、
则称"为跳跃间断点。

/W-如：T = _是X >0
的跳跃间断点。

图3-5
/W- 是
< ft
乙的间断点，畑在A = 0有定义,
/W
亡-1
°,的间断点，因孑山）在x =1有定义, 等,
(2)可去间断点
lim 了⑴
存在但不等于■'「，则称 r为可
去间断点。

(3)无穷间断点
当’一「•(或FT X ［或’丁)时,
1 " 则称门为无穷间断点。

如：丄-是一…、的无穷间断点。

图3-7
(4)震荡间断点图3-6
补充或修改」在心的定义后，可使-■
1
当’一兀时,无穷震荡没有极限。

/（^）= sin -
女口：■■'■在处。

图3-8
（1 ）、（2）称为第一类间断点，（3）、（4）称为第二类间断点。